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| Aufgabe | Untersuchen Sie für x,y>0 die Gleichung
[mm] x^{y}=y^{x}
[/mm]
in der Nähe des Punktes [mm] (1,1)^{T} [/mm] auf Auflösbarkeit nach x bzw.y. Berechnen Sie ggf. die Ableitung der auflösendes Funktion in 1. |
Hallo zusammen,
Ich denke mal, dass ich hier den Satz über implizite Funktionen anwenden soll. Ich bin mir aber noch nicht ganz sicher, ob ich den Satz vollkommen verstanden habe.
Wenn ich jetzt die partielle Ableitung der Funktion nach y bilde, erhalte ich
[mm] x^{y}\*log(x)-xy^{x-1}
[/mm]
und nach x
[mm] yx^{y-1}-y^{x}\*log(y).
[/mm]
Wenn ich nun (1,1) einsetze, erhalte ich in der 1. Gleichung -1 und in der 2. Gleichung 1.
Die Gleichung ist nun nach y bzw. x auflösbar, wenn es invertierbar ist.
Aber was muss denn jetzt genau invertierbar sein? Die partiellen Ableitungen?
Wenn ja, wie zeige ich denn, dass diese invertierbar sind?
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo takeiteasy,
> Untersuchen Sie für x,y>0 die Gleichung
> [mm]x^{y}=y^{x}[/mm]
> in der Nähe des Punktes [mm](1,1)^{T}[/mm] auf Auflösbarkeit nach x
> bzw.y. Berechnen Sie ggf. die Ableitung der auflösendes
> Funktion in 1.
> Hallo zusammen,
>
> Ich denke mal, dass ich hier den Satz über implizite
> Funktionen anwenden soll. Ich bin mir aber noch nicht ganz
> sicher, ob ich den Satz vollkommen verstanden habe.
>
> Wenn ich jetzt die partielle Ableitung der Funktion nach y
> bilde, erhalte ich
> [mm]x^{y}\*log(x)-xy^{x-1}[/mm]
> und nach x
> [mm]yx^{y-1}-y^{x}\*log(y).[/mm]
>
> Wenn ich nun (1,1) einsetze, erhalte ich in der 1.
> Gleichung -1 und in der 2. Gleichung 1.
> Die Gleichung ist nun nach y bzw. x auflösbar, wenn es
> invertierbar ist.
>
> Aber was muss denn jetzt genau invertierbar sein? Die
> partiellen Ableitungen?
> Wenn ja, wie zeige ich denn, dass diese invertierbar
> sind?
Nun, die partielle Ableitung nach der aufzulösenden
Variable muß in diesem Punkt verschieden von Null sein.
>
> Vielen Dank
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower
Mit -1 und 1 sind die partiellen Ableitungen in diesem Punkt ja verschieden von Null.
Ist damit also gezeigt, dass sie invertierbar sind und somit auflösbar nach x bzw. y?
Ist die Aufgabe damit gelöst, also ist das schon die Antwort?
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Hallo takeiteasy,
> Hallo MathePower
>
> Mit -1 und 1 sind die partiellen Ableitungen in diesem
> Punkt ja verschieden von Null.
>
> Ist damit also gezeigt, dass sie invertierbar sind und
> somit auflösbar nach x bzw. y?
Ja.
> Ist die Aufgabe damit gelöst, also ist das schon die
> Antwort?
Nun, laut Aufgabenstellung mußt Du noch die Ableitung
der auflösenden Funktion an dieser Stelle berechnen.
Gruß
MathePower
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Da bin ich mir auch ein bisschen unsicher.
Wenn ich jetzt die Ableitung bilde von x oder y abhängig, erhalte ich ja wieder meine partiellen Ableitungen.
Und wenn ich diese dann in 1 berechne, bekomme ich ja wieder -1 und 1.
Ist das so korrekt oder hab ich einen Denkfehler?
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Hallo takeiteasy,
> Da bin ich mir auch ein bisschen unsicher.
> Wenn ich jetzt die Ableitung bilde von x oder y abhängig,
> erhalte ich ja wieder meine partiellen Ableitungen.
> Und wenn ich diese dann in 1 berechne, bekomme ich ja
> wieder -1 und 1.
>
> Ist das so korrekt oder hab ich einen Denkfehler?
Es stimmt, daß Du hier die partiellen Ableitungen wieder verwenden kannst.
Zur Ableitung der auflösenden Funktion nach y betrachte:
[mm]x^{y\left(x\right)}-\left( \ y\left(x\right) \ \right)^{x}=0[/mm]
und differenziere nach x gemäß der Kettenregel.
Für den Fall der auflösenden Funktion nach x wird entsprechend verfahren.
Gruß
MathePower
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Ich hab das jetzt mal für die auflösende Funktion nach y gemacht.
Als Ableitung erhalte ich dann
[mm] y(x)*x^{y(x)-1}-x^{x}*(log(x)+1)(y(x))*y'(x).
[/mm]
x=1 eingesetzt, ergibt dann
y(1)-y(1)*y'(1).
Ist das so richtig?
Danke schön
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Hallo takeiteasy,
> Ich hab das jetzt mal für die auflösende Funktion nach y
> gemacht.
> Als Ableitung erhalte ich dann
> [mm]y(x)*x^{y(x)-1}-x^{x}*(log(x)+1)(y(x))*y'(x).[/mm]
Da fehlt ja einiges.
Betrachten wir die Funktion [mm]F\left(\ x,y\left(x\right) \ \right)=0[/mm]
Die Ableitung nach y ergibt sich gemäß der Kettenregel:
[mm]F_{x}+F_{y}*y'\left(x\right)=0[/mm]
woraus dann [mm]y'=-\bruch{F_{x}}{F_{y}}[/mm] folgt.
Hier bei sind [mm]F_{x}, F_{y}[/mm] die von Dir errechneten partiellen Ableitungen.
>
> x=1 eingesetzt, ergibt dann
> y(1)-y(1)*y'(1).
>
> Ist das so richtig?
>
> Danke schön
Gruß
MathePower
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Oh, okay.
Wenn ich dann in der auflösenden Funktion nach y
x=1 einsetze, erhalte ich dann
y-y*log(y).
Ist das so jetzt korrekt?
Danke für den Aufwand.
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Hallo takeiteasy,
> Oh, okay.
>
> Wenn ich dann in der auflösenden Funktion nach y
> x=1 einsetze, erhalte ich dann
> y-y*log(y).
>
> Ist das so jetzt korrekt?
Ja, und jetzt setze y=1.
> Danke für den Aufwand.
Gruß
MathePower
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