Im(z) und Re(z) < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ich soll [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] ind die Form a+bi bringen und Re(z), [mm] Re(\bruch{1}{z}), [/mm] Im(z), [mm] Im(\bruch{1}{z}), [/mm] |z|, [mm] \overline{z} [/mm] bestimmen von:
[mm] z_1= \bruch{3+2i}{2-i}
[/mm]
[mm] z_2= \bruch{1}{1+\bruch{1}{1+i}}+ \bruch{1}{1-\bruch{1}{1-i}} [/mm] |
[mm] z_1= \bruch{4}{5}+\bruch{7}{5}i
[/mm]
Re(z)= [mm] \bruch{4}{5}
[/mm]
[mm] Re(\bruch{1}{z})= \bruch{5}{4}
[/mm]
Im(z)= [mm] \bruch{7}{5}
[/mm]
[mm] Im(\bruch{1}{z})= \bruch{5}{7}
[/mm]
|z|= [mm] \wurzel{\bruch{13}{5}}
[/mm]
[mm] \overline{z}= \bruch{4}{5}-\bruch{7}{5}i
[/mm]
2. Beispiel [mm] z_2= \bruch{1}{1+\bruch{1}{1+i}}+ \bruch{1}{1-\bruch{1}{1-i}} [/mm]
umgeformt zu: [mm] z_2= \bruch{1+i}{2+i}-\bruch{i}{1-i} [/mm]
= [mm] \bruch{3-2i}{3+i}
[/mm]
stimmt das soweit zum weiterrechnen oder hab ich mich da irgendwo vertan?
Mathegirl
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hmmm...warum stimmt der Betrag nicht? Laut wikipedia ist der Betrag von z die Wurzel aus [mm] a^2+b^2 [/mm] wenn gilt z= a+bi....
bei dem anderen hab ich mich vertan, ist mir auch gerade aufgefallen!
also muss [mm] z_2= \bruch{-1}{1+3i} [/mm] lauten und demzufolge weiterhin sein.
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Hallo Mathegirl,
> hmmm...warum stimmt der Betrag nicht? Laut wikipedia ist
> der Betrag von z die Wurzel aus [mm]a^2+b^2[/mm] wenn gilt z=
> a+bi....
das stimmt ja auch. Du hast nur leider nicht quadriert vor dem Addieren.
> also muss [mm]z_2= \bruch{-1}{1+3i}[/mm] lauten und demzufolge
> weiterhin sein.
Nein, der Nenner kann doch nicht gleich bleiben, wenn du plötzlich einen Bruch mit anderem Nenner addierst......... Schreib das mal nochmal sauber auf.
MFG,
Gono.
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okay...ich habe das wohl [mm] gekürzt...\wurzel{\bruch{16}{25}+\bruch{49}{25}}= \wurzel{\bruch{65}{25}}
[/mm]
[mm] okay...z_2 [/mm] habe ich umgewandelt zu [mm] \bruch{1+i}{2+i}-\bruch{i}{1+i}
[/mm]
dann die Brüche erweitern, um einen gemeinsamen Nenner zu erhalten:
[mm] \bruch{2i-2i-1}{1+3i}
[/mm]
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> okay...ich habe das wohl
> [mm]gekürzt...\wurzel{\bruch{16}{25}+\bruch{49}{25}}= \wurzel{\bruch{65}{25}}[/mm]
Das sieht schon besser aus, eine Kleinigkeit kann man noch schöner schreiben, aber ansonsten passt es.
>
> [mm]okay...z_2[/mm] habe ich umgewandelt zu
> [mm]\bruch{1+i}{2+i}-\bruch{i}{1+i}[/mm]
Wie kommst du denn jetzt auf den hinteren Summanden?
Schachuzipus hatte dir doch bereits gesagt, was für den hinteren Summanden herauskommt.
Nämlich $1+i$ und nicht [mm] $-\bruch{i}{1+i}$
[/mm]
Da steht also [mm] $\bruch{1+i}{2+i}+(1+i)$
[/mm]
Und nun weiter im Text....
MFG,
Gono.
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dann ergibt sich [mm] \bruch{2+4i}{2+i}= \bruch{8}{5}+\bruch{6}{5}i
[/mm]
[mm] Re(z)=\bruch{8}{5}
[/mm]
Im(z)= [mm] \bruch{6}{5}
[/mm]
[mm] \overline{z}= \bruch{8}{5}-\bruch{6}{5}i
[/mm]
|z|= [mm] \bruch{10}{5}
[/mm]
Wie bestimme ich denn [mm] Re(\bruch{1}{z})? [/mm] ich dachte das wäre in dem Fall [mm] \bruch{5}{8}?
[/mm]
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[mm] Re(\bruch{1}{z})= \bruch{8}{20}
[/mm]
[mm] Im(\bruch{1}{z})= \bruch{6}{20}
[/mm]
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Hallo Mathegirl!
Grundsätzlich: bitte kürze auch weitestgehend.
> [mm]Re(\bruch{1}{z})= \bruch{8}{20}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Kürzen!
> [mm]Im(\bruch{1}{z})= \bruch{6}{20}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Kürzen und über das Vorzeichen nachdenken.
Gruß vom
Roadrunner
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