Ideale von Ringen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Mi 30.12.2009 | | Autor: | rinmic |
| Aufgabe | 1.)Finden sie für jede ganze Zahl n>=1 einen Ring, der genau n Ideale hat.
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Bin nach längerem überlegen etwas ratlos.. ich dachte mir das man einen Ring erzeugen könnte der genau n+1 Elemente hat, in dem jedes Element ein eigenes Ideal mit der Null erzeugt.. aber das geht wohl nicht (so einfach). Könnt ihr mich in die richtige Richtung schubsen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:08 Do 31.12.2009 | | Autor: | pelzig |
Nur so ne Idee. Für jede abelsche Gruppe [mm](G,+)[/mm], kann man doch den trivialen Ring betrachten [mm] $(G,+,\otimes)$ [/mm] mit [mm] $$\otimes:G\times G\ni(g,h)\mapsto 0\in [/mm] G$$ und die Ideale sind genau die Untergruppen von G. Also musst du "nur noch" Gruppen mit vorgegebener Anzahl von Untergruppen konstruieren...
Gruß, Robert
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:50 Do 31.12.2009 | | Autor: | rinmic |
Hätte dieser Ring dann aber nicht genau das Ideal {0} und sonst keins?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:34 Do 31.12.2009 | | Autor: | pelzig |
Wieso? Jede Untergruppe [mm]U\subsetG[/mm] ist ein Ideal, denn für alle [mm] $g\in [/mm] G, [mm] u\in [/mm] U$ ist [mm] $g\otimes u=0\in [/mm] U$. Das Problem ist natürlich, dass ich es grad gar nicht so klar finde wie man ne Gruppe mit vorgegebener Anzahl von Untergruppen finden kann und ich mir auch nicht sicher bin ob das jetzt wirklich ne Vereinfachung ist oder ob es die Sache nicht unnötig kompliziert macht.
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 So 03.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> 1.)Finden sie für jede ganze Zahl n>=1 einen Ring, der
> genau n Ideale hat.
Zaehl mal, wieviele Ideale der Ring [mm] $\IZ [/mm] / [mm] p^e \IZ$ [/mm] hat. Und wieviele der Nullring hat.
LG Felix
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