Ideale berechnen Z/4Z und < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:56 Di 04.10.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Man finde alle Ideale I von :
a) [mm] \IZ/ [/mm] 4 [mm] \IZ$ [/mm] und
b) [mm] $\IQ \times \IC$ [/mm] |
Hallo,
Für ein Ideal muss gelten:
S ist nichtleere Teilmenge von R, dann ist S ein Ideal genau dann wenn :
$i) [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] S [mm] \Rightarrow (a-b)\in [/mm] S $
$ii) [mm] \forall s\in [/mm] S, \ [mm] \forall r\in [/mm] R [mm] \Rightarrow rs,sr\in [/mm] S $
bei
a) sind also die Ideale: [mm] $\IZ/ k\IZ$ [/mm] mit $k=1,2,3,4$ und [mm] $\{0\}$
[/mm]
bei b) [mm] $\{0\}$ [/mm] und [mm] $\Q \times \IC$
[/mm]
aber da bin ich mir ganz und gar nicht sicher?
Danke für jegliche Hilfestellung!
Gruss
kushkush
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> Man finde alle Ideale I von :
>
> a) [mm]\IZ/[/mm] 4 [mm]\IZ$[/mm] und
>
> b) [mm]\IQ \times \IC[/mm]
>
> Hallo,
>
>
> Für ein Ideal muss gelten:
>
> S ist nichtleere Teilmenge von R, dann ist S ein Ideal
> genau dann wenn :
> [mm]i) \forall a,b \in S \Rightarrow (a-b)\in S [/mm]
> [mm]ii) \forall s\in S, \ \forall r\in R \Rightarrow rs,sr\in S[/mm]
>
> bei
>
> a) sind also die Ideale: [mm]\IZ/ k\IZ[/mm] mit [mm]k=1,2,3,4[/mm] und
> [mm]\{0\}[/mm]
Punkt 1:
[mm] $\IZ /1\IZ [/mm] = [mm] \{0\}$, [/mm] also musst du den nicht nochmal extra erwähnen.^^
Dann stellt sich mir so spontan die Frage, ob das mit der zweiten Bedingung passt.
Also zum Beispiel:
[mm] $\IZ/2\IZ [/mm] = [mm] \{0,1\}$
[/mm]
weiterhin ist $3 [mm] \in \IZ/4\IZ$, [/mm] aber $3*1 = 3 [mm] \not \in \IZ/2\IZ$...
[/mm]
Es gibt noch weitere Ideale als nur die beiden trivialen [mm] ($\{0\}$ [/mm] und [mm] $\IZ/4\IZ$), [/mm] aber diese sehen etwas anders aus als die von dir genannten.
Probier einfach mal ein wenig durch, sind ja nur 16 mögliche Teilmengen.^^
bzw. du darfst nicht vergessen, dass in Bedingung ii) die Multiplikation in R gemeint ist, also du darfst nicht (wie du es wohl vorhattest) eine Teilmenge nehmen und auf dieser eine ganz neue Multiplikation definieren....
> bei b) [mm]\{0\}[/mm] und [mm]\IQ \times \IC[/mm]
>
> aber da bin ich mir ganz und gar nicht sicher?
Stimmt fast, aber nicht ganz.
Würde das stimmen wäre [mm] $\IQ \times \IC$ [/mm] ein einfacher, kommutativer Ring und somit ein Körper (was ja nicht der Fall ist^^).
Überleg dir mal folgendes:
$0 [mm] \not \in \IQ \times \IC$, [/mm] aber: $(0,0) [mm] \in \IQ \times \IC$.
[/mm]
Wenn du dir das klar machst findest du noch ein paar mehr Ideale. ;)
>
> Danke für jegliche Hilfestellung!
>
>
>
>
> Gruss
> kushkush
lg
Schadowmaster
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:00 Mi 05.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> 1. Frage ob das mit der zweiten Bedingung passt
Ich habe gedacht [mm] $3\equiv [/mm] 1 mod (2) = [mm] \tilde{1} \in \IZ/2\IZ$?? [/mm] Wenn das falsch ist, dann ist nur das Nullideal und [mm] $\IZ [/mm] / [mm] 4\IZ$ [/mm] Ideale von [mm] $\IZ [/mm] / [mm] 4\IZ$.
[/mm]
> 2
Es ist:
[mm] $\IQ [/mm] = [mm] \{ \frac{a}{b}, a,b \in \IZ \}$ $\IC= \{a+bi | a,b\in \IR \}$, [/mm] ein Ideal muss also [mm] $(\frac{c}{d},a+bi) [/mm] \ [mm] \forall a,b\in \IR, c,d\in \IZ$ [/mm] erfüllen. Also sind : [mm] $\{(0,0)\}$ $\{(n\IQ, 0)\}$ [/mm] , [mm] $\{(0,k\IC)\}$ [/mm] , [mm] $\{(\IQ,\IC)\} [/mm] \ [mm] \forall n\in \IZ, [/mm] k [mm] \in \IR$ [/mm] Ideale von [mm] $\IQ\times \IC$
[/mm]
Ist das so OK?
