Implizite DGl, Clairau(l)t DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:02 Fr 26.11.2010 | | Autor: | Peon |
Ich habe ein paar Verständnisfragen:
Wir behandelt zur Zeit implizite DGL der Form 1) y=F(y'), 2) x=F(y') oder eben Clairault (wird das nun mit "l" oder ohne "l" geschrieben...?) DGL der Form 3) y(x)=x*y'(x)+g(y'(x)).
Mit y'=p als Paramter erhält man ja die Lösungskurven:
zu 1) y(p)=F(p), [mm] x(p)=\integral_{}^{}{\bruch{F'(p)}{p}dp}+C
[/mm]
zu 2) x(p)=F(p), [mm] y(p)=\integral_{}^{}{p*F'(p)dp}+C
[/mm]
zu 3) x(p)=-g'(p), y(p)=-g'(p)*p+g(p)
Als Bsp für (3).:
Für die DGL: [mm] y(x)=x*y'(x)+(y'(x))^3 [/mm] erhält man die Lsg.kurven [mm] x(p)=-3p^2, y(p)=-2*p^3
[/mm]
Meine Fragen:
Ist die Lösung richtig?
Bei der Herleitung der Lösungskurven hat man ja p als Parameter eingeführt, wieso wird aus der Variablen x, dann auf einmal eine Fkt. x(p), also mir geht es nicht um die Rechenschritte, denn die habe ich alle hinbekommen, sondern eher, was es bedeutet, wenn man die Variable x nunmehr in Abhängigkeit vom Parameter p setzt, darf man das (vermutlich ja, weil es klappt) und was steckt dahinter?
Was ich mir auch noch nicht so ganz veranschaulichen kann, sind die Lsg.kurven. Man erhält ja eine Kurve x(p) und y(p), wie sehen die aus und wie ist der Zusammenhang zur ursprünglichen DGL (auch in graphischer Hinsicht), was heißt Lösungskurven? Vielleicht kann mir jemand dazu ein Bild zeigen? Was bedeutet das, dass man nicht auf eine Lsg. der Form y(x)=... kommt?
Das waren einige Fragen, ich hoffe ihr wisst was ich damit meine. Das Berechnen ist kein Problem, aber ich würde gerne ein bisschen mehr darüber erfahren, was dahinter steckt, damit ich den Zusammenhang besser verstehen kann.
Danke
EDIT:
Kann man bei der Aufgabe, die ich oben hingeschrieben habe, die Gleichung x(p)=.. nach p umstellen und das p dann in der Gleichung y(p) ersetzen, sodass man auf eine Lösung der Form y(x)=... kommt?
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Hallo Peon,
> Ich habe ein paar Verständnisfragen:
>
> Wir behandelt zur Zeit implizite DGL der Form 1) y=F(y'),
> 2) x=F(y') oder eben Clairault (wird das nun mit "l" oder
> ohne "l" geschrieben...?) DGL der Form 3)
Das schreibt sich ohne "l": "Clairaut".
> y(x)=x*y'(x)+g(y'(x)).
>
> Mit y'=p als Paramter erhält man ja die Lösungskurven:
> zu 1) y(p)=F(p),
> [mm]x(p)=\integral_{}^{}{\bruch{F'(p)}{p}dp}+C[/mm]
> zu 2) x(p)=F(p), [mm]y(p)=\integral_{}^{}{p*F'(p)dp}+C[/mm]
> zu 3) x(p)=-g'(p), y(p)=-g'(p)*p+g(p)
>
> Als Bsp für (3).:
> Für die DGL: [mm]y(x)=x*y'(x)+(y'(x))^3[/mm] erhält man die
> Lsg.kurven [mm]x(p)=-3p^2, y(p)=-2*p^3[/mm]
>
> Meine Fragen:
> Ist die Lösung richtig?
Ja.
> Bei der Herleitung der Lösungskurven hat man ja p als
> Parameter eingeführt, wieso wird aus der Variablen x, dann
> auf einmal eine Fkt. x(p), also mir geht es nicht um die
> Rechenschritte, denn die habe ich alle hinbekommen, sondern
> eher, was es bedeutet, wenn man die Variable x nunmehr in
> Abhängigkeit vom Parameter p setzt, darf man das
> (vermutlich ja, weil es klappt) und was steckt dahinter?
Betrachte eine beliebige Kurve [mm]y=\phi\left(x\right)[/mm]
Differentiation nach x ergibt: [mm]y'=\phi'\left(x\right)[/mm]
Setzen wir y'=p. so ergibt sich: [mm]p=\phi'\left(x\right)[/mm]
Diese Gleichung wird nun nach x aufgelöst. Dann ist [mm]x=x\left(p\right)[/mm]
Daraus ergibt sich dann: [mm]y\left(p\right)=\phi\left( \ x\left(p\right) \ \right)[/mm]
Somit ist [mm]\left( \ x\left(p\right), \ y\left(p\right) \ \right)[/mm] eine Parameterdarstellung der Kurve.
