Identität bzgl. Basen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Schiefkörper $K$ mit Basen $B, B'$ der Kardinalität $n$.
a.) Zeigen Sie, dass [mm] $(id)_{B'}^B [/mm] = [mm] ((id)_B^{B'})^{-1}$ [/mm] |
Hallo zusammen,
frage mich mal wieder bei Aufgabe der LA, wie man es am einfachsten zeigen kann.
Zu a.) Ich weiß, dass ich in diesem Fall mir die Bilder des Basis $B$ unter der Identitätsabbildung ansehen muss, also sprich die einzelnen Spaltenvektoren [mm] $b_1,b_2,\dots,b_n$ [/mm] jetzt muss ich diese als Linearkombination der Basisvektoren von $B'$ aufschreiben um meine Spaltenvektoren der Matrix [mm] $(id)_{B'}^B$ [/mm] zu erhalten. Also sprich meine Basiswechselmatrix. Im anderen Fall [mm] $((id)_B^{B'})$ [/mm] habe ich genau die Spaltenvektoren der Basis $B'$ und muss diese als Linearkombination der Basisvektoren von $B$ ausdrücken um so die Matrix zu erhalten. Ich habe also im Grunde die multiplikativ inversen Skalare (stimmt das?), aber wie kann ich kurz und prägnant zeigen, dass das Inverse der einen Matrix [mm] $((id)_B^{B'})$ [/mm] gleich der Matrix [mm] $(id)_{B'}^B$ [/mm] ist?
LG
Joe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 Sa 02.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]V[/mm] ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem
> Schiefkörper [mm]K[/mm] mit Basen [mm]B, B'[/mm] der Kardinalität [mm]n[/mm].
> a.) Zeigen Sie, dass [mm](id)_{B'}^B = ((id)_B^{B'})^{-1}[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> frage mich mal wieder bei Aufgabe der LA, wie man es am
> einfachsten zeigen kann.
>
> Zu a.) Ich weiß, dass ich in diesem Fall mir die Bilder
> des Basis [mm]B[/mm] unter der Identitätsabbildung ansehen muss,
> also sprich die einzelnen Spaltenvektoren [mm]b_1,b_2,\dots,b_n[/mm]
> jetzt muss ich diese als Linearkombination der
> Basisvektoren von [mm]B'[/mm] aufschreiben um meine Spaltenvektoren
> der Matrix [mm](id)_{B'}^B[/mm] zu erhalten. Also sprich meine
> Basiswechselmatrix. Im anderen Fall [mm]((id)_B^{B'})[/mm] habe ich
> genau die Spaltenvektoren der Basis [mm]B'[/mm] und muss diese als
> Linearkombination der Basisvektoren von [mm]B[/mm] ausdrücken um so
> die Matrix zu erhalten. Ich habe also im Grunde die
> multiplikativ inversen Skalare (stimmt das?),
ne, zumindest nicht, wenn ich das, was Du da sagst, richtig verstehe. Was
meinst Du damit? Du meinst doch nicht, dass jeder Eintrag der einen
Matrix der multiplikativ Inverse der anderen ist - oder doch? Das wäre
nämlich Humbug...
> aber wie kann
> ich kurz und prägnant zeigen, dass das Inverse der einen
> Matrix [mm]((id)_B^{B'})[/mm] gleich der Matrix [mm](id)_{B'}^B[/mm] ist?
Na, es gilt doch für Matrizen [mm] $A,\;B \in K^{n \times n}$ [/mm] mit einem Körper [mm] $K\,:$
[/mm]
Genau dann ist [mm] $A\,$ [/mm] invertiertbar mit [mm] $B=A^{-1}\,,$ [/mm] wenn [mm] $A*B=E_n$
[/mm]
ist, wobei
[mm] $$E_n:=(\delta_{i,j})_{\substack{i=1,\ldots,n\\j=1,\ldots,n}}$$
[/mm]
und [mm] $\delta_{i,j}$ [/mm] das ![[]](/images/popup.gif) Kronecker-Delta ist - d.h. [mm] $E_n$ [/mm] ist die Einheitsmatrix des [mm] $K^{n \times n}\,.$
[/mm]
Das sollte, wenn ich mich gedanklich gerade nicht täusche - wirklich
überlegt habe ich es mir nicht und wissen tu ich's gerade auch nicht - wohl
auch passen, wenn [mm] $K\,$ [/mm] Schiefkörper ist - schlimmstenfalls kannst Du ja
auch einfach
[mm] $$A*B=E_n \text{ und }B*A=E_n$$
[/mm]
nachrechnen - wobei Du entsprechend aus Deiner Aufgabe entnimmst, was
als [mm] $A\,$ [/mm] bzw. [mm] $B\,$ [/mm] gewählt werden kann.
