Implikation,Äquivalenz < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 Fr 19.10.2007 | | Autor: | sonne19 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Folgende Aufgabe ist zu bearbeiten:
Erklären sie für jedes Paar A,B vom Aussagen, ob A [mm] \gdw [/mm] B oder nur A hinreichend für B ist ( hier sei [mm] m\in\IN; [/mm] x,y reelle Zahlen). Erläutern sie die Antwort.
1.) Aussage A: " [mm] \exists [/mm] n [mm] \in\IN [/mm] : m=n*n+n", Aussage B: "m ist eine gerade Zahl"
2.) Aussage A : " [mm] \forall [/mm] k [mm] \in\IN [/mm] : kx*x+(y*y)/k=2xy", Aussage B : "x=y=0"
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> Folgende Aufgabe ist zu bearbeiten:
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> Erklären sie für jedes Paar A,B vom Aussagen, ob A [mm]\gdw[/mm] B
> oder nur A hinreichend für B ist ( hier sei [mm]m\in\IN;[/mm] x,y
> reelle Zahlen). Erläutern sie die Antwort.
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> 1.) Aussage A: " [mm]\exists[/mm] n [mm]\in\IN[/mm] : m=n*n+n", Aussage B: "m
> ist eine gerade Zahl"
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> 2.) Aussage A : " [mm]\forall[/mm] k [mm]\in\IN[/mm] : kx*x+(y*y)/k=2xy",
> Aussage B : "x=y=0"
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Da Du ganz neu hier bist, rate ich Dir, einmal die Forenregeln zu lesen, mit besonderem Augenmerk auf dem Passus Lösungsansätze.
Hier im Forum helfen und erklären wir gerne und oft recht ausdauernd, das bloße Vorrechnen von Aufgaben widerspricht dem Geist des Forums.
Du hast nun keine Frage gestellt, und auch nicht gezeigt, wie weit Du selber kommst.
Da ich nicht weiß, an welcher Stelle Du hängst, will ich Dir die Aufgabe 1.) ein wenig erklären.
Es geht um folgende zwei Fragen:
a) Wenn man eine Zahl m schreiben kann als [mm] m=n^2+n=n(n+1), [/mm] also als Produkt zweier aufeinanderfolgender Zahlen, folgt dann hieraus, daß m eine gerade Zahl ist? Falls ja: begründen.
In diesem Falle hätte man: A ==> B, also wäre A hinreichend für B.
b) Wenn man eine gerade Zahl m hat, findet man dann immer eine Zahl n, so daß m als Produkt [mm] m=n(n+1)=n^2+n [/mm] geschrieben werden kann? Falls nein: Gegenbeispiel.
Gilt also B==> A ?
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Wenn beide Richtungen gelten, sind die Aussagen äquivalent: A <==> B.
(Man sagt dann auch: A ist hinreichend und notwendig für B)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Fr 19.10.2007 | | Autor: | sonne19 |
Wahnsinn, wie schnell das hier geht!!!! DICKES LOB!!!!
Hab mich vertan, studier mathe auf diplom erstes semester und hatte vor einer woche meine erste vorlesung...und bin gerade ein bisschen überfordert mit meinem ersten übungstzettel.
zurück zur aufgabe:
also die 1.) hätte ich jetzt so gelöst:
a.)
A [mm] \Rightarrow [/mm] B Begründung:
-falls n eine gerade, natürliche zahl ist, ist auch m eine gerade, natürliche Zahl, da das quadrat einer geraden zahl eine gerade zahl ergibt(n²) und auch die summe aus zwei geraden zahlen eine gerade zahl ergibt (n²+n).
