Identitätssatz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Di 11.09.2012 | | Autor: | teo |
| Aufgabe | Sei [mm]\Omega \subset \IC [/mm] ein Gebiet mit [mm] 0 \in \Omega [/mm]. Untersuchen Sie, ob es eine holomorphe Funktion [mm]h: \Omega \to \IC [/mm] gibt mit:
[mm] h(\frac{1}{2n}) = h(\frac{1}{2n-1}) = \frac{1}{n} [/mm] für alle [mm] n \in \IN [/mm], mit [mm] \frac{1}{2n},\frac{1}{2n-1} \in \Omega [/mm] |
Hallo,
ich würde gerne wissen, ob die Formulierung so bleiben kann und ob ich besser die Formulierung in Klammern verwenden sollte.
Es gibt keine solche Funktion h:
Angenommen es gibt eine holomorphe Funktion h mit den geforderten Eigenschaften.
Die Menge [mm] \{z \in \Omega | h(z) = 2z\} [/mm] hat wegen [mm] \{\frac{1}{2n} | n \in \IN\} \subset \{z \in \Omega | h(z) = 2z\}[/mm] einen Häufungspunkt in 0.
(Hier bin ich mir nicht sicher, ob ich nicht besser schreiben soll: [mm] \{\frac{1}{2n} | n \in \IN\}\cup \{0\} \subset \{z \in \Omega | h(z) = 2z\}[/mm] Ist das besser? Wärs anders falsch?)
Nach dem Identitätssatz folgt dann, dass [mm] h(z) = 2z [/mm] für alle [mm] z \in \Omega [/mm].
Nun ist aber [mm] h(\frac{1}{2n-1}) = \frac{2}{2n-1} \not= \frac{1}{n} [/mm]. Widerspruch.
Also gibt es keine solche Funktion h.
Vielen Dank!
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Di 11.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo teo,
korrigierender Kommentar voran: Die Nullumgebung [mm] $U\,,$ [/mm] von
der ich unten rede, soll auch zusammenhängend sein - etwa eine
offene Kreisscheibe um die Null!
> Sei [mm]\Omega \subset \IC[/mm] ein Gebiet mit [mm]0 \in \Omega [/mm].
> Untersuchen Sie, ob es eine holomorphe Funktion [mm]h: \Omega \to \IC[/mm]
> gibt mit:
>
> [mm]h(\frac{1}{2n}) = h(\frac{1}{2n-1}) = \frac{1}{n}[/mm] für alle
> [mm]n \in \IN [/mm], mit [mm]\frac{1}{2n},\frac{1}{2n-1} \in \Omega[/mm]
>
>
> Hallo,
>
> ich würde gerne wissen, ob die Formulierung so bleiben
> kann und ob ich besser die Formulierung in Klammern
> verwenden sollte.
>
> Es gibt keine solche Funktion h:
>
> Angenommen es gibt eine holomorphe Funktion h mit den
> geforderten Eigenschaften.
dann ist sie insbesondere komplex differenzierbar in einer (genügend
kleinen) Umgebung [mm] $U\,$ [/mm] der Null - wegen $0 [mm] \in \Omega\,,$ [/mm] wobei letzteres ja der Definitionsbereich von [mm] $h\,$ [/mm] ist!
> Die Menge [mm]\{z \in \Omega | h(z) = 2z\}[/mm] hat wegen
> [mm]\{\frac{1}{2n} | n \in \IN\} \subset \{z \in \Omega | h(z) = 2z\}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> einen Häufungspunkt in 0.
Also erstens: Die Menge $\{\frac{1}{2n} | n \in \IN\}$ hat sicher
$0\,$ als Häufungspunkt.
Jetzt prüfe ich mal Deine Behauptung: Sei $x \in \{1/(2n): n \in \IN\}\,.$
Jetzt kommt schon der erste Patzer, den man sieht:
Ich kann dann zwar $x=1/(2n)\,$ mit einem $n \in \IN$ schreiben, aber
$h(x)\,$: Kann ich das immer hinschreiben? Ich werde gar nicht notwendigerweise "immer" $h(x)\,$ hinschreiben dürfen. Denn: Wer sagt
mir, dass dieses $x\,$ auch in $\Omega$ liegt?
Das läßt sich aber reparieren, und ist nun mehr "didaktisch" gemeint (soll
heißen: Pass' genau auf, was Du schreibst, wenn Leute "Dir schon bei
Kleinigkeiten nicht mehr (begründet) glauben/folgen wollen, dass das so
stimmt, überlegen die sich nicht immer, ob Du da nur "geschlampt" hast
und ob das nun Wesentlich oder nicht ist(!!)):
Ich behaupte, dass man wenigstens $\{1/(2n): n \in \IN \text{ und }n \red{\mathbf\;\ge N}}\} \subseteq \Omega$
mit einem hinreichend großen $N\,$ hat. Wieso? (Tipp: Mach' Dir klar,
wieso ich direkt nach Deiner Annahme etwas kommentiert habe!!)