Ansonsten kann man auch sicher rein mit linearen Abbildungen
argumentieren:
Ich hoffe mal, dass [mm] $\text{id}_{B}^{B\,'}$ [/mm] für die entsprechende Matrix
steht, die die Koordinatenvektoren bzgl. [mm] $B\,$ [/mm] als Koordinatenvektoren
bzgl. [mm] $B\,'$ [/mm] beschreibt.
Es gibt also genau eine lineare Abbildung [mm] $\ell_1=\ell_{B \to B\,'}\,$ [/mm] mit
[mm] $\ell_1(b_i)=b_i\,'$ [/mm] für [mm] $i=1,\ldots,n\,,$ [/mm] wenn [mm] $B=(b_1,\ldots,b_n)$ [/mm] und [mm] $B\,'=(b_1\,',\ldots,b_n\,')\,.$ [/mm]
(Warum existiert solch' eine, und warum eindeutig? Beachte übrigens die
Endlichdimensionalität von [mm] $V\,.$) [/mm]
[mm] $\ell_1=\ell_{B \to B\,'}$ [/mm] kann also mit [mm] $\text{id}_{B}^{B\,'}$ [/mm] identifiziert werden.
Weiter gibt es genau eine lineare Abbildung [mm] $\ell_2=\ell_{B\,' \to B}$ [/mm] mit
[mm] $\ell_2(b_i\,')=b_i$ [/mm] für [mm] $i=1,\ldots,n\,.$ [/mm] (Die gleichen Fragen wie oben
brauche ich hier nicht mehr zu stellen, wenn Du sie oben beantwortet hast!)
Hier besteht analog der Zusammenhang zwischen [mm] $\ell_2=\ell_{B\,' \to B}$ [/mm] und [mm] $\text{id}_{B\,'}^B\,.$
[/mm]
Nun ist [mm] $\ell_2\circ \ell_1=\ell_{B \to B}$ [/mm] welche Abbildung? (Was hat sie
für Eigenschaften - womit kann sie identifiziert werden?)
Analoges gilt für [mm] $\ell_1 \circ \ell_2=\ell_{B\,' \to B\,'}$...?!
[/mm]
Und was hat die Verknüpfung linearer Abbildungen mit einem Matrixprodukt
zu tun? (Da muss man eventuell auch aufpassen, wenn man Basiswechsel
mitbeschreiben will...)
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
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> ne, zumindest nicht, wenn ich das, was Du da sagst, richtig
> verstehe. Was
> meinst Du damit? Du meinst doch nicht, dass jeder Eintrag
> der einen
> Matrix der multiplikativ Inverse der anderen ist - oder
> doch? Das wäre
> nämlich Humbug...
>
Hallo Marcel, schonmal danke für deine Antwort. Genau diese nicht korrekte These über multiplikative Inverse habe ich mir gerade eingeredet - ist natürlich Blödsinn nachdem ich mal darüber nachgedacht habe :)
>
> Na, es gilt doch für Matrizen [mm]A,\;B \in K^{n \times n}[/mm] mit
> einem Körper [mm]K\,:[/mm]
> Genau dann ist [mm]A\,[/mm] invertiertbar mit [mm]B=A^{-1}\,,[/mm] wenn
> [mm]A*B=E_n[/mm]
> ist, wobei
> [mm]E_n:=(\delta_{i,j})_{\substack{i=1,\ldots,n\\j=1,\ldots,n}}[/mm]
> und [mm]\delta_{i,j}[/mm] das
> Kronecker-Delta
> ist - d.h. [mm]E_n[/mm] ist die Einheitsmatrix des [mm]K^{n \times n}\,.[/mm]
>
> Das sollte, wenn ich mich gedanklich gerade nicht täusche
> - wirklich
> überlegt habe ich es mir nicht und wissen tu ich's gerade
> auch nicht - wohl
> auch passen, wenn [mm]K\,[/mm] Schiefkörper ist - schlimmstenfalls
> kannst Du ja
> auch einfach
> [mm]A*B=E_n \text{ und }B*A=E_n[/mm]
> nachrechnen - wobei Du
> entsprechend aus Deiner Aufgabe entnimmst, was
> als [mm]A\,[/mm] bzw. [mm]B\,[/mm] gewählt werden kann.