> LG Schadowmaster
Vielen Dank!!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:09 Mi 05.10.2011 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> > 1. Frage ob das mit der zweiten Bedingung passt
>
>
> Ich habe gedacht [mm]3\equiv 1 mod (2) = \tilde{1} \in \IZ/2\IZ[/mm]??
Das stimmt, aber ich sehe den Zusammenhang nicht.
> Wenn das falsch ist, dann ist nur das Nullideal und [mm]\IZ / 4\IZ[/mm]
> Ideale von [mm]\IZ / 4\IZ[/mm].
Die erste Aussage ist nicht falsch, aber die Aussage in der Folgerung ist es. Logisch wäre damit die Aussage als ganze richtig.
Als Hinweis: Es gibt einen Zusammenhang zwischen den Idealen von Z und denen von Z/4Z.
> > 2
> Es ist:
> [mm]\IQ = \{ \frac{a}{b}, a,b \in \IZ \}[/mm] [mm]\IC= \{a+bi | a,b\in \IR \}[/mm],
> ein Ideal muss also [mm](\frac{c}{d},a+bi) \ \forall a,b\in \IR, c,d\in \IZ[/mm]
> erfüllen. Also sind : [mm]\{(0,0)\}[/mm] [mm]\{(n\IQ, 0)\}[/mm] ,
> [mm]\{(0,k\IC)\}[/mm] , [mm]\{(\IQ,\IC)\} \ \forall n\in \IZ, k \in \IR[/mm]
> Ideale von [mm]\IQ\times \IC[/mm]
Hier verstehe ich deine Argumentation nicht so völlig. Die Aussage 'ein Ideal muss also [mm](\frac{c}{d},a+bi) \ \forall a,b\in \IR, c,d\in \IZ[/mm] erfüllen' ist semantisch ohne Sinn.
Vielleicht fängst du mal so an: Sei I ein Ideal von [mm]\IQ\times \IC[/mm] und (x, y) [mm] \in [/mm] I. Ist x [mm] \not= [/mm] 0 und y [mm] \not= [/mm] 0, dann ...
Was ist übrigens [mm] n\IQ?
[/mm]
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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> Hallo,
>
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> > 1. Frage ob das mit der zweiten Bedingung passt
>
>
> Ich habe gedacht [mm]3\equiv 1 mod (2) = \tilde{1} \in \IZ/2\IZ[/mm]??
Ne, eben nicht.
In [mm] $\IZ/4\IZ$ [/mm] gilt: $3*1 = 3 [mm] \not= [/mm] 1$
würdest du jetzt in deinem Ideal sagen: $3*1 := 1$ so würdest du die Rechenregeln ändern!
In ii) soll aber die Multiplikation aus dem Ring verwendet werden, also in diesem Fall aus [mm] $\IZ/4\IZ$.
[/mm]
Du darfst diese also nicht einfach umdefinieren, denn sonst hast du einen ganz anderen Ring, dessen Elemente nur zufällig gleich heißen.
> Wenn das falsch ist, dann ist nur das Nullideal und [mm]\IZ / 4\IZ[/mm]
> Ideale von [mm]\IZ / 4\IZ[/mm].
Nein, es gibt noch einen weiteren.
Veruch dir einfach mal einen zu konstruieren:
Die 0 muss drinn sein, denn wenn a drinn ist so muss mit ii) auch $0*a = 0$ drinn sein.
Nun nimm dir weitere Elemente hinzu und guck, ob es ein Ideal wird.
Nimmst du zum Beispiel die 1 mit dazu so müssen nach ii) auch die 2 (2*1) und die 3 (3*1) mit dabei sein, du hättest also wieder ganz [mm] $\IZ/4\IZ$.
[/mm]
Was passiert wenn du die 2 dazunimmst, oder die 3?
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Mi 05.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Dieter, Schadow und Felix!
also bei a)
Teilmengen:
[mm] $\{0\}, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{0,1\} [/mm] , [mm] \{0,2\}, \{0,3\} [/mm] , [mm] \{2,2\}, \{2,3\}, \{1,1\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{3,3\}, \{0,1,2\}, \{1,2,3\}, \{0,2,3\}$
[/mm]
Es sind also [mm] $\{0\}, \{0,1,2,3\}, \{0,2,3\}$ [/mm] Ideale von [mm] $\IZ/ 4\IZ$ [/mm] weil für [mm] $a\in \{0\}, \{0,1,2,3\}, \{0,2,3\}$ [/mm] i) und ii) erfüllt sind.
bei b)
Sei I ein Ideal von [mm] $\IQ \times \IC$ [/mm] und $(x,y) [mm] \in [/mm] I$. Ist [mm] $x\ne [/mm] 0$ und [mm] $y\ne [/mm] 0$, dann ist [mm] $x\in \IQ \ne [/mm] 0 , y = 0 $ oder $x=0 , y [mm] \in \IC \ne [/mm] 0$
also gibt es hier unendlich viele Ideale?