(Übrigens hat glücklicher Weise jede solche Menge (man hat ja unendlich
viele: Wenn man ein passendes $N=N_0$ gefunden hat, kann man auch
jedes größere nehmen,etwa $N_0+1\,,$ oder $N_0+3047$ oder ...) auch
$0\,$ als Häufungspunkt).
Betrachten wir nun also nur noch alle bis auf endlich viele $n \in \IN$ so,
dass $1/(2n) \in \Omega\,,$ sogar so, dass diese $1/(2n) \in U\,.$
Dann folgt $h(1/(2n))=1/n=2*(1/n)\,.$ In der
Tat gilt also, dass
$$\emptyset \not=\blue{\{1/(2n): n \in \IN \text{ und }n \red{\mathbf\;\ge N}}\}} \subseteq \{z \in \Omega: h(z)=2z\}\,.$$
Beweise nun, dass die (nichtleere) blaue Menge (mit dem roten $N\,$) wenigstens
$0\,$ als Häufungspunkt enthält. (Sie könnte auch noch andere enthalten,
aber das interessiert nicht.)
> (Hier bin ich mir nicht sicher, ob ich nicht besser
> schreiben soll: [mm]\{\frac{1}{2n} | n \in \IN\}\cup \{0\} \subset \{z \in \Omega | h(z) = 2z\}[/mm]
> Ist das besser? Wärs anders falsch?)
Naja, der Punkt ist doch, dass [mm] $\{\frac{1}{2n} | n \in \IN \text{ und }n \ge N\} \subseteq \{z \in \Omega: h(z)=2z\}\,$ [/mm] anders gesagt:
Die Funktion [mm] $h\,$ [/mm] stimmt auf [mm] $\{\frac{1}{2n} | n \in \IN \text{ und }n \ge N\}$ [/mm] mit der Funktion [mm] $g(z):=2z\,$ [/mm] überein, wobei wir $g: U [mm] \to \IC$ [/mm]
betrachten und wobei [mm] $U\,$ [/mm] eine Umgebung von [mm] $0\,$ [/mm] so (klein) sei, dass
$U [mm] \subseteq \Omega\,.$ [/mm] Und wenn man jetzt genau hinguckt, sollte man
sehen, dass eigentlich auch die obige "Existenz/Wahl" eines [mm] "$N\,$'s [/mm]
passend" eigentlich nur meinte, dass [mm] $N=N(U)\,.$ [/mm] Also das ganze kann
man schöner und sauberer hinschreiben, wenn man eine vernünftige
Reihenfolge einhält bzw. entsprechende Beziehungen früher verdeutlicht!
> Nach dem Identitätssatz folgt dann, dass [mm]h(z) = 2z[/mm] für
> alle [mm]z \in \Omega [/mm].
Genauer: $g: U [mm] \to \IC$ [/mm] mit [mm] $g(z):=2z\,$ [/mm] ($z [mm] \in [/mm] U [mm] \subseteq \Omega$ [/mm] -
und erinnere Dich, dass $0 [mm] \in [/mm] U$) ist holomorph, und wie oben gesehen
gilt $h(z)=g(z)=2z$ auf [mm] $\{\frac{1}{2n} | n \in \IN \text{ und }n \ge N=N(U)\}\,.$ [/mm]
Weil [mm] $0\,$ [/mm] ein Häufungspunkt von [mm] $\{\frac{1}{2n} | n \in \IN \text{ und }n \ge N\} [/mm] $ ist und zudem $0 [mm] \in U=D_g$ [/mm] ("Definitionsbereich
von [mm] $g\,$"), [/mm] folgt
[mm] $$h_{|U}=g$$
[/mm]
(linkerhand steht die Einschränkung von [mm] $h\,$ [/mm] auf $U$ - diese ist
insbesondere auch holomorph!)
Also muss auch $h(z)=2z$ für alle $z [mm] \in [/mm] U$ gelten.
> Nun ist aber [mm]h(\frac{1}{2n-1}) = \frac{2}{2n-1} \not= \frac{1}{n} [/mm].
> Widerspruch.
Das könntest Du so auch nicht schreiben. Vielmehr kannst Du nun sagen:
Man macht sich leicht klar - denn das geht vollkommen analog - dass es
zu (einer) Nullumgebung $U [mm] \subseteq \Omega\,$ [/mm] (mit $0 [mm] \in [/mm] U$) auch ein
$M=M(U)$ so gibt, dass [mm] $\{1/m: m \in \IN \text{ und }m \ge M\} \subseteq U\,.$ [/mm] (Auch hier wieder: Sortiert man, würde man das besser
am Anfang stehen haben). Daher gibt es sicher ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] so, dass
[mm] $1/(2n_0-1) \in [/mm] U$ - denn wählt man etwa [mm] $n_0:=N(U)+1=N+1\,,$ [/mm] so ist
[mm] $$1/(2n_0-1)=1/(2N+2-1)=1/(2N+1)\,,$$
[/mm]
und wenn wir nun o.E. auch noch $N [mm] \ge [/mm] M$ annehmen (wie gesagt:
Reihenfolge!), haben wir sicher so ein [mm] $n_0$ [/mm] gefunden.