>
Wir dürfen von Links- und Rechtsinversität ausgehen auch bei Schiefkörper $K$ nach VL und das Kronecker-Delta habe ich noch nie gehört mit dem Begriff der Einheitsmatrix kann ich aber was anfangen :)
> Ansonsten kann man auch sicher rein mit linearen
> Abbildungen
> argumentieren:
> Ich hoffe mal, dass [mm]\text{id}_{B}^{B\,'}[/mm] für die
> entsprechende Matrix
> steht, die die Koordinatenvektoren bzgl. [mm]B\,[/mm] als
> Koordinatenvektoren
> bzgl. [mm]B\,'[/mm] beschreibt.
>
Mit lin. Abbildungen argumentieren klingt gut, aber deine Erklärung der Matrix leider nicht :) Denn [mm]\text{id}_{B}^{B\,'}[/mm] steht für die Matrix in deren Spalten die Koordinaten der Basisvektoren von $B$ bzgl $B'$ stehen - also sprich die Linearkombination der Vektoren von $B$ bezüglich Koordinaten von $B'$, aber diese Notation ist ja auch variabel.
> Es gibt also genau eine lineare Abbildung [mm]\ell_1=\ell_{B \to B\,'}\,[/mm]
> mit
> [mm]\ell_1(b_i)=b_i\,'[/mm] für [mm]i=1,\ldots,n\,,[/mm] wenn
> [mm]B=(b_1,\ldots,b_n)[/mm] und [mm]B\,'=(b_1\,',\ldots,b_n\,')\,.[/mm]
> (Warum existiert solch' eine, und warum eindeutig? Beachte
> übrigens die
> Endlichdimensionalität von [mm]V\,.[/mm])
> [mm]\ell_1=\ell_{B \to B\,'}[/mm] kann also mit [mm]\text{id}_{B}^{B\,'}[/mm]
> identifiziert werden.
>
Wenn wir eine lineare Abbildung (in diesem Fall einen Endomorphismus) zugrunde legen, dann ist die Einschränkung auf die Basisvektoren sicherlich auch linear und eindeutig. Was bedeutet aber die Notation [mm]\ell_{B\,' \to B}[/mm]= Einfach eine lineare Abbildung von $B'$ zu $B$?
> Weiter gibt es genau eine lineare Abbildung
> [mm]\ell_2=\ell_{B\,' \to B}[/mm] mit
> [mm]\ell_2(b_i\,')=b_i[/mm] für [mm]i=1,\ldots,n\,.[/mm] (Die gleichen
> Fragen wie oben
> brauche ich hier nicht mehr zu stellen, wenn Du sie oben
> beantwortet hast!)
> Hier besteht analog der Zusammenhang zwischen
> [mm]\ell_2=\ell_{B\,' \to B}[/mm] und [mm]\text{id}_{B\,'}^B\,.[/mm]
>
> Nun ist [mm]\ell_2\circ \ell_1=\ell_{B \to B}[/mm] welche Abbildung?
> (Was hat sie
> für Eigenschaften - womit kann sie identifiziert
> werden?)
>
[mm] $\ell_2\circ \ell_1$ [/mm] müsste im Grunde die Identität bzgl. der Basis $B$ sein, also wäre die Darstellungsmatrix [mm] $(id)_B^B$. [/mm] Daraus folgt nach dem Satz der VL, dass Komposition von Abbildungen dem Matrizenprodukt der Darstellungsmatrizen entspricht, dass [mm] $(id)_B^B [/mm] = [mm] (id)_B^{B'} \cdot (id)_{B'}^B$
[/mm]
> Analoges gilt für [mm]\ell_1 \circ \ell_2=\ell_{B\,' \to B\,'}[/mm]...?!
>
> Und was hat die Verknüpfung linearer Abbildungen mit einem
> Matrixprodukt
> zu tun? (Da muss man eventuell auch aufpassen, wenn man
> Basiswechsel
> mitbeschreiben will...)
Also gilt hier analog wie oben: [mm] $(id)_{B'}^{B'} [/mm] = [mm] (id)_{B'}^B \cdot (id)_B^{B'}$. [/mm]
Leider sehe ich aber immernoch nicht wie auf die Grundaussage schlussfolgere (vorausgesetzt meine bisherigen Antworten auf deine Argumentation sind schlüssig).
>
> Gruß,
> Marcel
Grüße
Joe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:49 So 03.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Joe,
> > Hallo,
> >
> > ne, zumindest nicht, wenn ich das, was Du da sagst,
> richtig
> > verstehe. Was
> > meinst Du damit? Du meinst doch nicht, dass jeder Eintrag
> > der einen
> > Matrix der multiplikativ Inverse der anderen ist - oder
> > doch? Das wäre
> > nämlich Humbug...