-falls n eine ungerade, natürliche zahl ist, ist m eine gerade natürliche zahl, da das quadrat einer ungeraden zahl eine ungerade zahl ergibt (n²) und die summe aus zwei ungeraden zahlen eine gerade zahl ergibt (n²+n).
daraus folgt A impliziert B , A [mm] \Rightarrow [/mm] B
kann man das so begründen bzw. ist es überhaupt notwendig dies zu begründen, denn man soll ja laut fragestellung nur erklären ob A äquivalent B oder A hinreichend für B. reicht es dann wenn man nur B [mm] \Rightarrow [/mm] A betrachtet und wenn dies wahr ist, dan daraus folgert, dass A Äquivalent B und wenn dies falsch ist nur A impliziert B gilt?
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b.) B [mm] \Rightarrow [/mm] A
dazu fällt mir keine richtige begründung ein, sondern nur ein beispiel:
für m=2 gibt es ein n. (n=1)
für m=6 gint es auch ein n. (n=2)
m=4 müsste also irgendwo dazwischen liegen ( zwischen 1 und 2), dies wäre aber dann keine natürliche zahl. Was heißen würde, dass B [mm] \Rightarrow [/mm] A falsch ist...also keine Äquivalenz.
Was mich jetzt noch irritiert ist, dass im Text steht (aussage A) " [mm] \exists [/mm] n [mm] \in...)" [/mm] es "existiert" also ein n und nicht "für alle" n. Ist dann [mm] B\Rightarrow [/mm] A richtig, weil es ja nur existieren soll und nicht für alle gelten soll?
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vielen dank für das feedback!!!
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> also die 1.) hätte ich jetzt so gelöst:
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> a.)
> A [mm]\Rightarrow[/mm] B Begründung:
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> -falls n eine gerade, natürliche zahl ist, ist auch m eine
> gerade, natürliche Zahl, da das quadrat einer geraden zahl
> eine gerade zahl ergibt(n²) und auch die summe aus zwei
> geraden zahlen eine gerade zahl ergibt (n²+n).
>
> -falls n eine ungerade, natürliche zahl ist, ist m eine
> gerade natürliche zahl, da das quadrat einer ungeraden zahl
> eine ungerade zahl ergibt (n²) und die summe aus zwei
> ungeraden zahlen eine gerade zahl ergibt (n²+n).
>
> daraus folgt A impliziert B , A [mm]\Rightarrow[/mm] B
>
> kann man das so begründen
Hallo,
ja, das sind gute Begründungen.
> bzw. ist es überhaupt notwendig
> dies zu begründen,
Prinzipiell ist es immer nötig, alles zu begünden...
Ich würde es unbedingt begründen, auch wenn das lt. Aufgabenstellung nicht unbedingt gefragt ist. Du verlierst ja dadurch nichts!
Eine andere Begrundung: wenn m=n(n+1) ist, ist mindestens eine der Zahlen gerade. Wenn nicht n, dann die darauffolgende zahl n+1.
denn man soll ja laut fragestellung nur
> erklären ob A äquivalent B oder A hinreichend für B. reicht
> es dann wenn man nur B [mm]\Rightarrow[/mm] A betrachtet und wenn
> dies wahr ist, dan daraus folgert, dass A Äquivalent B und
> wenn dies falsch ist nur A impliziert B gilt?
>
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>
> b.) B [mm]\Rightarrow[/mm] A
> dazu fällt mir keine richtige begründung ein, sondern nur
> ein beispiel:
Mit einem Gegenbeispiel hast Du die Aufgabe in trockenen Tüchern.
> m=4 müsste also irgendwo dazwischen liegen
4 kann man nur schreiben als
4=1*4
4=2*2
4=4*1,
also nicht als Produkt zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen.
> heißen würde, dass B [mm]\Rightarrow[/mm] A falsch ist...also keine
> Äquivalenz.
Richtig.
> Was mich jetzt noch irritiert ist, dass im Text steht
> (aussage A) " [mm]\exists[/mm] n [mm]\in...)"[/mm] es "existiert" also ein n
> und nicht "für alle" n. Ist dann [mm]B\Rightarrow[/mm] A richtig,
> weil es ja nur existieren soll und nicht für alle gelten
> soll?
