Ideale von Punkten < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:25 Mo 24.10.2016 | | Autor: | MinLi |
| Aufgabe | Beweisen Sie: Für einen Punkt a = [mm] (a_{1} ,...,a_{n} [/mm] ) [mm] \in K^{n} [/mm] gilt {f [mm] \in K[X_{1},...,X_{n}] [/mm] | f(a) = 0} = [mm] (X_{1} [/mm] - [mm] a_{1},..., X_{n} [/mm] - [mm] a_{n}).
[/mm]
Warum kann man schon auf der linken Seite der Gleichung erkennen, dass es sich bei der Menge um ein Ideal handelt? |
Hallo liebe Community,
Ich soll folgende Aufgabe lösen. Wir haben auch noch den Tipp gekriegt, dass wir es zuerst für den Spezialfall a=(0,...,0) zeigen sollen und dann erst für ein allgemeines a.
Allerdings habe ich mit der Aufgabe ein paar Probleme.
Ich habe mir folgendes überlegt was mir allerdings für diese Aufgabe zu kurz und zu einfach erscheint, aber ich sehe nicht wo mein Fehler liegt. Vielleicht könnte mir einer von euch sagen wo ich mich irre und wie ich diese Aufgabe lösen kann.
Für a=(0,...,0) gilt:
{f [mm] \in K[X_{1},...,X_{n}] [/mm] | f(a) = 0}
= {f [mm] \in K[X_{1},...,X_{n}] [/mm] | f((0,...,0)) = 0}
= { [mm] \summe_{i=1}^{n} b_{i}*X_{i} [/mm] | [mm] b_{i} \in [/mm] K} , nach der Definition von Idealen gilt dann
= [mm] (X_{1},...,X_{n})
[/mm]
So hätte ich den ersten Fall bewiesen und für allgemeines a würde ich das jetzt analog machen.
Wie gesagt, ich kann mir nicht vorstellen, dass es so trivial ist, weiß aber nicht wo mein Fehler liegt. Ich vermute mal das zweite Gleichheitszeichen.
Würde mich über etwas Hilfe sehr freuen.
Liebe Grüße, MinLi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:53 Di 25.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo MinLi!
> Für a=(0,...,0) gilt:
> $\{$f [mm]\in K[X_{1},...,X_{n}][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| f(a) = 0$\}$
> = $\{$f [mm]\in K[X_{1},...,X_{n}][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| f((0,...,0)) = 0$\}$
> = $\{$ [mm]\summe_{i=1}^{n} b_{i}*X_{i}[/mm] | [mm]b_{i} \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
K$\}$
Hier soll es vermutlich K[X_1,\ldots,X_n] statt $K$ heißen.
> nach der Definition von Idealen gilt dann
> = [mm](X_{1},...,X_{n})[/mm]
In der Tat liegt der Hase im mittleren Gleichheitszeichen begraben: Warum gilt diese Gleichheit?
Wenn [mm] $f=\sum_{i_1,\ldots,i_n\in\IN_0}a_{i_1,\ldots,i_n}*X_1^{i_1}*\ldots *X_n^{i_n}\in K[X_1,\ldots,X_n]$ [/mm] ist, wie lautet dann $f(0)$?
Zum zweiten Teil, dem Beweis der eigentlichen Behauptung unter Verwendung des als bewiesen angenommenen Spezialfalles a=0:
Für jedes [mm] $f\in K[X_1,\ldots,X_n]$ [/mm] betrachte das Polynom [mm] $g_f:=f(X_1+a_1,\ldots,X_n+a_n)\in K[X_1,\ldots,X_n]$.
[/mm]
Dann kann man sich [mm] $f(a)=g_f(0)$ [/mm] überlegen.
Insbesondere [mm] $f(a)=0\iff g_f(0)=0$.
[/mm]
Überlege dir weiter die Äquivalenz: [mm] $f\in (X_1-a_1,\ldots,X_n-a_n)\iff g_f\in (X_1,\ldots,X_n)$.
