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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:46 Di 05.11.2013 | | Autor: | yannikk |
Hallo zusammen,
ich sitze gerade vor einer Aufgabe und frage mich wie ich die lösen soll.
Es sei n [mm] \in \IN. [/mm] Weiterhin seien [mm] a_{0},..., a_{n} [/mm] sowie [mm] b_{0},..., b_{n} [/mm] und [mm] x_{0},..., x_{n} [/mm] reelle Zahlen mit [mm] x_{0} [/mm] < [mm] x_{1} [/mm] <... < [mm] x_{n}. [/mm] Wir definieren nun die beiden Polynome
p: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \summe_{k=0}^{n} a_{k} \produkt_{j=0}^{k-1} (x-x_{j})
[/mm]
q: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \summe_{k=0}^{n} b_{k} \produkt_{j=0}^{n} (\bruch{x-x_{j}}{x_{k}-x_{j}} [/mm] ) mit [mm] j\not=k
[/mm]
a) Berechnen Sie [mm] p(x_{l}) [/mm] und [mm] q(x_{l}) [/mm] für l [mm] \in [/mm] {0,...,n}
Habe nun folgendes gemacht:
Für [mm] q(x_{l}) [/mm] gibt es 2 Fälle:
Fall 1: k [mm] \not= [/mm] l
Dann gibt es einen Faktor mit [mm] \bruch{x_{l}-x_{j}}{x_{k}-x_{j}} [/mm] für den der Zähler Null wird und somit das gesamte Produkt.
[mm] q(x_{l}) [/mm] = 0.
Fall 2: k = l
Dann wird das Produkt gleich 1. und somit erhalten wir für [mm] q(x_{l}) [/mm] = [mm] b_{l}
[/mm]
Nun zu [mm] p(x_{l}) [/mm] :
Hier gibt es soweit ich es gesehen habe einen nützlichen Fall der uns weiterhelfen kann.
Für l = 0 gilt :
Das Produkt wird an dieser Stelle 0, da aber für k = 0 das Produkt [mm] \produkt_{j=0}^{n} (\bruch{x-x_{j}}{x_{k}-x_{j}} [/mm] ) mit [mm] j\not=k [/mm] nicht definiert ist erhalten wir [mm] a_{0}.
[/mm]
Somit erhalten wir für [mm] p(x_{0}) [/mm] = 0.
Das sind soweit meine Überlegungen. Ich weiß nicht ob das ausreichend Berechnungen sind für diese Aufgabe.
Nun kommt die b) die mir weit mehr Kopfzerbrechen zubereitet:
Formulieren Sie eine Bedingung an die Koeffizienten [mm] a_{0},...,a_{n} [/mm] und [mm] b_{0},...,b_{n}, [/mm] die äquivalent dazu ist, dass p = q für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt.
Ich soll nun eine Bedingung finden und anschliessend beweisen, dass sie äquivalent zu p = q ist.
Wenn man sich die a) betrachtet, sieht man ja dass es genau eine Möglichkeit gibt an der p und q gleich sind.
Das wäre wenn wir k = l = 0 wäre.
Dann sind [mm] a_{k} [/mm] = [mm] b_{k}.
[/mm]
Ich könnte jetzt auch die äquivalenz zeigen, dass wenn unsere Annahme gilt, aus p und q diese beiden Ergebnisse folgen.
Das Problem ist nur das wir ja für alle x [mm] \in \IR [/mm] zeigen sollen, dass es gilt und da hänge ich gerade fest.
Ich habe ja nur für ein bestimmtes Element gezeigt, dass Sie äquivalent sind.
So das war es auch schon :) Ich hoffe es kann mir jemand weiterhelfen und sagen, was ich so alles überarbeiten muss bzw wie ich sinnvoller an die beiden Aufgaben rangehen kann.
Danke :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 So 17.11.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
die beiden von Dir genannten Polynome sind Interpolations Polynome. p(x) ist ein Polynom mit Newtonbasis und q(x) ist ein Polynom mit Lagrange Basis. Beide Polynome können dazu benutzt werden, um folgendes Problem zu lössen:
Seien n+1 Stützstellen [mm] \left(x_i , y_i \right) [/mm] gegeben, dann sucht man ein Polynom n-ten Grades P(x) mit [mm] P(x_i)=y_i
[/mm]
Das gefundene Polynom P(x) ist eindeutig bestimmt. Stellt man also an die beiden Polynome p(x) und q(x) folgende Anforderung
[mm] p(x_i)=y_i [/mm] und [mm] q(x_i)=y_i [/mm] mit i=1, ... , n
dann kann man für beide Ansätze Lösungen für die Koeffizienten [mm] a_k [/mm] und [mm] b_k [/mm] finden. Bei dem Polynom p(x) führt das auf ein Gleichngssystem mit n+1 Gleichungen für die n+1 Koeffizienten [mm] a_0 [/mm] , ... [mm] a_n [/mm] , siehe ![[]](/images/popup.gif) hier
Für das Polynom q(x) hast Du die Lösung schon ausgerechnete. Hier werden die Koeffizienten [mm] b_k [/mm] zu [mm] b_k=y_k
[/mm]
Somit lösen beide Polynome p(x) und auch q(x) das Problem, dass ein Polynom n-ten Grades gefunden werden soll, welches durch die Punkte [mm] \left(x_i , y_i \right) [/mm] geht soll. Da ein solches Polynom eindeutig ist, müssen die beiden Polynome p(x) und q(x) ebenfalls identisch sein.
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