Ideale in Körpern < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 Di 05.05.2009 | | Autor: | n8Mare |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und f [mm] \in [/mm] K[x]
a.) Bestimmen Sie die Einheitengruppe E(K[x]) desRinges K[x]
b.) Zeigen Sie, dass jedes Ideal in K[x] ein Hauptideal ist.
c.) Zeigen Sie, dass das Hauptideal (f) für K[x] genau dann maximal ist, wenn f irreduzibel ist. |
Hallo,
ich habe mir folgendes gedacht:
zu a.)
Da K ein Körper ist, ist jedes Element in K ohne {0} multiplikativ invertierbar.
Daraus folgt: E(K[x]) = {K ohne Null}
oder muesste es E(K[x]) = {K[x] ohne Null} heißen?
zu b.)
Da K ein Körper ist, folgt das K und K[x] additiv und multiplikativ abgeschlossen sind.
[mm] \Rightarrow [/mm] für alle Ideale I [mm] \subseteq [/mm] K[x] gilt: I = K[x] * a = {x * a | a [mm] \in [/mm] K[x]} mit x [mm] \in [/mm] K[x].
Stimmt das zumindest halbwegs?
zu c.)
Hier bräuchte ich schon beim ansatz Hilfe.
So wie ich das verstanden habe, bedeutet Irreduzibilität dass ein Polynom nicht in Terme mit kleinerem Grad verwandelt werden kann.
Als Beispiel habe ich folgendes bekommen:
f(x) = [mm] x^2 [/mm] -2
für Q[x] ist dies irreduzibel, für R[x] jedoch nicht da f(x) = (x + [mm] \wurzel[2]{2} [/mm] ) * (x - [mm] \wurzel[2]{2} [/mm] ) gilt.
Bedeutet dass das ein maximales Hauptideal eine menge enthält die kein anderes Ideal enthalten kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:05 Mi 06.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> zu a.)
> Da K ein Körper ist, ist jedes Element in K ohne {0}
> multiplikativ invertierbar.
Ja.
> Daraus folgt: E(K[x]) = {K ohne Null}
Wieso?
> oder muesste es E(K[x]) = {K[x] ohne Null} heißen?
Nein, sicher nicht. Aber das hast du zu zeigen! Kennst du die Gradformel für Multiplikation von Elementen aus K[x]? Die hilft!
>
> zu b.)
> Da K ein Körper ist, folgt das K und K[x] additiv und
> multiplikativ abgeschlossen sind.
> [mm]\Rightarrow[/mm] für alle Ideale I [mm]\subseteq[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
K[x] gilt: I =
> K[x] * a = {x * a | a [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
K[x]} mit x [mm]\in[/mm] K[x].
> Stimmt das zumindest halbwegs?
Ja, halbwegs. Was da steht ist die Behauptung umgeschrieben, das Ideale so aussehen musst du noch zeigen. Tip: euklidischer Algorithmus.
> Bedeutet dass das ein maximales Hauptideal eine menge
> enthält die kein anderes Ideal enthalten kann?
Sei M ein maximales Ideal, nach b) also [m]M=(f)[/m], dann gibt es kein Ideal, und damit auch kein g, mit [m](f)\subsetneq (g)\subsetneq K[x][/m]. Für reduzibles f findest du ein passendes g schnell, für irreduzibles nie (Widersprucshbeweis!).
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Mi 06.05.2009 | | Autor: | n8Mare |
Danke für die rasche Antwort, vielleicht werde ich dieses Mal ja tatsächlich rechtzeitig fertig^^
ich hab mir nun Folgendes gedacht.
zu a.)
Vielleicht bin ich ja wirklich zu blauäugig aber es wird ja nur die Einheitengruppe gefordert und nicht der Beweis oder?
Den Beweis würde ich so angehen:
Da K ein Körper ist, besitzt laut Definition jedes Element ungleich 0, welches in K liegt, ein Inverses welches ebenfalls in K liegt. Da K[x] [mm] \supseteq [/mm] K gilt, gilt auch diese multiplikative Invertierbarkeit aller Elemente ausser 0 in K[x] (also: [mm] x^{-1} \in [/mm] K für x [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] K ).
