Identitätssatz holomorphe Fkt. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Fr 22.06.2012 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Verwenden Sie den Identitätssatz, um zu entscheiden, welche der folgenden Funktionen holomorph sind:
(a) $ f: [mm] \IC\to\IC, z\mapsto exp(\overline{z}) [/mm] $
(b) $ f: [mm] \IC\to\IC, z\mapsto [/mm] cos(|z|)$
(c) $ f: [mm] \IC\to\IC, z\mapsto [/mm] ln(|exp(z)|)$
(d) $ f: [mm] \IC\to\IC, z\mapsto \overline{iz}$ [/mm] |
Hallo! Bitte um Korrektur, da ich mir noch nicht so ganz sicher bin...
Es läuft ja darauf hinaus, eine holomorphe Funktion g zu finden, sodass f=g in einer gewissen Umgebung U.
(a) Hier habe ich g(z)=exp(z) gewählt, die ist ja holomorph. Für [mm] U=\IR [/mm] gilt dann [mm] f|_\IR=g|_\IR [/mm] also ist auch f holomorph.
(b) Wähle hier g(z)=cos(z) (holomorph) und wieder [mm] U=\IR. [/mm] Für [mm] z=a+0i\in\IR [/mm] gilt dann [mm] f(z)=cos(|z|)=cos(\wurzel{a^2})=cos(a)=cos(z)=g(z). [/mm] Es folgt, dass f holomorph ist.
(c) Für [mm] z=a+bi\in\IC [/mm] gilt:
[mm] f(z)=ln(|exp(z)|)=ln(\wurzel{exp(a)^2*cos^2(b)+exp(a)^2*sin^2(b)}=ln(\wurzel{exp(a)^2})=ln(exp(a))=a
[/mm]
Also ist f hier offensichtlich nicht holomorph.
(d) Ist meines Erachtens auch nicht holomorph, da [mm] g(z)=\overline{z} [/mm] bekanntlich nicht holomorph ist.
Habe ich das alles so richtig gelöst? Korrektur wäre super nett! :)
Vielen Dank und lieben Gruß,
chesn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:08 Fr 22.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
vielleicht solltest du erstmal fesstellen wie U=Umgebung definiert ist. ist die reelle Achse eine Umgebung in [mm] \IC
[/mm]
gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Fr 22.06.2012 | | Autor: | chesn |
Eine Umgebung ist sie nicht, aber reicht es nicht aus, wenn sie auf der reellen Achse gleich sind?
Sonst wüsste ich nicht wirklich, wie ich da rangehen kann.. [mm] :\
[/mm]
Danke und lieben Gruß,
chesn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Fr 22.06.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Eine Umgebung ist sie nicht, aber reicht es nicht aus, wenn
> sie auf der reellen Achse gleich sind?
Nein, es reicht nicht aus. Du hast die Voraussetzung des Identitätssatzes nicht erfüllt: beide Funktionen müssen auf einer Umgebung holomorph sein.
Nimm das Beispiel (a): $f(z) := [mm] \exp(\overline [/mm] z)$ ist nicht holomorph, wie du durch einfaches Einsetzen in die Cauchy-Riemannschen DGLen nachrechnen kannst.
Umgekehrt wird ein Schuh draus: Angenommen, f sei holomorph in einer [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] $U$ einer reellen Zahl [mm] $z_0$. $g(z)=\exp [/mm] z$ ist in solch einer Umgebung holomorph. Die Koinzidenzmenge
[mm] \{z\in U\mid f(z)=g(z) \} [/mm]
kannst du leicht berechnen:
[mm] f(x+iy) = \exp x \cos y - i \exp x \sin y = \exp x \cos y + i \exp x \sin y = g(x-iy) \gdw \sin y = 0 \gdw y = k \pi[/mm], [mm] $k\in \IZ$ [/mm] .
Wenn du [mm] $\varepsilon<\pi$ [/mm] wählst, so ist
[mm] \{z\in U\mid f(z)=g(z) \} = U\cap \IR [/mm]
eine Teilmenge der reellen Achse und enthält mindestens einen Häufungspunkt. Dann stimmen f und g auf einer Umgebung V von [mm] $z_0$ [/mm] überein. Das ist aber falsch, denn V enthält sicher Punkte, deren Imaginärteil kein Vielfaches von [mm] $\pi$ [/mm] ist.
