Identität Boolescher Term < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:32 So 09.12.2007 | | Autor: | bamm |
| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie folgende Identitäten durch Anwendung der Axiome boolescher Algebren (ohne Verwendung von Wahrheitstabellen). (Es gilt [mm](x \Rightarrow y) = (\bar x + y)[/mm] per Definition.)
[...]
[mm]4.) a * b * \bar c * d + a * c * d = a * b * d + a * c *d[/mm]
[mm]5.) (x * \bar y \Rightarrow z) = (\bar x + z) * (y + z)[/mm] |
Bei der obigen Aufgabe komm ich mit diesen zwei Teilaufgaben nicht so wirklich zurecht. Bei der 4.) hab ich leider absolut keine Idee wie ich da rangehen soll, Tipps willkommen. Aber mir gehts mehr um die Teilaufgabe 5.
Bei der 5.) lief es bei mir im Prinzip auf einen Widerspruch raus, aber stimmt das auch so? Ich hab folgendes gerechnet:
[mm](x * \bar y \Rightarrow z) \stackrel{\mathrm{per Def.}} = (\overline{x * \bar y} + z) = \overline{x * \bar y} + z[/mm]
aber: [mm](\bar x + z) * (y + z) \stackrel{\mathrm{Distributivregel}} = z + (\bar x * y) \stackrel{\mathrm{De-Morgan\ und\ Kommutativregel}} = \overline{(x + \bar y)} + z[/mm]
Und dann hätte ich so ne Art Widerspruch, aber so wirklich sauber ist das ja nicht? Denn evtl. wäre ja noch eine Umformung möglich, so dass ich die Identität beweisen kann. Oder ist das hier tatsächlich möglich und ich liege mit meinem vermuteteten Widerspruch falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:37 So 09.12.2007 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
4.) läßt sich mit der Distributivregel zerlegen. Ist zwar sehr umständlich, aber mit der Lösung kann man einen kürzeren Weg erkennen.
Bei 5.) fehlt noch der letzte Schritt.
Damit die Gleichheit, die von der Aufgabe behauptet wird, gilt, müssen deine beiden umgestellten Terme übereinstimmen.
D.h. [mm] \overline{x \cdot{} \bar y} [/mm] + z = [mm] \overline{(x + \bar y)} [/mm] + z
[mm] \gdw \overline{x \cdot{} \bar y} [/mm] = [mm] \overline{x + \bar y}
[/mm]
[mm] \gdw x\cdot{} \bar{y} [/mm] = [mm] x+\bar{y}
[/mm]
Ciao.
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 10:01 So 09.12.2007 | | Autor: | bamm |
> Bei 5.) fehlt noch der letzte Schritt.
> Damit die Gleichheit, die von der Aufgabe behauptet wird,
> gilt, müssen deine beiden umgestellten Terme
> übereinstimmen.
> D.h. [mm]\overline{x \cdot{} \bar y}[/mm] + z = [mm]\overline{(x + \bar y)} + z[/mm]
> [mm]\gdw \overline{x \cdot{} \bar y}[/mm] = [mm]\overline{x + \bar y}[/mm]
> [mm]\gdw x\cdot{} \bar{y}[/mm] = [mm]x+\bar{y}[/mm]
Hallo,
erstmal danke für deine Antwort. Leider komme ich mit dem letzten Schritt von dir nicht so ganz klar. Wenn ich jetzt das hier umforme
[mm]\gdw \overline{x \cdot{} \bar y}[/mm] = [mm]\overline{x + \bar y}[/mm]
käme ich erstmal auf
[mm]\gdw \bar x + y = \bar x \cdot{} y[/mm]
Ok, ist ja auch schon ein Widerspruch, da sie nicht übereinstimmen. Aber ich würde gerne wissen wie du von dort aus noch weiterrechnest. Oder hast du dich da verschrieben?
Zur Aufgabe 4: Hab ich inzwischen auch gelöst bekommen, mit einer Kombination aus Distributivregel, Komplementäre Elemente und Neutrales Element.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:16 So 09.12.2007 | | Autor: | hemina |
Hallo Bamm,
bist Du sicher, dass man die Definition nicht so verstehen müsste?
[mm]$ (x \cdot{} \bar y \Rightarrow z) \stackrel{\mathrm{per Def.}} = \overline{(x \cdot{} \bar y)} + z $[/mm]
Wenn mann z. B.
[mm]x \cdot{} \bar y [/mm] substituiert.
Grüße
Hemina
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:29 So 09.12.2007 | | Autor: | bamm |
Hallo,
Bin mir eig. recht sicher, dass das oben so stimmt. Die Klammern stehen ja in der Definition nicht so da [mm](\bar x) + y[/mm] sondern so [mm](\bar x + y)[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:57 Mi 12.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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