[/mm]
(Für die Rückrichtung nutze [mm] $f=g_f(X_1-a_1,\ldots,X_n-a_n)$.)
[/mm]
Schließlich setze alles zusammen.
Die Zusatzfrage aus der Aufgabenstellung kannst du unabhängig von der restlichen Aufgabe bearbeiten: Rechne nach, dass die Menge auf der linken Seite den definierenden Eigenschaften eines Ideals in [mm] $K[X_1,\ldots,X_n]$ [/mm] genügt.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 Di 25.10.2016 | | Autor: | MinLi |
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
> In der Tat liegt der Hase im mittleren Gleichheitszeichen
> begraben: Warum gilt diese Gleichheit?
>
>
> Wenn
> [mm]f=\sum_{i_1,\ldots,i_n\in\IN_0}a_{i_1,\ldots,i_n}*X_1^{i_1}*\ldots *X_n^{i_n}\in K[X_1,\ldots,X_n][/mm]
> ist, wie lautet dann [mm]f(0)[/mm]?
Wenn [mm] f(X_{1},...,X_{n})=\sum_{i_1,\ldots,i_n\in\IN_0}a_{i_1,\ldots,i_n}*X_1^{i_1}*\ldots *X_n^{i_n}\in K[X_1,\ldots,X_n], [/mm] gilt dann nicht einfach f(0) = [mm] \sum_{i_1,\ldots,i_n\in\IN_0}a_{i_1,\ldots,i_n}*0^{i_1}*\ldots *0^{i_n} [/mm] = 0?
>
> Zum zweiten Teil, dem Beweis der eigentlichen Behauptung
> unter Verwendung des als bewiesen angenommenen
> Spezialfalles a=0:
>
> Für jedes [mm]f\in K[X_1,\ldots,X_n][/mm] betrachte das Polynom
> [mm]g_f:=f(X_1+a_1,\ldots,X_n+a_n)\in K[X_1,\ldots,X_n][/mm].
> Dann
> kann man sich [mm]f(a)=g_f(0)[/mm] überlegen.
> Insbesondere [mm]f(a)=0\iff g_f(0)=0[/mm].
>
> Überlege dir weiter die Äquivalenz: [mm]f\in (X_1-a_1,\ldots,X_n-a_n)\iff g_f\in (X_1,\ldots,X_n)[/mm].
>
> (Für die Rückrichtung nutze
> [mm]f=g_f(X_1-a_1,\ldots,X_n-a_n)[/mm].)
Für die Hinrichtung gilt:
f [mm] \in (X_1-a_1,...,X_n-a_n) [/mm]
[mm] \Rightarrow f(X_1,...,X_n) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} b_i*(X_i-a_i)
[/mm]
[mm] \Rightarrow f(X_1+a_1,...,X_n+a_n) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} b_i*(X_i+a_i-a_i) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} b_i*X_i
[/mm]
[mm] \Rightarrow g_f \in (X_1,...,X_n)
[/mm]
Rückrichtung:
Es gilt: [mm] g_f(X_1,...,X_n) [/mm] = [mm] f(X_1+a_1,...,X_n+a_n)
[/mm]
[mm] \Rightarrow g_f(X_1-a_1,...,X_n-a_n) [/mm] = [mm] f(X_1,...,X_n)
[/mm]
Also gilt:
[mm] g_f(X_1,...,X_n) \in (X_1,...,X_n)
[/mm]
[mm] \Rightarrow g_f(X_1,...,X_n) [/mm] = [mm] f(X_1+a_1,...,X_n+a_n) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} b_i*X_i
[/mm]
[mm] \Rightarrow f(X_1,...,X_n) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} b_i*(X_i-a_i)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f [mm] \in (X_1-a_1,...,X_n-a_n)
[/mm]
> Schließlich setze alles zusammen.
Allerdings erkenne ich noch nicht direkt wie mir diese Äquivalenz beim lösen der Aufgabe hilft.
Vielleicht könntest du mir da nochmal eine kleine Hilfestellung geben.