>
> Was ich mir auch noch nicht so ganz veranschaulichen kann,
> sind die Lsg.kurven. Man erhält ja eine Kurve x(p) und
> y(p), wie sehen die aus und wie ist der Zusammenhang zur
> ursprünglichen DGL (auch in graphischer Hinsicht), was
> heißt Lösungskurven? Vielleicht kann mir jemand dazu ein
> Bild zeigen? Was bedeutet das, dass man nicht auf eine Lsg.
> der Form y(x)=... kommt?
>
> Das waren einige Fragen, ich hoffe ihr wisst was ich damit
> meine. Das Berechnen ist kein Problem, aber ich würde
> gerne ein bisschen mehr darüber erfahren, was dahinter
> steckt, damit ich den Zusammenhang besser verstehen kann.
>
> Danke
>
>
>
> EDIT:
>
> Kann man bei der Aufgabe, die ich oben hingeschrieben habe,
> die Gleichung x(p)=.. nach p umstellen und das p dann in
> der Gleichung y(p) ersetzen, sodass man auf eine Lösung
> der Form y(x)=... kommt?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Fr 26.11.2010 | | Autor: | Peon |
> Betrachte eine beliebige Kurve [mm]y=\phi\left(x\right)[/mm]
>
> Differentiation nach x ergibt: [mm]y'=\phi'\left(x\right)[/mm]
>
> Setzen wir y'=p. so ergibt sich: [mm]p=\phi'\left(x\right)[/mm]
>
> Diese Gleichung wird nun nach x aufgelöst. Dann ist
> [mm]x=x\left(p\right)[/mm]
>
> Daraus ergibt sich dann: [mm]y\left(p\right)=\phi\left( \ x\left(p\right) \ \right)[/mm]
>
> Somit ist [mm]\left( \ x\left(p\right), \ y\left(p\right) \ \right)[/mm]
> eine Parameterdarstellung der Kurve.
Ok, das macht es mir schon etwas klarer. Nur verstehe ich den Schritt von [mm] p=\phi'(x) [/mm] nach x=x(p) nicht, wie wurde da nach x umgeformt, weil das x steht ja zunächst noch in [mm] \phi'(x)?
[/mm]
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Hallo Peon,
> > Betrachte eine beliebige Kurve [mm]y=\phi\left(x\right)[/mm]
> >
> > Differentiation nach x ergibt: [mm]y'=\phi'\left(x\right)[/mm]
> >
> > Setzen wir y'=p. so ergibt sich: [mm]p=\phi'\left(x\right)[/mm]
> >
> > Diese Gleichung wird nun nach x aufgelöst. Dann ist
> > [mm]x=x\left(p\right)[/mm]
> >
> > Daraus ergibt sich dann: [mm]y\left(p\right)=\phi\left( \ x\left(p\right) \ \right)[/mm]
>
> >
> > Somit ist [mm]\left( \ x\left(p\right), \ y\left(p\right) \ \right)[/mm]
> > eine Parameterdarstellung der Kurve.
>
> Ok, das macht es mir schon etwas klarer. Nur verstehe ich
> den Schritt von [mm]p=\phi'(x)[/mm] nach x=x(p) nicht, wie wurde da
> nach x umgeformt, weil das x steht ja zunächst noch in
> [mm]\phi'(x)?[/mm]
Nun, [mm]x\left(p\right)[/mm] ist die Umkehrfunktion von [mm]\phi'(x)[/mm].
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:43 Fr 26.11.2010 | | Autor: | Peon |
;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Sa 27.11.2010 | | Autor: | peeetaaa |
Hallo zusammen,
ich sitze grade auch an dieser Aufgabe.
Mir ist jetzt doch noch nicht ganz klar geworden wie ich von
1) y(p)=F(p) auf dieses [mm] x(p)=\integral_{}^{}{\bruch{F'(p)}{p}dp}+C [/mm]
ich versteh da noch nicht so ganz wo das eigentlich eingesetzt wurde und so...
kann mir das vllt jemand etwas genauer erklären?
danke!!
gruß,
peeetaaa
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Hallo peeetaaa,
> Hallo zusammen,
> ich sitze grade auch an dieser Aufgabe.
> Mir ist jetzt doch noch nicht ganz klar geworden wie ich
> von
> 1) y(p)=F(p) auf dieses
> [mm]x(p)=\integral_{}^{}{\bruch{F'(p)}{p}dp}+C[/mm]
> ich versteh da noch nicht so ganz wo das eigentlich
> eingesetzt wurde und so...
> kann mir das vllt jemand etwas genauer erklären?
> danke!!
Nun [mm]y\left(p\right)[/mm] kannst Du auch schreiben als:
[mm]y\left(p\right)=y\left( \ x\left(p\right) \ \right)[/mm]
Differentiation nach p liefert den Zusammenhang:
[mm]\dot{y}\left(p\right)=y'\left(x\left(p\right)\right)*\dot{x}\left(p\right)[/mm]
Da x die Umkehrfunktion zu y' ist, ergibt sich:
[mm]\dot{y}\left(p\right)=p*\dot{x}\left(p\right)[/mm]
>
> gruß,
> peeetaaa
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mi 01.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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