> >
>
> Hallo Marcel, schonmal danke für deine Antwort. Genau
> diese nicht korrekte These über multiplikative Inverse
> habe ich mir gerade eingeredet - ist natürlich Blödsinn
> nachdem ich mal darüber nachgedacht habe :)
>
> >
> > Na, es gilt doch für Matrizen [mm]A,\;B \in K^{n \times n}[/mm] mit
> > einem Körper [mm]K\,:[/mm]
> > Genau dann ist [mm]A\,[/mm] invertiertbar mit [mm]B=A^{-1}\,,[/mm] wenn
> > [mm]A*B=E_n[/mm]
> > ist, wobei
> >
> [mm]E_n:=(\delta_{i,j})_{\substack{i=1,\ldots,n\\j=1,\ldots,n}}[/mm]
> > und [mm]\delta_{i,j}[/mm] das
> >
> Kronecker-Delta
> > ist - d.h. [mm]E_n[/mm] ist die Einheitsmatrix des [mm]K^{n \times n}\,.[/mm]
>
> >
> > Das sollte, wenn ich mich gedanklich gerade nicht täusche
> > - wirklich
> > überlegt habe ich es mir nicht und wissen tu ich's gerade
> > auch nicht - wohl
> > auch passen, wenn [mm]K\,[/mm] Schiefkörper ist -
> schlimmstenfalls
> > kannst Du ja
> > auch einfach
> > [mm]A*B=E_n \text{ und }B*A=E_n[/mm]
> > nachrechnen - wobei Du
> > entsprechend aus Deiner Aufgabe entnimmst, was
> > als [mm]A\,[/mm] bzw. [mm]B\,[/mm] gewählt werden kann.
> >
>
> Wir dürfen von Links- und Rechtsinversität ausgehen auch
> bei Schiefkörper [mm]K[/mm] nach VL und das Kronecker-Delta habe
> ich noch nie gehört
Du darfst (  ) den Link anklicken: [mm] $\delta_{i,j}=1$ [/mm] gilt genau für [mm] $i=j\,,$ [/mm] und für
$i [mm] \not=j$ [/mm] ist [mm] $\delta_{i,j}=0\,.$ [/mm] Dabei ist [mm] $1=1_K$ [/mm] und [mm] $0=0_K$ [/mm] gemeint!
Beispiele: [mm] $\delta_{1,2}=0\,$ [/mm] und [mm] $\delta_{7,7}=1\,.$
[/mm]
Das ist also echt was "harmloses", was aber sehr effektiv werden kann, wenn
mann es in Rechnungen einsetzt!
> mit dem Begriff der Einheitsmatrix
> kann ich aber was anfangen :)
>
> > Ansonsten kann man auch sicher rein mit linearen
> > Abbildungen
> > argumentieren:
> > Ich hoffe mal, dass [mm]\text{id}_{B}^{B\,'}[/mm] für die
> > entsprechende Matrix
> > steht, die die Koordinatenvektoren bzgl. [mm]B\,[/mm] als
> > Koordinatenvektoren
> > bzgl. [mm]B\,'[/mm] beschreibt.
> >
>
> Mit lin. Abbildungen argumentieren klingt gut, aber deine
> Erklärung der Matrix leider nicht :)
Doch, denn...
> Denn
> [mm]\text{id}_{B}^{B\,'}[/mm] steht für die Matrix in deren Spalten
> die Koordinaten der Basisvektoren von [mm]B[/mm] bzgl [mm]B'[/mm] stehen -
> also sprich die Linearkombination der Vektoren von [mm]B[/mm]
> bezüglich Koordinaten von [mm]B'[/mm], aber diese Notation ist ja
> auch variabel.
das ist genau das, was ich sagte: Generell wird das Thema in Bosch, Lineare
Algebra gut behandelt, wie ich finde (wenn man nicht gerade schreckhaft
vor mathematischen Symbolen ist).
Ansonsten: Kapitel 8, Satz 8.1, Satz 8.5Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Schau' Dir dort auch nochmal Definition 8.3 (den letzten Satz dabei!) an.
Überleg' Dir doch mal, was $\text{id}_{B}^{B\,'}(v)$ macht: Mit dieser Abbildung
schreibt man ein $v \in V\,,$ welches als (eindeutig bestimmte)
Linearkombination von $B\,$ vorliegt, um als eine (eindeutig bestimmte)
Linearkombination von $B\,'\,.$ Aber $\text{id}_{B}^{B\,'}(v)$ bildet nicht
$v \in V$ auf einen anderen Vektor aus $V\,$ ab.