Liebe Grüße, MinLi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 Di 25.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
Sei für [mm] $a\in K^n$ [/mm] jeweils
[mm] $M_a:=\{f\in K[X_1,\ldots,X_n]\;|\;f(a)=0\}$.
[/mm]
> > Wenn
> >
> [mm]f=\sum_{i_1,\ldots,i_n\in\IN_0}a_{i_1,\ldots,i_n}*X_1^{i_1}*\ldots *X_n^{i_n}\in K[X_1,\ldots,X_n][/mm]
> > ist, wie lautet dann [mm]f(0)[/mm]?
>
> Wenn
> [mm]f(X_{1},...,X_{n})=\sum_{i_1,\ldots,i_n\in\IN_0}a_{i_1,\ldots,i_n}*X_1^{i_1}*\ldots *X_n^{i_n}\in K[X_1,\ldots,X_n],[/mm]
> gilt dann nicht einfach f(0) =
> [mm]\sum_{i_1,\ldots,i_n\in\IN_0}a_{i_1,\ldots,i_n}*0^{i_1}*\ldots *0^{i_n}[/mm]
> = 0?
Das stimmt fast, aber nicht ganz.
Nach deiner Überlegung wäre hätte jedes beliebige Polynom aus [mm] $K[X_1,\ldots,X_n]$ [/mm] in 0 eine Nullstelle.
Dein letztes Gleichheitszeichen stimmt i.A. nicht.
In beliebigen Körpern gilt für [mm] $i\in\IN_0$:
[/mm]
[mm] $0^i=\begin{cases}0&\text{für }i>0\\1&\text{für }i=0\end{cases}$.
[/mm]
Somit gibt es in der Summe [mm] $\sum_{i_1,\ldots,i_n\in\IN_0}a_{i_1,\ldots,i_n}*0^{i_1}*\ldots *0^{i_n}$ [/mm] einen möglicherweise nicht verschwindenden Summanden: Den für [mm] $i_1=\ldots=i_n=0$.
[/mm]
Also [mm] $f(0)=a_{0,\ldots,0}$.
[/mm]
Das Polynom $f$ erfüllt also $f(0)=0$ genau dann, wenn [mm] $a_{0,\ldots,0}=0$ [/mm] gilt.
Die Bedingung [mm] $a_{0,\ldots,0}=0$ [/mm] ist wiederum äquivalent zu [mm] $f\in(X_1,\ldots,X_n)$. [/mm] (Warum?)
Also gilt für jedes [mm] $f\in K[X_1,\ldots,X_n]$ [/mm] die Äquivalenz:
[mm] $f\in M_0\iff f\in (X_1,\ldots,X_n)$.
[/mm]
Also haben wir in der Tat [mm] $M_0=(X_1,\ldots,X_n)$.
[/mm]
> > Zum zweiten Teil, dem Beweis der eigentlichen Behauptung
> > unter Verwendung des als bewiesen angenommenen
> > Spezialfalles a=0:
> >
> > Für jedes [mm]f\in K[X_1,\ldots,X_n][/mm] betrachte das Polynom
> > [mm]g_f:=f(X_1+a_1,\ldots,X_n+a_n)\in K[X_1,\ldots,X_n][/mm].
> >
> Dann
> > kann man sich [mm]f(a)=g_f(0)[/mm] überlegen.
> > Insbesondere [mm]f(a)=0\iff g_f(0)=0[/mm].
> >
> > Überlege dir weiter die Äquivalenz: [mm]f\in (X_1-a_1,\ldots,X_n-a_n)\iff g_f\in (X_1,\ldots,X_n)[/mm].
>
> >
> > (Für die Rückrichtung nutze
> > [mm]f=g_f(X_1-a_1,\ldots,X_n-a_n)[/mm].)