Dann folgte aber
[mm] $$1/n_0=h(\frac{1}{2n_0})=h(\frac{1}{2n_0-1}) [/mm] =2* [mm] \frac{1}{2n_0-1}$$ [/mm]
bzw.
[mm] $$n_0=n_0-1/2$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$1=-1/2\,,$$
[/mm]
Widerspruch.
> Also gibt es keine solche Funktion h.
Also bitte nicht falsch verstehen: Du hast einen Großteil des Wesentlichen
verstanden. Ich liste mal gerade auf, was anders zu machen ist:
1. Weil die [mm] $0\,$ [/mm] im Definitionsbereich von [mm] $\Omega$ [/mm] liegt, gibt es eine (offene) Umgebung [mm] $U\,$ [/mm] um die [mm] $0\,$ [/mm] (also $0 [mm] \in [/mm] U$) derart, dass
[mm] $h_{|U}$ [/mm] differenzierbar ist - mit anderen Worten: [mm] $h_{|U}$ [/mm] ist
holomorph.
(Dieses [mm] $U\,$ [/mm] ist WICHTIG, wir arbeiten eigentlich im Wesentlichen mit
dem [mm] $U\,$!!)
[/mm]
2. Betrachte besser direkt mal [mm] $\{1/m: m \in \IN\}\,.$ [/mm] Für genügend große
[mm] $m\,$ [/mm] (ist Dir klar, was das meint?) liegen alle $1/m [mm] \in [/mm] U [mm] \subseteq \Omega\,.$ [/mm] Damit liegen auch alle [mm] $1/m\,$ [/mm] mit [mm] $m\,$ [/mm] genügend groß und
gerade in [mm] $U\,.$ [/mm] Das brauchst Du, weil Du damit zeigst:
[mm] $$h(z)=2z\,$$
[/mm]
für alle $z [mm] \in U\,.$ [/mm] Und diese Menge mit den [mm] $1/m\,$ [/mm] und [mm] $m\,$ [/mm] gerade
hat auch einen Häufungspunkt in [mm] $U\,,$ [/mm] nämlich die [mm] $0\,.$
[/mm]
3. Wegen [mm] $\{1/m: m \in \IN \text{ und }m \ge M=M(U)\}$ [/mm] mit einem
$M [mm] \in\IN$ [/mm] finden wir auch ein ungerades [mm] $\tilde{u} \in \IN$ [/mm] mit [mm] $1/\tilde{u} \in [/mm] U$ und so dass auch [mm] $1/(\tilde{u}-1) \in U\,.$ [/mm]
Das [mm] $\tilde{u}$ [/mm] schreibt man mit einem passenden [mm] $n_0$ [/mm] etwa
um und erhält so den gewünschten Widerspruch.
Ist Dir der Unterschied klar? Du kannst nämlich gar nicht [mm] $h(z)=2z\,$ [/mm] auf
[mm] $\Omega$ [/mm] behaupten - sondern man kann diese Gleichheit nur auf einer
(genügend kleinen) [mm] $0\,$-Umgebung [/mm] folgern.
P.S.
Wenn man ganz penibel ist/sein will, schreibt man noch kurz dazu, warum
$g(z)=2z$ holomorph auf [mm] $U\,$ [/mm] ist!
P.P.S.
Anscheinend habe ich irgendwo in einer Formel ein Dollarzeichen
vergessen oder sowas - ich finde das gerade nicht. Vielleicht kann das
ja jemand beheben, der das sieht!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Di 11.09.2012 | | Autor: | teo |
Hallo. Vielen Dank für diese sehr ausführliche Antwort! Kurze Frage, bevor ichs nochmal neu schreibe.
> Hallo teo,
>
> > Sei [mm]\Omega \subset \IC[/mm] ein Gebiet mit [mm]0 \in \Omega [/mm].
> > Untersuchen Sie, ob es eine holomorphe Funktion [mm]h: \Omega \to \IC[/mm]
> > gibt mit:
> >
> > [mm]h(\frac{1}{2n}) = h(\frac{1}{2n-1}) = \frac{1}{n}[/mm] für alle
> > [mm]n \in \IN [/mm], mit [mm]\frac{1}{2n},\frac{1}{2n-1} \in \Omega[/mm]
> >
>
> >
> > Hallo,
> >
> > ich würde gerne wissen, ob die Formulierung so bleiben
> > kann und ob ich besser die Formulierung in Klammern
> > verwenden sollte.