Denk' nun mal drüber nach, was $\text{id}_{B}^{B\,'}(b_1)$ ist:
Es ist
$$b_1=\vektor{1\\0\\.\\.\\.\\0}_B \;\;\text{( das '=' ist eigentlich ein "wird identifiziert mit")}$$
und (wenn $n=\dim(V)$)
$$b_1=\vektor{\lambda_{1}\,'\\\lambda_2\,'\\.\\.\\.\\\lambda_n\,'}_{B\,'}\,,$$
also als Koordinatenvektor bzgl. $B\,'$ dargestellt wird: Was hat dann wohl
$$\vektor{\lambda_{1}\,'\\\lambda_2\,'\\.\\.\\.\\\lambda_n\,'}_{B\,'}$$
mit der ersten Spalte der Matrix $\text{id}_{B}^{B\,'}$ zu tun?
So nebenbei - das hatte ich aber doch eh genauso gefragt: Ich hatte
gefragt, ob die Basisvektoren von $B\,$ nun bzgl. $B\,'$ geschrieben
werden? Und Du sagst, nein, sondern, in den Spalten dieser Matrix sind die Basisvektoren von $B\,$ bzgl. Koordinaten von $B\,'$ enthalten. Also entweder
haben wir aneinander vorbeigeredet, oder ich verstehe Dich nicht: Denn
mit dem, was Du mir am Ende sagst, bejahst Du mir doch die Frage.
Und nur, damit das generell klar wird:
Ist $v \in V\,,$ so gibt es bzgl. $B\,$ genau eine Linearkombination
$$v=\sum_{k=1}^n \lambda_{k}(v)*b_k\,.$$
Deswegen "identifiziert" man $v \in V$ mit dem Koordinatenvektor
$$v=v_B=\vektor{\lambda_1(v)\\.\\.\\.\\\lambda_n(v)}_\blue{B}\,,$$
wobei man ja meist nicht die Basis mit dranschreibt, bzgl. der der
Koordinatenvektor zu verstehen ist.
Bzgl. $B\,'$ gibt es wiederum eine eindeutig bestimmte Linearkombination
$$v=\sum_{k=1}^n \lambda_{k}\,'(v)*b_k\,'\,.$$
Jetzt in Koordinatenvektorschreibweise:
$$v=v_{B\,'}=\vektor{\lambda_1\,'(v)\\.\\.\\.\\\lambda_n\,'(v)}_{\red{B\,'}}$$
Und dann gilt
$$\vektor{\lambda_1\,'(v)\\.\\.\\.\\\lambda_n\,'(v)}_{\red{B\,'}}=\text{id}_{B}^{B\,'}*\vektor{\lambda_1(v)\\.\\.\\.\\\lambda_n(v)}_\blue{B}\,$$
Insbesondere siehst Du: Ist $v\,$ der $j\,$-te Basisvektor von $B\,$ in
Koordinatenform bzgl.$B\,,$ d.h. $v=b_j=((\delta_{i,j})_{i=1,\ldots,n})^T}_{\blue{B}\,$ (der $j\,$-te Einheitsvektor in Spaltennotation!)
so ist
$$\vektor{\lambda_1\,'(v)\\.\\.\\.\\\lambda_n\,'(v)}_{\red{B\,'}}=\vektor{\lambda_1\,'(b_j)\\.\\.\\.\\\lambda_n\,'(b_j)}_{\red{B\,'}}$$
die $j\,$-te SPALTE von $\text{id}_{B}^{B\,'}\,.$
> > Es gibt also genau eine lineare Abbildung [mm]\ell_1=\ell_{B \to B\,'}\,[/mm]
> > mit
> > [mm]\ell_1(b_i)=b_i\,'[/mm] für [mm]i=1,\ldots,n\,,[/mm] wenn
> > [mm]B=(b_1,\ldots,b_n)[/mm] und [mm]B\,'=(b_1\,',\ldots,b_n\,')\,.[/mm]
> > (Warum existiert solch' eine, und warum eindeutig? Beachte
> > übrigens die
> > Endlichdimensionalität von [mm]V\,.[/mm])
> > [mm]\ell_1=\ell_{B \to B\,'}[/mm] kann also mit [mm]\text{id}_{B}^{B\,'}[/mm]
> > identifiziert werden.
> >
>
> Wenn wir eine lineare Abbildung (in diesem Fall einen
> Endomorphismus) zugrunde legen, dann ist die Einschränkung
> auf die Basisvektoren sicherlich auch linear und eindeutig.