>
> Für die Hinrichtung gilt:
> f [mm]\in (X_1-a_1,...,X_n-a_n)[/mm]
> [mm]\Rightarrow f(X_1,...,X_n)[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} b_i*(X_i-a_i)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f(X_1+a_1,...,X_n+a_n)[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} b_i*(X_i+a_i-a_i)[/mm]
> = [mm]\summe_{i=1}^{n} b_i*X_i[/mm]
> [mm]\Rightarrow g_f \in (X_1,...,X_n)[/mm]
>
> Rückrichtung:
> Es gilt: [mm]g_f(X_1,...,X_n)[/mm] = [mm]f(X_1+a_1,...,X_n+a_n)[/mm]
> [mm]\Rightarrow g_f(X_1-a_1,...,X_n-a_n)[/mm] = [mm]f(X_1,...,X_n)[/mm]
> Also gilt:
> [mm]g_f(X_1,...,X_n) \in (X_1,...,X_n)[/mm]
> [mm]\Rightarrow g_f(X_1,...,X_n)[/mm]
> = [mm]f(X_1+a_1,...,X_n+a_n)[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} b_i*X_i[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f(X_1,...,X_n)[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} b_i*(X_i-a_i)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f [mm]\in (X_1-a_1,...,X_n-a_n)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > Schließlich setze alles zusammen.
>
> Allerdings erkenne ich noch nicht direkt wie mir diese
> Äquivalenz beim lösen der Aufgabe hilft.
Für alle [mm] $f\in K[X_1,\ldots,X_n]$ [/mm] gelten die Äquivalenzen:
[mm] $f\in M_a\iff f(a)=0\iff g_f(0)=0\iff g_f\in M_0\iff g_f\in (X_1,\ldots,X_n)\iff f\in (X_1-a_1,\ldots,X_n-a_n)$.
[/mm]
Somit gilt tatsächlich [mm] $M_a=(X_1-a_1,\ldots,X_n-a_n)$.
[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:49 Do 27.10.2016 | | Autor: | MinLi |
> Sei für [mm]a\in K^n[/mm] jeweils
>
> [mm]M_a:=\{f\in K[X_1,\ldots,X_n]\;|\;f(a)=0\}[/mm].
>
>
> > > Wenn
> > >
> >
> [mm]f=\sum_{i_1,\ldots,i_n\in\IN_0}a_{i_1,\ldots,i_n}*X_1^{i_1}*\ldots *X_n^{i_n}\in K[X_1,\ldots,X_n][/mm]
> > > ist, wie lautet dann [mm]f(0)[/mm]?
> >
> > Wenn
> >
> [mm]f(X_{1},...,X_{n})=\sum_{i_1,\ldots,i_n\in\IN_0}a_{i_1,\ldots,i_n}*X_1^{i_1}*\ldots *X_n^{i_n}\in K[X_1,\ldots,X_n],[/mm]
> > gilt dann nicht einfach f(0) =
> >
> [mm]\sum_{i_1,\ldots,i_n\in\IN_0}a_{i_1,\ldots,i_n}*0^{i_1}*\ldots *0^{i_n}[/mm]
> > = 0?
> Das stimmt fast, aber nicht ganz.
> Nach deiner Überlegung wäre hätte jedes beliebige
> Polynom aus [mm]K[X_1,\ldots,X_n][/mm] in 0 eine Nullstelle.
>
> Dein letztes Gleichheitszeichen stimmt i.A. nicht.
> In beliebigen Körpern gilt für [mm]i\in\IN_0[/mm]:
>
> [mm]0^i=\begin{cases}0&\text{für }i>0\\1&\text{für }i=0\end{cases}[/mm].
>
> Somit gibt es in der Summe
> [mm]\sum_{i_1,\ldots,i_n\in\IN_0}a_{i_1,\ldots,i_n}*0^{i_1}*\ldots *0^{i_n}[/mm]
> einen möglicherweise nicht verschwindenden Summanden: Den
> für [mm]i_1=\ldots=i_n=0[/mm].
>
> Also [mm]f(0)=a_{0,\ldots,0}[/mm].
>
> Das Polynom [mm]f[/mm] erfüllt also [mm]f(0)=0[/mm] genau dann, wenn
> [mm]a_{0,\ldots,0}=0[/mm] gilt.
> Die Bedingung [mm]a_{0,\ldots,0}=0[/mm] ist wiederum äquivalent zu
> [mm]f\in(X_1,\ldots,X_n)[/mm]. (Warum?)