> >
> > Es gibt keine solche Funktion h:
> >
> > Angenommen es gibt eine holomorphe Funktion h mit den
> > geforderten Eigenschaften.
>
> dann ist sie insbesondere komplex differenzierbar in einer
> (genügend
> kleinen) Umgebung [mm]U\,[/mm] der Null - wegen [mm]0 \in \Omega\,,[/mm]
> wobei letzteres ja der Definitionsbereich von [mm]h\,[/mm] ist!
>
> > Die Menge [mm]\{z \in \Omega | h(z) = 2z\}[/mm] hat wegen
> > [mm]\{\frac{1}{2n} | n \in \IN\} \subset \{z \in \Omega | h(z) = 2z\}[/mm]
> > einen Häufungspunkt in 0.
>
> Also erstens: Die Menge [mm]\{\frac{1}{2n} | n \in \IN\}[/mm] hat
> sicher
> [mm]0\,[/mm] als Häufungspunkt.
>
> Jetzt prüfe ich mal Deine Behauptung: Sei [mm]x \in \{1/(2n): n \in \IN\}\,.[/mm]
>
> Jetzt kommt schon der erste Patzer, den man sieht:
> Ich kann dann zwar [mm]x=1/(2n)\,[/mm] mit einem [mm]n \in \IN[/mm]
> schreiben, aber
> [mm]h(x)\,[/mm]: Kann ich das immer hinschreiben? Ich werde gar
> nicht notwendigerweise "immer" [mm]h(x)\,[/mm] hinschreiben dürfen.
> Denn: Wer sagt
> mir, dass dieses [mm]x\,[/mm] auch in [mm]\Omega[/mm] liegt?
Eigentlich wollte ich schreiben [mm] \{\frac{1}{2n} \in \Omega|n \in \IN\}... [/mm] machts das besser?
Wirklich vielen Dank für die ausführliche Antwort!
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Di 11.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
edit: auch hier ein korrigierender Kommentar voran: Anstatt mit
einer weiteren Umgebung [mm] $V\,$ [/mm] zu arbeiten (wie man es laut ![[]](/images/popup.gif) Wiki, 1. Version eigentlich müßte),
machen wir besser von vorneherein die Vereinbarung, dass wir mit
[mm] $U\,$ [/mm] unten (kleine) offene Kreisscheiben um die Null meinen - das sind
dann Gebiete, und die 2. Version von Wiki klappt dann!
> Hallo. Vielen Dank für diese sehr ausführliche Antwort!
> Kurze Frage, bevor ichs nochmal neu schreibe.
>
> > Hallo teo,
> >
> > > Sei [mm]\Omega \subset \IC[/mm] ein Gebiet mit [mm]0 \in \Omega [/mm].
> > > Untersuchen Sie, ob es eine holomorphe Funktion [mm]h: \Omega \to \IC[/mm]
> > > gibt mit:
> > >
> > > [mm]h(\frac{1}{2n}) = h(\frac{1}{2n-1}) = \frac{1}{n}[/mm] für alle
> > > [mm]n \in \IN [/mm], mit [mm]\frac{1}{2n},\frac{1}{2n-1} \in \Omega[/mm]
>
> > >
> >
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > ich würde gerne wissen, ob die Formulierung so bleiben
> > > kann und ob ich besser die Formulierung in Klammern
> > > verwenden sollte.
> > >
> > > Es gibt keine solche Funktion h:
> > >
> > > Angenommen es gibt eine holomorphe Funktion h mit den
> > > geforderten Eigenschaften.
> >
> > dann ist sie insbesondere komplex differenzierbar in einer
> > (genügend
> > kleinen) Umgebung [mm]U\,[/mm] der Null - wegen [mm]0 \in \Omega\,,[/mm]
> > wobei letzteres ja der Definitionsbereich von [mm]h\,[/mm] ist!
> >
> > > Die Menge [mm]\{z \in \Omega | h(z) = 2z\}[/mm] hat wegen
> > > [mm]\{\frac{1}{2n} | n \in \IN\} \subset \{z \in \Omega | h(z) = 2z\}[/mm]
> > > einen Häufungspunkt in 0.
> >
> > Also erstens: Die Menge [mm]\{\frac{1}{2n} | n \in \IN\}[/mm] hat
> > sicher
> > [mm]0\,[/mm] als Häufungspunkt.
> >
> > Jetzt prüfe ich mal Deine Behauptung: Sei [mm]x \in \{1/(2n): n \in \IN\}\,.[/mm]
>
> >
> > Jetzt kommt schon der erste Patzer, den man sieht:
> > Ich kann dann zwar [mm]x=1/(2n)\,[/mm] mit einem [mm]n \in \IN[/mm]
> > schreiben, aber
> > [mm]h(x)\,[/mm]: Kann ich das immer hinschreiben? Ich werde gar
> > nicht notwendigerweise "immer" [mm]h(x)\,[/mm] hinschreiben dürfen.