Du hast das richtig gemacht.
Die Frage ist ja, ob man für jede beliebige gerade Zahl so ein n findet, und Du hast gerade gezeigt, daß das nicht der Fall ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 Sa 20.10.2007 | | Autor: | sonne19 |
Vielen Dank!!!
nun zum zweiten Aufgabenteil:
- B=>A
Wenn B wahr folgt dann, dass auch A wahr ist? Also, wenn x=y=0 ist dann kx²+y²/k=2xy eine wahne Aussage? ja, da:
k*0²+0²/k=2*0*0
-> 0=0 wahre Aussage . Also gilt B=>A
Kann man das so begründen bzw sind meine Überlegungen überhauptrichtig?
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A=>B
wenn diese aussage wahr sein soll, dann müsste ja gelten, dass kx²+y²/k=2xy nur eine Lösung hat und zwar für x=0 und Y=0.
Folglich suche ist jetzt nach einem gegenbeispiel, also:
gibt es für kx²+y²/k=2xy noch eine weitere Lösung außer die Nulllösung ( für x=0 und y=0) ?
um dies jetzt herauszufinden habe ich versucht die gleichung kx²+y²/k=2xy nach n x aufzulösen mit der pq formel, habe dann auf die Diskriminante geschaut. also wenn die diskriminate >0 oder =0 dann hat die gleichung lösungen. dann müsste man schauen ob von diesen Lösungen welche dabei sind die nicht die nulllösung ist also (x=0 und Y=0) wenn nein ist A=>B wahr also gilt äquivalenz, wenn ja dann ist A=>B falsch.
Leider komme ich nachdem ich die pq formel aufgestellt habe nicht weiter bzw. das ganze wird immer komplizierter und ich kann es nichtmehr lösen!
Das ganze ist eine ziemlich umständliche rumrechnerei.
jetzt stellt sich mir die frage:
ist mein denkansatz überhaupt richtig, oder gibt es nicht einfachere verfahren diese gleichung zu lösen?
vielen dank grüße sonne 19
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 Sa 20.10.2007 | | Autor: | mash |
ich habe jertzt rausgefunden dass A=>B nicht unbedngt richtig ist, da es noch andere Werte für x und y gibt. so erfüllt z.b. folgende beziehung die gleichung:
y=1 , x=1/k
für k=1 wird die gleichung erfüllt. daraus folgt doch dass A=> falsch ist oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Sa 20.10.2007 | | Autor: | mash |
die lösung der gleichung ist x=y/k . dadurch dürfte der schluss A=>B falsch sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Sa 20.10.2007 | | Autor: | sonne19 |
und wie bist du jetzt darauf gekommen/ wie hast du das umgeformt?
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:35 Sa 20.10.2007 | | Autor: | mash |
umformung:
x² - 2y / k * x + y²/k² = 0
pq formel anwenden:
x1/2 = y/k +/- sqrt ( y²/k² - y²/k² )
x = y/k
müsste stimmen.
gruß
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> und wie bist du jetzt darauf gekommen/ wie hast du das
> umgeformt?
Hallo,
durch Lösen der quadratischen Gleichung:
[mm] kx^2+\bruch{y^2}{k}=2xy
[/mm]
==> [mm] k^2x^2-2kxy+y^2=0
[/mm]
==> [mm] (kx-y)^2=0
[/mm]
==>(*) kx=y
Der Schluß, den mash daraus zieht, daß nämlich "A ==> B" verkehrt ist, ist falsch.
Anders ausgedrückt: "A ==> B" stimmt!
Hierzu müssen wir uns Aussage A nochmal genau angucken.
Da steht:
> Aussage A : " $ [mm] \forall [/mm] $ k $ [mm] \in\IN [/mm] $ : kx*x+(y*y)/k=2xy",
Aha - für alle k soll das gelten.