Die Einheitengruppe ist die Menge der Elemente eines Ringes, die invertiert ebenfalls in eben jenem liegen. Daraus folgt: E(K[x]) = {K ohne 0} .
Die Gradfunktion sagt mir leider nichts und bei Wiki habe ich auf Anhieb nichts dazu gefunden. Ich nehme mal an der Grad bezieht sich auf den des Polynoms? Aber wichtig ist ja eigentlich nur diese Invertierbarkeit oder nicht ? Soll ich diese dann irgendwie anhand des Grades folgern können?
zu b.)
ok euklid also.
Ich muss zeigen dass alle Ideale aus K[x] hauptideale sind, d.h. alle Elemente aller Ideale sind gewissermassen Vielfache eines Elementes aus K[x] richtig?
also:
[mm] \forall [/mm] a [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \in [/mm] I, [mm] \forall [/mm] b [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \in [/mm] K[x], [mm] \exists [/mm] c [mm] \le [/mm] a,b [mm] \in [/mm] K[x] : c|a [mm] \wedge [/mm] c|b [mm] \Rightarrow [/mm] c|ab denn I [mm] \subseteq [/mm] K[x] [mm] \wedge [/mm] E(K[x]) = {K ohne x}.
c soll also ein ggT sein.
Stimmt zumindest schon mal die Richtung?
c.)
schau ich mir heute abend mal an
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:57 Do 07.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Vielleicht bin ich ja wirklich zu blauäugig aber es wird
> ja nur die Einheitengruppe gefordert und nicht der Beweis
> oder?
Natürlich mit Begründung - das ist bei Bestimmen implizit.
> Den Beweis würde ich so angehen:
> Da K ein Körper ist, besitzt laut Definition jedes Element
> ungleich 0, welches in K liegt, ein Inverses welches
> ebenfalls in K liegt. Da K[x] [mm]\supseteq[/mm] K gilt, gilt auch
> diese multiplikative Invertierbarkeit aller Elemente ausser
> 0 in K[x] (also: [mm]x^{-1} \in[/mm] K für x [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] K
> ).
Ja, damit hast du eine Teilmenge gefunden - warum kann es nicht mehr geben?
> Die Einheitengruppe ist die Menge der Elemente eines
> Ringes, die invertiert ebenfalls in eben jenem liegen.
Nein, es ist die Menge, die ein Inverses überhaupt besitzt.
> Daraus folgt: E(K[x]) = {K ohne 0} .
Nein, du hast nur eine Teilmenge gezeigt.
> Die Gradfunktion sagt mir leider nichts und bei Wiki habe
> ich auf Anhieb nichts dazu gefunden. Ich nehme mal an der
> Grad bezieht sich auf den des Polynoms?
Ja, Grad des Polynoms.
> Aber wichtig ist ja
> eigentlich nur diese Invertierbarkeit oder nicht ? Soll ich
> diese dann irgendwie anhand des Grades folgern können?
Du solltest die nicht Invertierbarkeit von anderen Elementen folgern ...
> also:
> [mm]\forall[/mm] a [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\in[/mm] I, [mm]\forall[/mm] b [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\in[/mm] K[x],
> [mm]\exists[/mm] c [mm]\le[/mm] a,b [mm]\in[/mm] K[x] :
Klener Gleich? Wie bitte?
> c|a [mm]\wedge[/mm] c|b [mm]\Rightarrow[/mm]
> c|ab denn I [mm]\subseteq[/mm] K[x] [mm]\wedge[/mm] E(K[x]) = {K ohne x}.
Und was hat das mit einem Ideal zu tun?
> c soll also ein ggT sein.
Von willkürlich gewählten b und etwas weniger willkürlichen a?
> Stimmt zumindest schon mal die Richtung?
Imo nein, ich kann aber nciht erkennen, was da stehen soll. Eine Bitte noch: bitte benutze den Formeleditor für eine ganze Formel, und öffne nicht für jedes Zeichen eine Matheumgebung - das ist Horror beim Zitieren.
SEcki
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