> > Denn: Wer sagt
> > mir, dass dieses [mm]x\,[/mm] auch in [mm]\Omega[/mm] liegt?
>
> Eigentlich wollte ich schreiben [mm]\{\frac{1}{2n} \in \Omega|n \in \IN\}...[/mm]
> machts das besser?
das macht's besser, aber es ist dennoch nicht das Non-Plus-Ultra.
Fang' mit einer Nullumgebung [mm] $U\,$ [/mm] an, so dass [mm] $h_{|U}\,$ [/mm] holomorph ist
- insbesondere ist natürlich damit $0 [mm] \in [/mm] U [mm] \subseteq \Omega$ [/mm] und [mm] $U\,$
[/mm]
offen gemeint.
Entscheidend ist eigentlich, dass man dafür dann eine Menge
[mm] $$\{1/n \in U: n \in \IN\}$$
[/mm]
hinschreiben kann, die $0 [mm] \in [/mm] U$ als Häufungspunkt hat.
Genauer entnimm' das bitte nochmal meinem Post, bzw. versuche, Dir
klarzumachen, dass Dein Beweis eigentlich sogar falsch ist, weil Du
versuchst
[mm] $$h(z)=2z\;\text{ auf }\Omega$$
[/mm]
zu zeigen, Du aber nur
[mm] $$h(z)=2z\;\text{ auf }U$$
[/mm]
mit einer Nullumgebung [mm] $U\,$ [/mm] beweisen können wirst. Das reicht aber,
um den Widerspruch genau wie bei Dir zu erzeugen. Mach' Dir aber
vielleicht mal eine Skizze, und mal' Dir [mm] $U\,$ [/mm] so klein, dass nur eine
Kreisscheibe mit Radius $1/7$ um die Null komplett in [mm] $U\,$ [/mm] liegen möge.
Und skizziere dann "die [mm] $1/m\,$ [/mm] bzw. $1/(2n)$-Mengen". Dann wird's alles klarer, denke ich.
Natürlich könnte man auch von vorneherein sagen: O.E. sei
[mm] $\Omega \subseteq \IC$ [/mm] eine offene Kreisscheibe. Aber eigentlich
braucht man, um dieses "o.E. sei [mm] $\Omega$ [/mm] eine offene Kreisscheibe"
wirklich zu begründen, eben obige Überlegungen. Wärst Du Prof./Dozent,
würde ich das mit "o.E. ..." akzeptieren. Als Bearbeiter einer
Übungsaufgabe würde ich Dir 'nen halben oder ganzen Punkt abziehen,
wenn da nicht dabeisteht, warum man das o.E. annehmen kann -
jedenfalls je nach Semester.
Mir scheint aber, dass Dir meine "Kritik" noch nicht so ganz klar ist. Also
versuche es, sauber aufzuschreiben. Wie gesagt: "Es gibt eine offene
Nullumgebung... In dieser liegt sicher eine Null enthaltende (offene) Kreisscheibe um die Null..."
Und lies' Dir den Identitätssatz genau durch, dann verstehst Du auch,
wieso ich in deutlicher Weise [mm] $h_{|U}=g\,$ [/mm] mit $g: U [mm] \to \IC$ [/mm] und
$g(z)=2z$ ($z [mm] \in [/mm] U$) geschrieben hatte!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:00 Di 11.09.2012 | | Autor: | teo |
Danke! Doch mir ist das schon klar geworden.
Das ist eine Examensaufgabe (Staatsexamen Lehramt Gymnasium Bayern). Ehrlich gesagt weiß ich nicht wie kulant die sind und was einem da geglaubt wird. Ein Prof hat mal gesagt, sie sind schon froh, wenn überhaupt was brauchbares dabei ist  .
Ich danke dir für die tolle Erklärung! Habs kapiert.
Schönen Abend noch.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:03 Di 11.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
mir ist übrigens gerade aufgefallen, dass wir die Nullumgebung als
offene Kreisscheibe annehmen sollten. Denn ansonsten ist bei mir auch ein
"Patzer". Da steht ja, je nach Version, etwas von "Gebiet"!
Andernfalls müßten wir noch eine Umgebung einführen, siehe Wiki!
Sorry, falls das nochmal verwirrt!
Dein Beweis klappt doch: [mm] $\Omega$ [/mm] ist ja Gebiet!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:16 Di 11.09.2012 | | Autor: | Marcel |
... denn wer lesen kann, ist klar im Vorteil:
Es war [mm] $\Omega \subseteq \IC$ [/mm] ein GEBIET mit $0 [mm] \in \Omega\,.$ [/mm] Bis
auf die Sache, dass man
[mm] $$\{1/n: n \in \IN\} \subseteq \Omega$$
[/mm]
i.a. nicht schreiben darf, und dass man aber besser
[mm] $$\{1/n: n \in \IN \text{ und }n \ge N\}$$
[/mm]
mit genügend großem [mm] $N\,$ [/mm] schreiben darf, war sein Beweis eigentlich
vollkommen korrekt.
