Idempotente Matrize < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 Do 20.05.2010 | | Autor: | alina00 |
| Aufgabe | | Welche der folgenden Matrizen der Q–Algebra [mm] Q^3^x^3 [/mm] sind idempotent, nilpotent, zerfallend, halbeinach. |
Also es wäre toll wenn mir da jemand bei einer Matrix helfen könnte, dann würde ich das für die anderen bestimmt auch schaffen. Die erste Matrix ist A= 0 0 2
1 0 -1
0 1 -1
Zuerst habe ich geguckt ob sie idempotent ist, also [mm] A^2=A [/mm] aber ist sie irgendwie nicht. Dann ob sie nilpotent ist, also [mm] A^k=0, [/mm] ist bei mir aber auch nicht der Fall, ich hab aber auch nur bis [mm] A^4 [/mm] gerechnet. Ich weiß nicht wie ich [mm] A^k [/mm] rechnen soll.
Dann weiter habe wollte ich gucken ob sie zerfallend ist und habe dafür das charakteristische Polynom gebildet, es kommen bei mir aber keine EW aus Q raus? Was heißt das jetzt, ist meine Matrix nichts von all dem oder wie??
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 Do 20.05.2010 | | Autor: | alina00 |
Oder bei der Matrix D= 0 1 0
1 0 1
0 1 0
Da habe ich auch so ein Problem, [mm] D^2 [/mm] ist nicht D und [mm] D^k [/mm] ist nicht 0 und für das char.Polynom habe ich [mm] x^3 [/mm] - 2x und als Ew nur 0 aus Q sonst nur reelle EW. Hilfe, ich weiß nicht was ich damit machen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 Do 20.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Dann weiter habe wollte ich gucken ob sie zerfallend ist
> und habe dafür das charakteristische Polynom gebildet, es
> kommen bei mir aber keine EW aus Q raus? Was heißt das
> jetzt, ist meine Matrix nichts von all dem oder wie??
Öhm. Alle Eiegnschaften sind per se unabhängig davon, in welcher Basis du dir Sachen anschaust. Da würde ich doch versuchen zu schaun, ob die Matrix diagonalisierbar ist / sich in Jordan-Normalform brignen lässt / über [m]\IC[/m] diagonalisierbar ist.
Sind alle drei Nullstellen reell, aber nicht aus Q? Dann muss die Matrix diagonalisierbar sein mit 3 paarw. verschiedenen EW.
Hat sie mehrfache Nst.? Die liegen dann in Q, dann gibt es echte Haupträume.
Har sie zwei echte komplexe? Dann ist sie dort diagonalisierbar.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 Do 20.05.2010 | | Autor: | alina00 |
Danke für die Antwort, doch das verstehe ich nicht, wieso soll ich denn gucken, ob ich die Matrix in Jordanform bringen kann, in meiner Def von zerfallenden Matrizen steht, dass das char.Plynom in gleiche linearfaktoren zerfällt, bedeutet, meine Matrix hat nur ein EW aber dreifach oder so. Ich habe hier eine Matrix aus [mm] Q^3^x^3. [/mm] Wenn ich keine EW aus Q habe, dann zerfällt meine Matrix doch auch nicht oder?
Def von Idempotent ist bei mir dass [mm] A^2=A [/mm] und bei nilpotent, dass [mm] A^k=0. [/mm] Das einzige wo ich gucken soll ob eine Matrix diagonalisierbar ist, ist doch wenn ich überprüfen will ob sie halbeinfach ist. Da ist jedoch wieder das Problem, dass ich keine reelle Matrix sondern aus Q habe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:09 Fr 21.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Danke für die Antwort, doch das verstehe ich nicht, wieso
> soll ich denn gucken, ob ich die Matrix in Jordanform
> bringen kann, in meiner Def von zerfallenden Matrizen
> steht, dass das char.Plynom in gleiche linearfaktoren
> zerfällt, bedeutet, meine Matrix hat nur ein EW aber
> dreifach oder so
Häh? Könntest du die Def. posten - ich kenne "zerfallen" nämlich nicht, noch nie gehört. 
>. Ich habe hier eine Matrix aus [mm]Q^3^x^3.[/mm]
> Wenn ich keine EW aus Q habe, dann zerfällt meine Matrix
> doch auch nicht oder?
Kann sein, ich kenne den Begriff aber nicht.
> Def von Idempotent ist bei mir dass [mm]A^2=A[/mm] und bei
> nilpotent, dass [mm]A^k=0.[/mm] Das einzige wo ich gucken soll ob
> eine Matrix diagonalisierbar ist, ist doch wenn ich
> überprüfen will ob sie halbeinfach ist.
Halbeinfach heisst doch über [m]\IC[/m] diagoanlisierbar?
> Da ist jedoch
> wieder das Problem, dass ich keine reelle Matrix sondern
> aus Q habe.
Nehmen wir mal an, Q hat über [m]\IC[/m] einen EW ungleich 0. Damit ist sie nicht mehr nilpotent, da es ja einen EV v gibt, und wenn ich dauernd A darauf anwende, wird das ganze nie 0, dh [m]A^k*v\neq 0[/m] für alle k. Da die Operationen zum multiplizieren aber die MAtrix in Q lassen - muss es auch dort gelten! Genauso für idempotent - gilt die GLeichung in Q, dann auch in C. Und auch andersrum, da Q Unterring von C ist.
[In Wahrheit reicht der algebraische Abschluss bzw. der Zerfkörper des char. Polynoms, wenn dir das was sagt.]
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 Mo 24.05.2010 | | Autor: | alina00 |
Also zerfallend bedeutet, dass das char.Polynom in linearfaktoren zerfällt. Wenn meine EW nicht aus Q sind, dann kann das über Q ja auch nicht in linearfaktoren zerfallen oder??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Mo 24.05.2010 | | Autor: | alina00 |
Wieso soll denn [mm] A^k*v=0 [/mm] sein, wobei v ein EV zum EW 0 ist? Nilpotent bedeutet doch einfach, dass [mm] A^k=0 [/mm] ohne v???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Mo 24.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Wieso soll denn [mm]A^k*v=0[/mm] sein, wobei v ein EV zum EW 0 ist?
> Nilpotent bedeutet doch einfach, dass [mm]A^k=0[/mm] ohne v???
Aber dann gilt die Gleichung doch für alle v, es ist ja dann die Nullabbildung!
SEcki
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