Also ist die Voraussetzung falsch, dass f holomorph ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:57 Di 26.06.2012 | | Autor: | chesn |
Okay, denke dass ich das Prinzip verstanden habe. Hier meine Lösung zu b):
Zu $ f(z)=cos(|z|) $ wähle ich $ g(z)=cos(z) $ als holomorphe Funktion.
Für [mm] \{z\in\IC \ | \ f(z)=g(z)\} [/mm] gilt dann:
[mm] f(z)=cos(\wurzel{x^2+y^2})=cos(x+iy)=g(z)
[/mm]
=> $ y=0 $ also sind die Funktionen nur auf [mm] \IR [/mm] gleich, aber [mm] \IR [/mm] ist keine Umgebung in [mm] \IC [/mm] , denn in jeder offenen Umgebung eines Punktes auf der reellen Achse liegen auch stets komplexe Zahlen mit $ [mm] y\not= [/mm] 0 $.
Also ist f nicht holomorph.
Ist das okay so??
Frage zu c): Mit $ z=x+iy $ ist ja $ f(z)=ln(|exp(z)|)=x $ wie die Rechnung in meinem 1. Beitrag zeigt. Was wähle ich hier für ein g? $ g(z)=Re(z) $ ist ja nicht holomorph. Ist hier $ g(z)=z $ zu wählen?
Vielen Dank und lieben Gruß,
chesn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:45 Di 26.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Okay, denke dass ich das Prinzip verstanden habe. Hier
> meine Lösung zu b):
>
> Zu [mm]f(z)=cos(|z|)[/mm] wähle ich [mm]g(z)=cos(z)[/mm] als holomorphe
> Funktion.
>
> Für [mm]\{z\in\IC \ | \ f(z)=g(z)\}[/mm] gilt dann:
>
> [mm]f(z)=cos(\wurzel{x^2+y^2})=cos(x+iy)=g(z)[/mm]
>
> => [mm]y=0[/mm] also sind die Funktionen nur auf [mm]\IR[/mm] gleich,
Das stimmt nicht. Für y=0 ist f(x)=cos(|x|) und g(x)=cos(x)
> aber
> [mm]\IR[/mm] ist keine Umgebung in [mm]\IC[/mm] , denn in jeder offenen
> Umgebung eines Punktes auf der reellen Achse liegen auch
> stets komplexe Zahlen mit [mm]y\not= 0 [/mm].
> Also ist f nicht
> holomorph.
>
> Ist das okay so??
nein. Das ist abenteuerlich !
f nimmt nur reelle Werte an. Damit kann f nicht holomorph sein.
>
> Frage zu c): Mit [mm]z=x+iy[/mm] ist ja [mm]f(z)=ln(|exp(z)|)=x[/mm] wie die
> Rechnung in meinem 1. Beitrag zeigt. Was wähle ich hier
> für ein g? [mm]g(z)=Re(z)[/mm] ist ja nicht holomorph. Ist hier
> [mm]g(z)=z[/mm] zu wählen?
???
f nimmt nur reelle Werte an. Damit kann f nicht holomorph sein.
FRED
>
> Vielen Dank und lieben Gruß,
> chesn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 Di 26.06.2012 | | Autor: | chesn |
Hallo! Danke für deine Antwort!
Dass die Funktion nicht holomorph ist, ist klar. Das wäre auch schnell mit den Cauchy-Riemann Dgln zu zeigen.
Es wird aber explizit verlangt, die Aufgabe mit dem Identitätssatz zu lösen.
D.h. ich nehme an, dass f holomorph ist und suche eine holomorphe Funktion g, sodass ein [mm] z_0 [/mm] existiert, für das [mm] f(z_0)=g(z_0) [/mm] gilt.
Dann gibt es nach Identitätssatz eine Umgebung U von [mm] z_0, [/mm] sodass f=g auf ganz U gilt.
Und das muss ich zum Widerspruch führen, wenn ich es richtig verstanden habe. (?)
Also nochmal ein Versuch:
$ f(z)=cos(|z|)=cos(|x|)=cos(x+iy)=g(z) => y=0, [mm] x\in\IR^+_0 [/mm] $
D.h. jedes [mm] z\in\IR_0^+ [/mm] ist Häufungspunkt der Koinzidenzmenge [mm] \{z\in\IC \ | \ f(z)=g(z)\}.