Da in meinen Antworten aber etwas bzgl. der "Umgebungsversion" steht
und man die Aufgabe auch entsprechend abändern könnte, dass die
Antworten passen, streiche ich sie mal nicht durch...
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") an alle interessierten MitleserInnen! Vor allem aber an teo!!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Di 11.09.2012 | | Autor: | teo |
> Sei [mm]\Omega \subset \IC[/mm] ein Gebiet mit [mm]0 \in \Omega [/mm].
> Untersuchen Sie, ob es eine holomorphe Funktion [mm]h: \Omega \to \IC[/mm]
> gibt mit:
>
> [mm]h(\frac{1}{2n}) = h(\frac{1}{2n-1}) = \frac{1}{n}[/mm] für alle
> [mm]n \in \IN [/mm], mit [mm]\frac{1}{2n},\frac{1}{2n-1} \in \Omega[/mm]
>
>
> Hallo,
>
> ich würde gerne wissen, ob die Formulierung so bleiben
> kann und ob ich besser die Formulierung in Klammern
> verwenden sollte.
>
> Es gibt keine solche Funktion h:
>
> Angenommen es gibt eine holomorphe Funktion h mit den
> geforderten Eigenschaften.
>
> Die Menge [mm]\{z \in \Omega | h(z) = 2z\}[/mm] hat wegen
> [mm]\{\frac{1}{2n} | n \in \IN\} \subset \{z \in \Omega | h(z) = 2z\}[/mm]
> einen Häufungspunkt in 0.
>
> (Hier bin ich mir nicht sicher, ob ich nicht besser
> schreiben soll: [mm]\{\frac{1}{2n} | n \in \IN\}\cup \{0\} \subset \{z \in \Omega | h(z) = 2z\}[/mm]
> Ist das besser? Wärs anders falsch?)
>
> Nach dem Identitätssatz folgt dann, dass [mm]h(z) = 2z[/mm] für
> alle [mm]z \in \Omega [/mm].
>
> Nun ist aber [mm]h(\frac{1}{2n-1}) = \frac{2}{2n-1} \not= \frac{1}{n} [/mm].
> Widerspruch.
>
> Also gibt es keine solche Funktion h.
>
> Vielen Dank!
>
> Viele Grüße
Ok also ich versuche das jetzt nochmal zusammenzufassen:
Da [mm] \Omega [/mm] ein Gebiet ist, mit [mm] 0 \in \Omega [/mm] existiert ein [mm] N \in \IN [/mm] sodass [mm] \{\frac{1}{n} | n \in \IN \wedge n > N\} \subseteq \Omega [/mm]
Dann besitzt die Menge [mm] \{z \in \Omega | h(z) = 2z\} [/mm] wegen [mm]\{\frac{1}{2n}|n \in \IN \wedge n > N\} \subseteq \{z \in \Omega | h(z) = 2z\} [/mm] einen Häufungspunkt in [mm] \Omega, [/mm] nämlich 0.
Nach dem Identitätssatz gilt dann [mm] h(z) = 2z [/mm] für alle [mm] z \in \Omega [/mm].
Nach Vorraussetzung existiert ein [mm] n > N [/mm], sodass [mm] \frac{1}{2n-1} \in \Omega. [/mm] Damit folgt:
[mm] \frac{1}{n}= h(\frac{1}{2n-1}) = \frac{2}{2n-1} \Rightarrow 2n-1=2n \Rightarrow -1=0 [/mm] Widerspruch.
Ist es jetzt schöner?
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 Di 11.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Teo,
> > Sei [mm]\Omega \subset \IC[/mm] ein Gebiet mit [mm]0 \in \Omega [/mm].
> > Untersuchen Sie, ob es eine holomorphe Funktion [mm]h: \Omega \to \IC[/mm]
> > gibt mit:
> >
> > [mm]h(\frac{1}{2n}) = h(\frac{1}{2n-1}) = \frac{1}{n}[/mm] für alle
> > [mm]n \in \IN [/mm], mit [mm]\frac{1}{2n},\frac{1}{2n-1} \in \Omega[/mm]
> >
> >
> > Hallo,
> >
> > ich würde gerne wissen, ob die Formulierung so bleiben
> > kann und ob ich besser die Formulierung in Klammern
> > verwenden sollte.
> >
> > Es gibt keine solche Funktion h:
> >
> > Angenommen es gibt eine holomorphe Funktion h mit den
> > geforderten Eigenschaften.
> >
> > Die Menge [mm]\{z \in \Omega | h(z) = 2z\}[/mm] hat wegen
> > [mm]\{\frac{1}{2n} | n \in \IN\} \subset \{z \in \Omega | h(z) = 2z\}[/mm]
> > einen Häufungspunkt in 0.