> Was ist [mm] n\IQ
[/mm]
[mm] \IQ
[/mm]
> Gruss aus HH-Harburg
> lg
> LG
Vielen Dank!!
Gruss
kushkush
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> Hallo Dieter, Schadow und Felix!
>
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> also bei a)
> Teilmengen:
> [mm]\{0\}, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{0,1\} , \{0,2\}, \{0,3\} , \{2,2\}, \{2,3\}, \{1,1\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{3,3\}, \{0,1,2\}, \{1,2,3\}, \{0,2,3\}[/mm]
>
> Es sind also [mm]\{0\}, \{0,1,2,3\}, \{0,2,3\}[/mm] Ideale von [mm]\IZ/ 4\IZ[/mm]
> weil für [mm]a\in \{0\}, \{0,1,2,3\}, \{0,2,3\}[/mm] i) und ii)
> erfüllt sind.
Die ersten beiden passen, der letzte leider nicht.
3-2 = 1
Das dritte Ideal wäre {0,2}
>
> bei b)
>
> Sei I ein Ideal von [mm]\IQ \times \IC[/mm] und [mm](x,y) \in I[/mm]. Ist
> [mm]x\ne 0[/mm] und [mm]y\ne 0[/mm], dann ist [mm]x\in \IQ \ne 0 , y = 0[/mm] oder
> [mm]x=0 , y \in \IC \ne 0[/mm]
Sei $x [mm] \not= [/mm] 0$ und $y [mm] \not= [/mm] 0$, dann ist x=0 oder y=0 ? oO
Das ist doch ein ganz klassischer Widerspruch.
Somit hast du; solange du da richtig gefolgert hast, gezeigt, dass $x [mm] \not= [/mm] 0$ und $y [mm] \not= [/mm] 0$ unmöglich ist, dass also immer einer der beiden gleich 0 sein muss.
>
> also gibt es hier unendlich viele Ideale?
wage ich zu bezweifeln.
Wenn $(x,y) [mm] \in \IQ \times \IC$ [/mm] dann gibt es keine Beziehung zwischen x und y, die einzelnen Koordinaten das Paars beeinflussen sich in keinster Weise.
Deshalb können wir das erstmal auseinander nehmen und die Ideale der einzelnen bestimmen.
Also einmal alle Ideale von [mm] $\IQ$ [/mm] und einmal alle von [mm] $\IC$...
[/mm]
Das sind beides Körper, also haben sie jeweils nur {0} und sich selbst als Ideal.
Setzt man das wieder zusammen kriegt man diese vier Ideale für [mm] $\IQ \times \IC$:
[/mm]
{0} [mm] $\times$ [/mm] {0}
[mm] {0}$\times \IC$
[/mm]
[mm] $\IQ \times$ [/mm] {0}
[mm] $\IQ \times \IC$
[/mm]
Ich habe irgendwie das Gefühl du hast noch nicht ganz verstanden was ein Ideal ist oder was genau diese Bedinungen i) und ii) besagen.
Also ich würde dir raten sie dir nochmal ganz genau anzugucken und an ein paar weiteren Beispielen klar zu machen was genau da gemeint ist.
lg
Schadow
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:46 Mi 05.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Schadow,
Vielen Dank für deine Geduld und Erklärungen!
Gruss
kushkush
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:10 Mi 05.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Man finde alle Ideale I von :
>
> a) [mm]\IZ/[/mm] 4 [mm]\IZ$[/mm] und
>
> b) [mm]\IQ \times \IC[/mm]
>
> Hallo,
>
>
> Für ein Ideal muss gelten:
>
> S ist nichtleere Teilmenge von R, dann ist S ein Ideal
> genau dann wenn :
> [mm]i) \forall a,b \in S \Rightarrow (a-b)\in S [/mm]
> [mm]ii) \forall s\in S, \ \forall r\in R \Rightarrow rs,sr\in S[/mm]
>
> bei
>
> a) sind also die Ideale: [mm]\IZ/ k\IZ[/mm] mit [mm]k=1,2,3,4[/mm] und
> [mm]\{0\}[/mm]
Sorry, aber das ist voelliger Quark. Ausser fuer $k = 4$ ist das keine Teilmenge von [mm] $\IZ/4\IZ$!
[/mm]
Du musst dir Teilmengen von [mm] $\IZ/4\IZ$ [/mm] anschauen!!!
LG Felix
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