Es soll (x,y) also die Gleichung gleichzeitig lösen, für k=1, k=2 usw.
Das bedeutet, daß insbesondere (für k=1 und k=2) gleichzeitig gelten muß: (*) 1*x=y und 2*x=y.
Und hieraus folgt ???
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Sa 20.10.2007 | | Autor: | sonne19 |
hallo,  und danke für sie guten erklärungen!!!!!!
also ich fasse nochmal zusammen, ob ich das jetzt richtig vertanden habe:
A=>B ist zu zeigen, dies trifft zu wenn [mm] A=>\neg [/mm] B zu einem wiederspruch führt.
ich muss also rausfinden ob es für A noch eine andere Lösung gibt.
kx=y
gibt es weitere werte für x und y die diese gleichung für ALLE k lösen.
diese gleichung soll also für alle k eine wahre aussage ergeben.
-> dies geht aber nur wenn y=o und X=0 also B gilt.
Folgerung A=>B und da auch aus B=>A ist dieses Paar Äquivalent.
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war meine brgründung zu B=>A korrekt, so wie ich sie dargestellt habe (in meiner vorletzten frage)?
vielen dank!!!!!!!!!!!!!
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> also ich fasse nochmal zusammen, ob ich das jetzt richtig
> vertanden habe:
>
> A=>B ist zu zeigen, dies trifft zu wenn [mm]A=>\neg[/mm] B zu einem
> widerspruch führt.
Das wäre eine Möglichkeit. So würdest Du es indirekt zeigen.
Ich habe in meiner Argumentation allerdings den direkten Weg gewählt.
Daraus, daß die Gleichung für alle k gelten soll, habe ich auf ganz direktem Weg geschlossen, daß x=y=0, denn
> diese gleichung soll also für alle k eine wahre aussage
> ergeben.
> -> dies geht aber nur wenn y=o und X=0 also B gilt.
>
> Folgerung A=>B und da auch aus B=>A ist dieses Paar
> Äquivalent.
Genau.
>
> -----------------------------------------------------------------------------------------------
>
> war meine brgründung zu B=>A korrekt, so wie ich sie
> dargestellt habe (in meiner vorletzten frage)?
Verzichte auf das Gewuschtel mit den mehreren Lösungen (es ist nicht verkehrt, aber man man vertüdelt sich leicht dabei) und argumentiere direkt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Sa 20.10.2007 | | Autor: | sonne19 |
juhu!!!
ich habs verstanden!!!
vielen dank nochmal grüße!!!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Orry |
so hallo erstmal,
Ich steh bei dieser Aufgabe grad aufm Schlauch...
Wie oben beschrieben kann man ja Aussage A umformen zu der Gleichung k= [mm] \bruch{y}{x} [/mm]
Das heisst ich kann mir für jedes k meine x und y suchen.
zB. wenn mein k 2 sein soll, dann ist y=4 und x=2
So wenn ich mir die aber aussuchen kann, dann muss Aussage B ja nicht zutreffen, also x=y=0 ist nicht zwingend norwendig.
Daher ist A nur hinreichend für B und nicht A äquivalent B, oder?!
danke schonmal im vorraus
Orry
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> so hallo erstmal,
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> Ich steh bei dieser Aufgabe grad aufm Schlauch...
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> Wie oben beschrieben kann man ja Aussage A umformen zu der
> Gleichung k= [mm]\bruch{y}{x}[/mm]
Hallo,
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Laß uns lieber
"Für alle k gilt kx=y" schreiben, Division macht einem oft Probleme, es ist nur für [mm] x\not=0 k=\bruch{y}{x}.
[/mm]
Ich hatte das ja schon an anderer Stelle erklärt: kx=y muß für alle k gelten, also auch für k=1 und k=2.
==> 1*x=y und 2x=y gelten gleichzeitig
==> reche's aus!
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:06 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Orry |
mkay
sorum klappts, danke
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