> >
> > (Hier bin ich mir nicht sicher, ob ich nicht besser
> > schreiben soll: [mm]\{\frac{1}{2n} | n \in \IN\}\cup \{0\} \subset \{z \in \Omega | h(z) = 2z\}[/mm]
> > Ist das besser? Wärs anders falsch?)
> >
> > Nach dem Identitätssatz folgt dann, dass [mm]h(z) = 2z[/mm] für
> > alle [mm]z \in \Omega [/mm].
> >
> > Nun ist aber [mm]h(\frac{1}{2n-1}) = \frac{2}{2n-1} \not= \frac{1}{n} [/mm].
> > Widerspruch.
> >
> > Also gibt es keine solche Funktion h.
> >
> > Vielen Dank!
> >
> > Viele Grüße
>
> Ok also ich versuche das jetzt nochmal zusammenzufassen:
>
> Da [mm]\Omega[/mm] ein Gebiet ist, mit [mm]0 \in \Omega[/mm] existiert ein [mm]N \in \IN[/mm]
> sodass [mm]\{\frac{1}{n} | n \in \IN \wedge n > N\} \subseteq \Omega[/mm]
genau - strenggenommen folgt das schon alleine, weil $0 [mm] \in \Omega$
[/mm]
und [mm] $\Omega$ [/mm] offen ist!
> Dann besitzt die Menge [mm]\{z \in \Omega | h(z) = 2z\}[/mm] wegen
> [mm]\{\frac{1}{2n}|n \in \IN \wedge n > N\} \subseteq \{z \in \Omega | h(z) = 2z\}[/mm]
mit einem genügend großen [mm] $N\,$! [/mm] Und schreib' hier vielleicht
[mm] $$\{\frac{1}{m}: m \in \IN \text{ und }m \ge 2N\}$$
[/mm]
mit einem $N [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Denn ansonsten splittest Du wieder
[mm] "$1/n\,$-Brüche" [/mm] in welche mit geradem Nenner [mm] $n\,$ [/mm] und müßtest danach
wieder eine analoge Begründung für welche mit ungeradem Nenner [mm] $n\,$
[/mm]
machen. Das ist irgendwie unnötig - kann man zwar machen, muss man
aber nicht!
> einen Häufungspunkt in [mm]\Omega,[/mm] nämlich 0.
>
> Nach dem Identitätssatz gilt dann [mm]h(z) = 2z[/mm] für alle [mm]z \in \Omega [/mm].
Richtig!
> Nach Vorraussetzung existiert ein [mm]n > N [/mm], sodass
> [mm]\frac{1}{2n-1} \in \Omega.[/mm]
Siehste: Hier brauchste nun eine Begründung, warum diese Brüche "mit
genügend großem ungeraden Nenner" (eigentlich brauchen wir davon
sogar nur einen einzigen!) auch in [mm] $\Omega$ [/mm] liegen. Jetzt
kannst Du das mit obigen Brüchen und Bruchabschätzungen begründen,
oder aber Du machst es direkt ohne "Nenner splitten in gerade und
ungerade".
> Damit folgt:
> [mm]\frac{1}{n}[/mm]
ruhig dazuschreiben [mm] $\;=h(1/(2n))=\;$
[/mm]
> [mm]= h(\frac{1}{2n-1}) = \frac{2}{2n-1} \Rightarrow 2n-1=2n \Rightarrow -1=0[/mm]
> Widerspruch.
>
>
> Ist es jetzt schöner?
Ja. Aber nur, damit's klar ist:
Du benutzt eigentlich, dass
1. Für genügend großes [mm] $n\,$ [/mm] alle Zahlen $1/(2n)$ in [mm] $\Omega$ [/mm] liegen.
2. Dass es (EIN) genügend großes ungerades [mm] $\tilde{u} \in \IN$ [/mm] gibt,
so dass [mm] $1/\tilde{u} \in \Omega\,.$
[/mm]
Wenn Du weißt, dass für genügend große [mm] $m\,$ [/mm] sogar alle [mm] $1/m\,$ [/mm] zu
[mm] $\Omega$ [/mm] gehören, hast Du 1. und 2. insbesondere erfüllt.
Wenn Du erst mit Zahlen der Darstellung [mm] $1/g\,$ [/mm] mit [mm] $g\,$ [/mm] gerade anfängst
und nur begründest, warum diese für genügend große [mm] $g\,$ [/mm] auch zu
[mm] $\Omega$ [/mm] gehören, brauchst Du noch ein Argument für ein [mm] $1/\tilde{u}$
[/mm]
mit [mm] $\tilde{u}$ [/mm] ungerade und genügend groß, warum man das in
[mm] $\Omega$ [/mm] finden kann.
Letztendlich ist das trivial, denn weil [mm] $(1/n)_{n \in \IN}$ [/mm] Nullfolge ist, ist
auch [mm] $(1/(2n))_{n}$ [/mm] und auch [mm] $(1/(2n-1))_n$ [/mm] Nullfolge. Aber es geht halt
drum, dass man guckt: Was brauch' ich jetzt, und folgt das schon aus
dem, was da steht, oder muss ich das nochmal separat begründen?
