Implizite Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 Di 26.06.2012 | | Autor: | JackRed |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass es für genügend kleines [mm] \varepsilon [/mm] > 0 genau eine differenzierbare Funktion [mm] g:(-\varepsilon,\varepsilon)\to\IR [/mm] mit g(0)=0 und
[mm] e^{sin(x g(x))}+x^2-2g(x)=1\quad\quad [/mm] für alle [mm] x\in (-\varepsilon,\varepsilon)
[/mm]
gibt und berechnen Sie g'(0). |
Hallo,
habe diese Aufgabe hier und sogar noch grundlegende Probleme zu impliziten Funktionen. Den Satz über implizite Funktionen nehme ich jetzt mal von ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia.
Ich definiere mir zuerst meine Gleichung [mm] F:\Omega=U\times V\to\IR [/mm] mit [mm] F(x,y)=e^{sin(xy)}+x^2-2y-1 [/mm] und versuche den Satz darauf anzuwenden.
Zuerst [mm] D_{2}F [/mm] ausrechnen, hier stoß ich auf mein erstes Verständnisproblem. (Z.B. bei Wikipedia) steht ja, dass man [mm] D_{2}F [/mm] an der Stelle [mm] (x_0,y_0) [/mm] ausrechnen soll, wo [mm] F(x_0,y_0)=0 [/mm] gilt.
D.h. ich muss mir vorher die Nullstellen überlegen, oder wie geht man da vor?
Hier wäre ja einfach F(0,0)=0. Was ist, wenn man 'ne kompliziertere Funktion hat?
Jedenfalls ist hier: [mm] D_{2}F(0,0)=-2. [/mm] Das ist invertierbar und die Inverse ist stetig. (Oder darf ich das (0,0) noch gar nicht einsetzen?)
Jetzt weiß man, dass offene Umgebungen [mm] \Omega_1\times\Omega_2\subset\Omega [/mm] um [mm] (x_0,y_0)=(0,0) [/mm] existieren, sowie eine stetig differenzierbare Abbildung [mm] g:\Omega_1\to\Omega_2 [/mm] mit [mm] F(x,g(x))=0\quad\forall x\in\Omega_1
[/mm]
[mm] \varepsilon [/mm] kann man halt jetzt so wählen, dass [mm] (-\varepsilon,\varepsilon) [/mm] gerade noch in [mm] \Omega_1 [/mm] liegt.
Jetzt erscheint es auch irgendwie logisch, dass g(0)=0 sein muss, aber wirklich zeigen kann ich das nicht.
Als letztes muss man noch g'(0) ausrechnen. Aus der Vorlesung weiß ich
[mm] Dg(x)=g'(x)=-(D_{2}F(x,g(x)))^{-1}\circ D_{1}F(x,g(x)).
[/mm]
Dann rechnen:
[mm] D_{2}F(x,g(x))=x\cdot cos(x\cdot g(x))\cdot e^{sin(x g(x))}-2
[/mm]
Hier stell ich mich bisschen blöd an. Soll ich erst an der Stelle [mm] (x_0,y_0) [/mm] ausrechnen und dann invertieren oder doch zuerst invertieren?
Ist wahrscheinlich vieles falsch. Ich würde mich über Hilfe freuen.
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Hallo JackRed,
> Beweisen Sie, dass es für genügend kleines [mm]\varepsilon[/mm] >
> 0 genau eine differenzierbare Funktion
> [mm]g:(-\varepsilon,\varepsilon)\to\IR[/mm] mit g(0)=0 und
> [mm]e^{sin(x g(x))}+x^2-2g(x)=1\quad\quad[/mm] für alle [mm]x\in (-\varepsilon,\varepsilon)[/mm]
>
> gibt und berechnen Sie g'(0).
> Hallo,
>
> habe diese Aufgabe hier und sogar noch grundlegende
> Probleme zu impliziten Funktionen. Den Satz über implizite
> Funktionen nehme ich jetzt mal von
> Wikipedia.
>
> Ich definiere mir zuerst meine Gleichung [mm]F:\Omega=U\times V\to\IR[/mm]
> mit [mm]F(x,y)=e^{sin(xy)}+x^2-2y-1[/mm] und versuche den Satz
> darauf anzuwenden.