[mm]a_{0,\ldots,0}=0[/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm]f\in(X_1,\ldots,X_n)[/mm] gilt, da [mm]a_{0,\ldots,0}=0[/mm] bedeutet, dass das Polynom f [mm] \in K[X_1,...,X_n] [/mm] keinen konstanten Koeffizienten ohne Variable besitzt. Daraus folgt allerdings schon, dass für dieses f gilt: f [mm] \in (X_1,...,X_n).
[/mm]
Den Rest der Aufgabe habe ich nun dank deiner Hilfe hingekriegt.
Liebe Grüße, MinLi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Do 27.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
> > Das Polynom [mm]f[/mm] erfüllt also [mm]f(0)=0[/mm] genau dann, wenn
> > [mm]a_{0,\ldots,0}=0[/mm] gilt.
> > Die Bedingung [mm]a_{0,\ldots,0}=0[/mm] ist wiederum äquivalent
> zu
> > [mm]f\in(X_1,\ldots,X_n)[/mm]. (Warum?)
>
> [mm]a_{0,\ldots,0}=0[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]f\in(X_1,\ldots,X_n)[/mm] gilt, da
> [mm]a_{0,\ldots,0}=0[/mm] bedeutet, dass das Polynom f [mm]\in K[X_1,...,X_n][/mm]
> keinen konstanten Koeffizienten ohne Variable besitzt.
> Daraus folgt allerdings schon, dass für dieses f gilt: f
> [mm]\in (X_1,...,X_n).[/mm]
Wenn [mm] $a_{0,\ldots,0}=0$ [/mm] gilt, hat f die Gestalt
[mm] $f=\sum_{i_1,\ldots,i_n\in\IN_0 \text{ mit }\exists k\in\{1,\ldots,n\}\colon i_k\neq0} a_{i_1,\ldots,i_n}X_1^{i_1}*\ldots*X_n^{i_n}$.
[/mm]
Da [mm] $(X_1,\ldots,X_n)$ [/mm] ein Ideal ist, genügt es daher [mm] $X_1^{i_1}*\ldots*X_n^{i_n}\in (X_1,\ldots,X_n)$ [/mm] für jede Wahl von [mm] $i_1,\ldots,i_n\in\IN_0$ [/mm] mit [mm] $\exists k\in\{1,\ldots,n\}$ [/mm] mit [mm] $i_k\not=0$ [/mm] zu zeigen.
Dies folgt jedoch aus
[mm] $X_1^{i_1}*\ldots*X_n^{i_n}=(X_1^{i_1}\cdot\ldots\cdot X_{k-1}^{i_{k-1}}\cdot X_{k}^{i_k-1}\cdot X_{k+1}^{i_{k+1}}\cdot\ldots\cdot X_{n}^{i_n})\cdot X_k$
[/mm]
und [mm] $X_k\in(X_1,\ldots,X_n)$.
[/mm]
Damit ist gezeigt: Im Falle [mm] $a_{0,\ldots,0}=0$ [/mm] gilt [mm] $f\in(X_1,\ldots,X_n)$.
[/mm]
Um umgekehrt zu zeigen, dass [mm] $f\in (X_1,\ldots,X_n)$ [/mm] auch [mm] $a_{0,\ldots,0}=0$ [/mm] impliziert, ist es (wie ich leider erst jetzt bemerkt habe) günstiger, statt [mm] $a_{0,\ldots,0}=0$ [/mm] direkt die äquivalente Bedingung $f(0)=0$ zu zeigen.
Sei also [mm] $f\in(X_1,\ldots,X_n)$. [/mm] Dann existieren Polynome [mm] $f_1,\ldots,f_n\in K[X_1,\ldots,X_n]$ [/mm] mit [mm] $f=\sum_{i=1}^nf_i\cdot X_i$. [/mm] Insbesondere gilt tatsächlich [mm] $f(0,\ldots,0)=\sum_{i=1}^nf_i(0)\cdot [/mm] 0=0$.
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