Hier kann man das so aufschreiben, dass man nicht unnötigerweise
"zwei vollkommen analoge Sachen" begründet, sondern sie in einem
Wischwasch hinschreibt. Was hier eigentlich meiner Ansicht nach
leichter verständlich ist. Ist so ähnlich wie:
Wenn ich zeigen will, dass nur Quadratzahlen ungerader ganzer Zahlen
wieder ungerade sind, dann kann ich zwar eine Fallunterscheidung in
echt positive und negative machen - aber gewonnen, außer unnötigen
Fallunterscheidungen, habe ich nix. Bei Dir passt das nicht ganz, denn
wegen der Zahldarstellung und Aufgabenstellung verstehe ich schon,
warum Du gerne "splittest". Nur dann muss eigentlich irgendwo sowas stehen:
[mm] $\Omega$ [/mm] ist ein Gebiet, insbesondere offen, und enthält die [mm] $0\,.$ [/mm] Dann
gibt es ein $N [mm] \in \IN$ [/mm] so, dass [mm] $M:=\{1/(2m): m \in \IN \text{ mit }m \ge N\} \subseteq \Omega\,,$ [/mm] denn: Wählen wir eine Kreisscheibe mit Radius ...
um die Null, so folgt...
Zudem gibt es ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $1/(2n-1) [mm] \in \Omega\,.$
[/mm]
Das letzte mußt Du jetzt (kurz) mit der Kreisscheibe begründen, denn
es kann ja sicher nicht $1/(2n-1) [mm] \in [/mm] M$ gelten. Ist Dir klar, oder?
Ansonsten: Tiptop! (Soweit ich das zu später Stunde noch überblicke!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:01 Mi 12.09.2012 | | Autor: | fred97 |
Mit Verlaub, wurde da nicht ein wenig viel Gedöns gemacht ?
Wegen $ 0 [mm] \in \Omega$, [/mm] ex. ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] mit $ [mm] \frac{1}{2n},\frac{1}{2n-1} \in \Omega [/mm] $ für [mm] n>n_0.
[/mm]
Angenommen, $ h: [mm] \Omega \to \IC [/mm] $ sei holomorph und habe die angegebene Eigenschaft.
Setze für z [mm] \in \Omega: [/mm] f(z):=h(z)-2z.
Dann ist [mm] f(\frac{1}{2n})=0 [/mm] für [mm] n>n_0. [/mm] Die Nullstellen von f häufen sich also in [mm] \Omega.
[/mm]
Damit ist f auf [mm] \Omega [/mm] konstant =0. Somit:
h(z)=2z für alle z [mm] \in \IC.
[/mm]
Dann folgt aber: [mm] $\frac{2}{2n-1}= h(\frac{1}{2n-1}) [/mm] = [mm] \frac{1}{n} [/mm] $ für alle [mm] n>n_0.
[/mm]
Widerspruch.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:08 Do 13.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Mit Verlaub, wurde da nicht ein wenig viel Gedöns gemacht
> ?
Du hast schon gelesen, dass ich das selbst angemerkt habe
und warum das so war?
> Wegen [mm]0 \in \Omega[/mm], ex. ein [mm]n_0 \in \IN[/mm] mit
> [mm]\frac{1}{2n},\frac{1}{2n-1} \in \Omega[/mm] für [mm]n>n_0.[/mm]
Darauf wollte ich (nach dem "Gedöns)" hinaus, dass man einfach
das ausnutzt - teo hat immer nur "die geraden Nenner" mitgenommen.
> Angenommen, [mm]h: \Omega \to \IC[/mm] sei holomorph und habe die
> angegebene Eigenschaft.
>
> Setze für z [mm]\in \Omega:[/mm] f(z):=h(z)-2z.
>
> Dann ist [mm]f(\frac{1}{2n})=0[/mm] für [mm]n>n_0.[/mm] Die Nullstellen von
> f häufen sich also in [mm]\Omega.[/mm]
>
> Damit ist f auf [mm]\Omega[/mm] konstant =0. Somit:
>
> h(z)=2z für alle z [mm]\in \IC.[/mm]
>
> Dann folgt aber: [mm]\frac{2}{2n-1}= h(\frac{1}{2n-1}) = \frac{1}{n}[/mm]
> für alle [mm]n>n_0.[/mm]
>
> Widerspruch.
Na, er hat den Widerspruch nur für ein [mm] $n_0$ [/mm] gefolgert, und das reicht
auch. Immer dieses "Gedöns"!
P.S.
Wie gesagt: Ich hatte anfangs überlesen, dass [mm] $\Omega$ [/mm] ein Gebiet sei
und wollte deswegen mit Umgebungen argumentieren. "Wer lesen kann..."
^^
Gruß,
Marcel
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