> Was bedeutet aber die Notation [mm]\ell_{B\,' \to B}[/mm]= Einfach
> eine lineare Abbildung von [mm]B'[/mm] zu [mm]B[/mm]?
Na, im Prinzip ist [mm] $\ell_{B \to B\,'}$ [/mm] die Identität $V [mm] \to V\,,$ [/mm] bei der
Vektoren aus [mm] $V\,$ [/mm] bzgl. der Basis [mm] $B\,$ [/mm] nur bzgl. [mm] $B\,'$ [/mm] dargestellt
werden.Es ist sozusagen die lineare Abbildung, die mit [mm] $\text{id}_{B}^{B\,'}$
[/mm]
"identifiziert werden kann".
> > Weiter gibt es genau eine lineare Abbildung
> > [mm]\ell_2=\ell_{B\,' \to B}[/mm] mit
> > [mm]\ell_2(b_i\,')=b_i[/mm] für [mm]i=1,\ldots,n\,.[/mm] (Die gleichen
> > Fragen wie oben
> > brauche ich hier nicht mehr zu stellen, wenn Du sie oben
> > beantwortet hast!)
> > Hier besteht analog der Zusammenhang zwischen
> > [mm]\ell_2=\ell_{B\,' \to B}[/mm] und [mm]\text{id}_{B\,'}^B\,.[/mm]
> >
> > Nun ist [mm]\ell_2\circ \ell_1=\ell_{B \to B}[/mm] welche Abbildung?
> > (Was hat sie
> > für Eigenschaften - womit kann sie identifiziert
> > werden?)
> >
>
> [mm]\ell_2\circ \ell_1[/mm] müsste im Grunde die Identität bzgl.
> der Basis [mm]B[/mm] sein, also wäre die Darstellungsmatrix
> [mm](id)_B^B[/mm]. Daraus folgt nach dem Satz der VL, dass
> Komposition von Abbildungen dem Matrizenprodukt der
> Darstellungsmatrizen entspricht, dass [mm](id)_B^B = (id)_B^{B'} \cdot (id)_{B'}^B[/mm]
>
>
> > Analoges gilt für [mm]\ell_1 \circ \ell_2=\ell_{B\,' \to B\,'}[/mm]...?!
>
> >
> > Und was hat die Verknüpfung linearer Abbildungen mit einem
> > Matrixprodukt
> > zu tun? (Da muss man eventuell auch aufpassen, wenn man
> > Basiswechsel
> > mitbeschreiben will...)
>
> Also gilt hier analog wie oben: [mm](id)_{B'}^{B'} = (id)_{B'}^B \cdot (id)_B^{B'}[/mm].
>
> Leider sehe ich aber immernoch nicht wie auf die
> Grundaussage schlussfolgere (vorausgesetzt meine bisherigen
> Antworten auf deine Argumentation sind schlüssig).
Na Mensch, da hast Du dann doch auch alles mit den linearen Abbildungen:
Ich mach's jetzt mal einfach:
[mm] $\ell_1=\ell_{B \to B\,'}$ [/mm] entspricht einfach [mm] $\text{id}_B^{B\,'}$ [/mm] (genauer ist das gemäß Satz 8.5 zu verstehen).
Weiter entspricht [mm] $\ell_2=\ell_{B\,' \to B}$ [/mm] einfach [mm] $\text{id}_{B\,' \to B}\,.$
[/mm]
(I) [mm] $\ell_2 \circ \ell_1=\ell_{B \to B}$ [/mm] entspricht einfach einer $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix,
welche die Koordinatenvektoren eines Vektors aus [mm] $V\,$ [/mm] bzgl. [mm] $B\,$ [/mm] als
Koordinatenvektor bzgl. [mm] $B\,$ [/mm] schreibt: Das ist die $n [mm] \times [/mm] n$-Einheitsmatrix.
(II) [mm] $\ell_1 \circ \ell_2=\ell_{B\,' \to B\,'}$ [/mm] entspricht einfach einer $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix,
welche die Koordinatenvektoren eines Vektors aus [mm] $V\,$ [/mm] bzgl. [mm] $B\,\red{'}\,$ [/mm] als
Koordinatenvektor bzgl. [mm] $B\,\red{'}$ [/mm] schreibt: Das ist ebenfalls die $n [mm] \times [/mm] n$-Einheitsmatrix.
