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Hallo Ihr,
ich bin zwar noch nicht auf der UNI, aber ich gehe schon mal ein Anfängerskript durch und habe eine Frage zur Implikation.
Folgender Satz aus meinem Skript:
Die Aussage A=>B ist genau dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist. (???)
Insbesondere ist also jede Implikation wahr, deren Prämisse falsch ist.
Kann mir das mal wer genauer erklären?
Das verstehe ich gar nit.
MfG DerMathematiker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Do 15.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo DerMathematiker!
Ex falso quodlibet. Aus Falschem folgt alles (was beliebt).
Das ist der Grundsatz.
Die Aussage $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ bedeutet ja: Wenn$A$ wahr ist, dann ist auch $B$ wahr.
Wenn aber $A$ nicht wahr ist, dann brauche ich die Gültigkeit von $B$ nicht mehr zu überprüfen.
Die Aussage $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ ist äquivalent zu der Aussage [mm] $\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B$. Sie ist also genau dann wahr, wenn $A$ nicht wahr ist oder wenn $B$ wahr ist.
Mit anderen Worten: Wenn $A$ nicht wahr ist, dann bist du sofort durch. Dann ist $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ in jedem Fall wahr, egal ob $B$ wahr ist oder nicht. Wenn $A$ wahr ist, dann ist $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ genau dann wahr, wenn $B$ wahr ist.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:46 So 18.07.2004 | | Autor: | Gnometech |
Man kann es auch vom umgekehrten Standpunkt sehen - wie kann man eine Implikation [mm] A \Rightarrow B[/mm] widerlegen? Nun, man muß zeigen, dass [mm] B[/mm] nicht gilt, obwohl [mm]A [/mm] richtig ist, mit anderen Worten:
[mm] \neg (A \Rightarrow B) = \neg B \wedge A = \neg (\neg A \vee B)[/mm]
Und damit folgt formal
[mm] A \Rightarrow B = \neg A \vee B[/mm]
Und letztere Aussage ist wahr, wenn A nicht gilt.
Lars
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 Fr 06.08.2004 | | Autor: | Milan |
Dies hier ist mein erster Beitrag, daher vorab ein ganz dickes Lob an die Urheber und Macher dieser Seite.
Zum Thema: Die Beiträge zur Implikation haben mir sehr geholfen, da auch ich Schwierigkeiten mit ihr hatte bzw. noch eine entscheidende habe. Nachdem Stefan festgestellt hat, dass B (formallogisch) richtig sein muss, sobald A falsch ist, muss zur Begründung der Richtigkeit dieser Feststellung Lars' Beitrag hinzu gezogen werden. Auf diesen bezieht sich auch meine folgende Frage.
Der Knackpunkt ist der, dass die Form der Implikation äquivalent zu "Nicht-A oder B" ist: (hier wollte ich die Formel mit logischen Symbolen einsetzen, klappte leider nicht). Lars führt diesen Beweis mit einer drei-schrittigen Gleichung, bei welcher ich mir irgendwie nicht so ganz sicher bin, ob ich den Schritt vom Mittelteil zum Schlussteil, also den letzten Teil der Gleichung wirklich richtig verstehe. Es wäre nett, wenn jemand da noch einen Zwischenschritt oder ein paar erklärende Worte zum leichteren Verständnis einsetzen oder nachfolgenden Gedankengang kommentieren könnte:
Wenn "Nicht-B und A" vorliegt, dann kann nicht beides gleichzeitig existieren, also gilt nur entweder "Nicht-B" oder "A". Aus "Nicht-B und A" wird also "Nicht-B oder A" (das kam/kommt mir beim Betrachten der Gleichung auch so seltsam vor, dass aus dem "und" einfach ein "oder" wird). "Nicht-B oder A" entspricht "A oder Nicht-B", und das lässt sich nach irgendeinem mathematischen (Klammer-)Gesetz (Distributionsgesetz?) in den letzten Teil der dreiteiligen Gleichung, in: "Nicht (Nicht-A oder B)" transformieren. Stimmt das so ?
Lieber Gott, schenk mir ein bißchen Grips ...
Vorab vielen Dank, Milan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Fr 06.08.2004 | | Autor: | felixs |
> "Nicht-B oder A" entspricht "A oder Nicht-B"
stimmtso.
> und das lässt sich nach irgendeinem mathematischen (Klammer-)Gesetz
> (Distributionsgesetz?) in den letzten Teil der dreiteiligen Gleichung, in:
> "Nicht (Nicht-A oder B)" transformieren. Stimmt das so ?
nicht ganz.
$ A [mm] \vee \neg [/mm] B $ ist eher $ [mm] \neg [/mm] ( [mm] \neg [/mm] A [mm] \wedge [/mm] B ) $
und das ganze nennt sich dann DeMorgansche Regel.
hoffe damit ist dein denkfehler gefunden...
--felix
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