Ideal / Hauptideal in Z[X] < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei I [mm] \subseteq \IZ [/mm] [X] die Menge I = {f [mm] \in \IZ [/mm] [X] | f(1) ist durch 3 teilbar}. Zeigen Sie:
a) I ist ein Ideal in [mm] \IZ [/mm] [X].
b) I ist kein Hauptideal. Geben Sie ein möglichst kleines Erzeugendensystem für I an. |
Hallo Mathefreunde!
Leider bin ich gerade total am Verzweifeln, was die Aufgaben a) und b) betrifft.
Ich kenne die drei Vorraussetzungen, die für Ideale gelten müssen:
(I1) a, b [mm] \in [/mm] I [mm] \Rightarrow [/mm] a + b [mm] \in [/mm] I.
(I2) a [mm] \in [/mm] I, r [mm] \in \IZ [/mm] [X] [mm] \Rightarrow [/mm] ra [mm] \in [/mm] I.
(I3) I [mm] \not= \emptyset.
[/mm]
Leider fehlt mir jeglicher Ansatz, wie ich nachweisen soll, ob diese Vorraussetzungen erfüllt sind.
Vielen Dank für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo klaeuschen,
> Sei [mm] $I\subseteq \IZ[X]$ [/mm] die Menge [mm] $I=\{f\in \IZ[X] | f(1)$ ist durch $3$ teilbar $\}$. [/mm] Zeigen Sie:
> a) I ist ein Ideal in [mm]\IZ[/mm] [X].
> b) I ist kein Hauptideal. Geben Sie ein möglichst kleines
> Erzeugendensystem für I an.
> Hallo Mathefreunde!
> Leider bin ich gerade total am Verzweifeln, was die
> Aufgaben a) und b) betrifft.
>
> Ich kenne die drei Vorraussetzungen, die für Ideale gelten
> müssen:
> (I1) a, b [mm]\in[/mm] I [mm]\Rightarrow[/mm] a + b [mm]\in[/mm] I.
Das kenne ich unter [mm] $a,b\in I\Rightarrow a\red{-}b\in [/mm] I$
> (I2) a [mm]\in[/mm] I, r [mm]\in \IZ[/mm] [X] [mm]\Rightarrow[/mm] ra [mm]\in[/mm] I.
> (I3) I [mm]\not= \emptyset.[/mm]
>
> Leider fehlt mir jeglicher Ansatz, wie ich nachweisen soll,
> ob diese Vorraussetzungen erfüllt sind.
Na, $(I3)$ ist doch nicht so schwierig, kannst du kein Polynom $p$ mit ganzzahligen Koeffizienten finden, so dass $p(1)$ durch 3 teilbar ist?
Nimm ein möglichst einfaches, etwa ein konstantes Polynom [mm] $p\equiv [/mm] 3$, das ist offenbar [mm] $\in\IZ[x]$ [/mm] und $p(1)=3$ ist durch 3 teilbar
Für $(I1)$ nimm die zwei Polynome $p, [mm] q\in\IZ[x]$ [/mm] her mit $p(1), q(1)$ durch 3 teilbar, dh. [mm] $p(1)=k\cdot{}3$ [/mm] und [mm] $q(1)=l\cdot{}3$
[/mm]
Dann ist $(p-q)(1)=p(1)-q(1)= ...$
Ist das durch 3 teilbar, und ist außerdem [mm] $p-q\in\IZ[x]$, [/mm] also [mm] $\in [/mm] I$ ?
Das sollte genügen, damit du weitermachen kannst ...
>
> Vielen Dank für eure Hilfe.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
|
|
|
|