[mm] $\ell_2 \circ \ell_1=\ell_{B \to B}$ [/mm] entspricht also dem Matrixprodukt
[mm] $$\text{id}_{B}^{B\,'}*\text{id}_{B\,'}^B$$
[/mm]
und nach (I) entspricht [mm] $\ell_2 \circ \ell_1$ [/mm] aber auch [mm] $\ell_{B \to B}\,,$ [/mm] also [mm] $\text{id}_{B}^{B}=E_n\,.$
[/mm]
Also folgt
[mm] $$\text{id}_{B}^{B\,'}*\text{id}_{B\,'}^B=E_n\,.$$
[/mm]
Das ist jetzt nicht so super sauber formuliert, weil ich andernfalls den
erwähnten Satz 8.5 mitnehmen und dann eine Bijektion immer mitschalten
müßte, aber ich hoffe, Du verstehst das Prinzip.
Wenn Du das verstanden hast, ist es übrigens auch schon alleine deshalb
nicht verwunderlich, dass das Matrixprodukt im allgemeinen nicht
kommutativ ist, weil ja schon für Abbildungen
[mm] $$g\colon [/mm] X [mm] \to [/mm] Y$$
und
[mm] $$f\colon [/mm] Y [mm] \to [/mm] Z$$
zwar $f [mm] \circ g\colon [/mm] X [mm] \to [/mm] Z$ definiert ist, aber $g [mm] \circ [/mm] f$ i.a. nicht definiert sein muss...
Also das wichtigste ist eigentlich: Mach' Dir klar, was Matrizen
[mm] $\bullet$ [/mm] mit linearen Abbildungen zu tun haben, wenn KEIN Basiswechsel stattfindet
[mm] $\bullet$ [/mm] was Matrizen mit der Identitätsabbildung zu tun haben, wenn dabei NUR ein Basiswechsel stattfindet
[mm] $\bullet$ [/mm] Kombination aus den zwei vorangegangenen Aussagen: Was hat eine Matrix mit einem Endomorphismus zu tun, wenn dabei zudem ein Basiswechsel stattfindet?
P.S. Mir passiert's (leider) oft, dass ich manchmal bei solchen Basiswechseln
von [mm] $B\,$ [/mm] nach [mm] $B\,'$ [/mm] etwas schreibe, wobei ich den Wechsel etwa von
[mm] $B\,$ [/mm] nach [mm] $B\,'$ [/mm] erwähne, aber vielleicht der Wechsel [mm] $B\,'$ [/mm] nach [mm] $B\,$ [/mm]
der richtige wäre. Das kann mir hier durchaus (auch mehrmals) passiert
sein, wenn Dir was auffällt, weise mich bitte drauf hin. Das sollte korrigiert
werden. (Übrigens ist die Identität natürlich ein (linearer) Endomorphismus
und bijektiv...)
Ansonsten, wie gesagt, empfehle ich Dir mal: Bosch, Lineare Algebra,
Kapitel 3.4 (Basiswechsel)- eventuell mit dem vorangegangen Kapitel über
Matrizen. Das ganze 3te Kapitel ist eigentlich wirklich sehr geeignet, zumal
Bosch in seinen Notation dort auch wirklich "alles" mitnimmt. Er schreibst
auch nicht wie ich
[mm] $$v=v_B$$
[/mm]
sondern sagt nur, dass [mm] $v_B\,$ [/mm] der Koordinatenvektor von [mm] $v\,$ [/mm] bzgl. [mm] $B\,$
[/mm]
ist, was formal auch das richtig(ere) ist. Aber man identifiziert halt meist
[mm] $v_B\,$ [/mm] dann mit [mm] $v=\sum_{k=1}^n \lambda_k(v)*b_k\,,$ [/mm] deswegen
habe ich das mit diesem Gleichheitszeichen notiert...
P.P.S. Nicht verzweifeln, bei diesem Thema haben fast alle Studierenden
Probleme, und sogar viele mit Abschluss haben das nicht immer ganz oder
komplett verstanden. Das ist sozusagen prädestiniert dafür, dass man
dabei verwirrt wird und ab und an am Verzweifeln ist. Denn oft ist's auch
so: Gerade, wenn man denkt, nun hat man es endgültig verstanden, merkt
man wieder, dass das an so manchen Stellen wohl doch nicht so ist...
Und zu aller guter Letzt: Ich glaube, dass man wirklich nur verstehen kann,
was ich mit [mm] $\ell_1$ [/mm] bzw. [mm] $\ell_2$ [/mm] meine, wenn man wirklich auch mit [mm] $n=\dim(V)$ [/mm] sowas wie
[mm] $$\text{koord}_B\colon V\to K^n$$
[/mm]
defniert (eine Koordinatenabbildung bzgl. "fester" Basis [mm] $B\,$), [/mm] wobei
[mm] $$\text{koord}_B(v)=\vektor{\lambda_1(v)\\.\\.\\.\\\lambda_n(v)}_B$$
[/mm]
zu verstehen ist, wobei ich die rechte Seite ja oben schon erklärt habe, wie
diese zustande kommt.