[/mm]
Wenn ich mir jetzt ein [mm] z_0 [/mm] auf der positiven reellen Achse suche, sind in der Umgebung um [mm] z_0 [/mm] in der komplexen Zahlenebene doch auch komplexe Zahlen, sodass f=g in der Umgebung nichtmehr gelten kann. Damit wäre die Annahme, dass f holomorph ist zum Widerspruch geführt.
Hab das jetzt mal haarklein aufgeschrieben, um zu sehen wo mein Fehler liegt. Wäre nett wenn jemand drüber schaut und was dazu sagt. $ :) $
Vielen Dank und lieben Gruß,
chesn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:15 Di 26.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo! Danke für deine Antwort!
>
> Dass die Funktion nicht holomorph ist, ist klar. Das wäre
> auch schnell mit den Cauchy-Riemann Dgln zu zeigen.
> Es wird aber explizit verlangt, die Aufgabe mit dem
> Identitätssatz zu lösen.
>
> D.h. ich nehme an, dass f holomorph ist und suche eine
> holomorphe Funktion g, sodass ein [mm]z_0[/mm] existiert, für das
> [mm]f(z_0)=g(z_0)[/mm] gilt.
> Dann gibt es nach Identitätssatz eine Umgebung U von [mm]z_0,[/mm]
> sodass f=g auf ganz U gilt.
Das ist doch Unsinn !
Beispiel: f(z)=z, [mm] g(z)=z^2 [/mm] und [mm] z_0=0
[/mm]
Ich habe den Eindruck, dass Dir nicht klar ist, was der Identitätssatz besagt ! Schau nochmal nach.
FRED
> Und das muss ich zum Widerspruch führen, wenn ich es
> richtig verstanden habe. (?)
>
> Also nochmal ein Versuch:
>
> [mm]f(z)=cos(|z|)=cos(|x|)=cos(x+iy)=g(z) => y=0, x\in\IR^+_0[/mm]
>
> D.h. jedes [mm]z\in\IR_0^+[/mm] ist Häufungspunkt der
> Koinzidenzmenge [mm]\{z\in\IC \ | \ f(z)=g(z)\}.[/mm]
>
> Wenn ich mir jetzt ein [mm]z_0[/mm] auf der positiven reellen Achse
> suche, sind in der Umgebung um [mm]z_0[/mm] in der komplexen
> Zahlenebene doch auch komplexe Zahlen, sodass f=g in der
> Umgebung nichtmehr gelten kann. Damit wäre die Annahme,
> dass f holomorph ist zum Widerspruch geführt.
>
> Hab das jetzt mal haarklein aufgeschrieben, um zu sehen wo
> mein Fehler liegt. Wäre nett wenn jemand drüber schaut
> und was dazu sagt. [mm]:)[/mm]
>
> Vielen Dank und lieben Gruß,
> chesn
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:14 Di 26.06.2012 | | Autor: | chesn |
Hallo! Offensichtlich habe ich das noch nicht so ganz verstanden..
Wie sieht es denn aus, wenn ich zeigen könnte, dass die Koinzidenzmenge [mm] \{z\in\IC \ | \ f(z)=g(z)\} [/mm] einen Häufungspunkt in [mm] \IC [/mm] besitzt, aber [mm] f(z)\not=g(z) [/mm] in [mm] \IC [/mm] ??
Geht das evtl. in die richtige Richtung?? Ein bisschen gehen mir jetzt die Ideen aus..
Vielen Dank für die Geduld und lieben Gruß,
chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Do 28.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 13:52 Di 26.06.2012 | | Autor: | chesn |
Ich habe es jetzt genau so gemacht, wie Rainer im 4. Beitrag:
Angenommen f(z)=cos(|z|) sei holomorph in einer [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] U von der reellen Zahl [mm] z_0. [/mm] g(z)=cos(z) ist dort holomorph.
Dann ist [mm] \{z\in\IC \ | \ f(z)=g(z)\}=U\cap\IR_0^+ [/mm] und enthält mindestens einen Häufungspunkt. Dann stimmen f und g auf einer Umgebung V von [mm] z_0 [/mm] überein. Aber V enthält dann Punkte, deren Imaginärteil [mm] \not= [/mm] 0 ist.
Also kann f nicht holomorph sein.
Wenn das wieder falsch ist, dann würde mich interessieren, ob der 4. Beitrag hier nicht passt, oder woran es sonst liegt.
Langsam verflüssigt sich nämlich mein Hirn..
Vielen Dank und lieben Gruß,
chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Do 28.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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