Denn ohne sowas "(be)merkt" man alleine bei linearen Abbildungen $V [mm] \to [/mm] V$
einen Basiswechsel eigentlich nicht... (ähnliches bei linearen Abbildungen
$V [mm] \to [/mm] W$ mit einer Koordinatenabbildung bzgl. einer Basis von [mm] $V\,$ [/mm] und einer
(dann zusätzlichen) Koordinatenabbildung bzgl. einer Basis von [mm] $W\,$...)
[/mm]
Aber wie gesagt: Bosch, Lineare Algebra!!
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
danke für deine ausführliche Antwort und sorry für meine späte Antwort, war aufgrund einiger Klausuren schwer Zeit zu finden aber ich habe deine Vorgehensweise kapiert. Jetzt verwirrt mich nur noch die Thematik der Notation mehr. Wir haben also bspw. eine lineare Abbildung $f : V [mm] \rightarrow [/mm] W$ mit Basen $B$ und $C$ von $V$ bzw $W$, so ist [mm] $f_C^B$ [/mm] bzw. noch andere Notation $~_C [mm] f_B$ [/mm] (mit $|C|$ Zeilen und $|B|$ Spalten) die dazugehörige Darstellungsmatrix. Stimmt doch oder?
Den Bosch - Lineare Algebra habe ich vor mir (als eBook), bloß ist seine Notation in vielen Punkten ungleich der aus der VL und in der Klausur wird halt die aus der VL verlangt, weswegen ich mich stark am Skript "rumhangle" :)
Jedenfalls kapiere ich deine Aussage und zwar habe ich einfach nicht gesehen, dass bei der Komposition eine solche Matrix $~_{B'} [mm] id_{B'}$ [/mm] mit identischem Basenpaar herauskommt, was natürlich die Einheitsmatrix [mm] $E_n$ [/mm] ist :) Dieser Gedanke ist mir völlig unbekannt vorgekommen, ist aber absolut logisch, da kein Basiswechsel vorkommt. Alles Verwirrung verursacht durch die Notation :)
Zur fehlenden Kommutativität der Kommutativität kann man sich doch einfach Beispiele basteln von [mm] $\IR \rightarrow \IR$ [/mm] mit $f(x)=x+1$ und $g(x)=2x$. Nun ist $f [mm] \circ [/mm] g = 2x+1$, währenddessen $g [mm] \circ [/mm] f = 2x+2$ ist. Wenn ich jetzt von $V [mm] \rightarrow [/mm] W$ $f$ definieren würde und von $W [mm] \rightarrow [/mm] X$ $g$ definiere, dann wäre $g [mm] \circ [/mm] f$ definiert, aber nicht $f [mm] \circ [/mm] g$.
> $ [mm] \bullet [/mm] $ mit linearen Abbildungen zu tun haben, wenn KEIN Basiswechsel stattfindet
Falls kein Basiswechsel stattfindet, sind die Spalten der Darstellungsmatrix einfach die Bilder der Basisvektoren des "Definitionsvektorraums" (gibt es dafür ein besseres Wort)?
> $ [mm] \bullet [/mm] $ was Matrizen mit der Identitätsabbildung zu tun haben, wenn dabei NUR ein Basiswechsel stattfindet
Also du meinst wenn wir bspw. den [mm] $\IR^2$ [/mm] betrachten und uns Basen $B = [mm] \{b_1 = (1,0), b_2 = (0,1)\}$ [/mm] und [mm] $B'=\{b_1=(1,1),b_2=(0,1)\}$, [/mm] dann ist $~_B [mm] id_B [/mm] = [mm] \pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}$, [/mm] jedoch $~_{B'} [mm] id_B [/mm] = [mm] \pmat{1 & 0 \\ -1 & 1}$ [/mm] oder? Also wegen der LK [mm] $b_1 [/mm] = b'_1 - b'_2$ die $-1$ in der zweiten Zeile.
> $ [mm] \bullet [/mm] $ Kombination aus den zwei vorangegangenen Aussagen: Was hat eine Matrix mit einem Endomorphismus zu tun, wenn dabei zudem ein Basiswechsel stattfindet?
Die Spalten von Darstellungsmatrizen von Endomorphismen sind die Bilder der "Ursprungsbasisvektoren" wie oben $B$ dargestellt als Linearkombination der anderen Basis $B'$.
Ich hoffe, dass alles stimmt :)
Grüße
Joe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 So 10.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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