> Zuerst [mm]D_{2}F[/mm] ausrechnen, hier stoß ich auf mein erstes
> Verständnisproblem. (Z.B. bei Wikipedia) steht ja, dass
> man [mm]D_{2}F[/mm] an der Stelle [mm](x_0,y_0)[/mm] ausrechnen soll, wo
> [mm]F(x_0,y_0)=0[/mm] gilt.
> D.h. ich muss mir vorher die Nullstellen überlegen, oder
> wie geht man da vor?
> Hier wäre ja einfach F(0,0)=0. Was ist, wenn man 'ne
> kompliziertere Funktion hat?
>
In der Regel ist der zu untersuchende Punkt gegeben.
> Jedenfalls ist hier: [mm]D_{2}F(0,0)=-2.[/mm] Das ist invertierbar
Zum Verständnis,
[mm]D_{2}F[/mm] ist die partielle Ableitung nach der 2.Variablen:
[mm]D_{2}F=\bruch{\partial F}{\partial y}[/mm]
> und die Inverse ist stetig. (Oder darf ich das (0,0) noch
> gar nicht einsetzen?)
(0,0) darfst Du einsetzen.
> Jetzt weiß man, dass offene Umgebungen
> [mm]\Omega_1\times\Omega_2\subset\Omega[/mm] um [mm](x_0,y_0)=(0,0)[/mm]
> existieren, sowie eine stetig differenzierbare Abbildung
> [mm]g:\Omega_1\to\Omega_2[/mm] mit [mm]F(x,g(x))=0\quad\forall x\in\Omega_1[/mm]
>
> [mm]\varepsilon[/mm] kann man halt jetzt so wählen, dass
> [mm](-\varepsilon,\varepsilon)[/mm] gerade noch in [mm]\Omega_1[/mm] liegt.
> Jetzt erscheint es auch irgendwie logisch, dass g(0)=0
> sein muss, aber wirklich zeigen kann ich das nicht.
>
> Als letztes muss man noch g'(0) ausrechnen. Aus der
> Vorlesung weiß ich
> [mm]Dg(x)=g'(x)=-(D_{2}F(x,g(x)))^{-1}\circ D_{1}F(x,g(x)).[/mm]
>
[mm]D_{1}F=\bruch{\partial F}{\partial x}[/mm]
> Dann rechnen:
> [mm]D_{2}F(x,g(x))=x\cdot cos(x\cdot g(x))\cdot e^{sin(x g(x))}-2[/mm]
>
> Hier stell ich mich bisschen blöd an. Soll ich erst an der
> Stelle [mm](x_0,y_0)[/mm] ausrechnen und dann invertieren oder doch
> zuerst invertieren?
>
In diesem Falle ist es egal, da die partiellen Ableitungen reeelle Zahlen sind.
>
> Ist wahrscheinlich vieles falsch. Ich würde mich über
> Hilfe freuen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:38 Mi 27.06.2012 | | Autor: | JackRed |
Hey, erstmal danke für deine Antwort :)
> In der Regel ist der zu untersuchende Punkt gegeben.
Ok.
> [...]
> In diesem Falle ist es egal, da die partiellen Ableitungen
> reeelle Zahlen sind.
Moment, aber hier ist ja für [mm] Dg(x)=g'(x)=-(D_{2}F(x,g(x)))^{-1}\circ D_{1}F(x,g(x)) [/mm] dann
[mm]D_{1}F=\bruch{\partial F}{\partial x}=y\cdot e^{sin(x\cdot y)}\cdot cos(x\cdot y)+2x[/mm]
und
[mm]D_{2}F=\bruch{\partial F}{\partial y}=x\cdot e^{sin(x\cdot y)}\cdot cos(x\cdot y)-2[/mm]
Aber das ist doch mit der Formel oben nur allgemein mit (x,y)=(x,g(x)) angegeben. Woher weiß ich dann die Inverse? Meinst du das so, dass man jetzt einen x-Wert einsetzt (in diesem Fall x=0) und dann für den ersten Teil [mm]-(D_{2}F(x,g(x)))^{-1}[/mm] einfach den Kehrwert des errechneten Wertes nimmt?
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Hallo JackRed,
> Hey, erstmal danke für deine Antwort :)
>
> > In der Regel ist der zu untersuchende Punkt gegeben.
> Ok.
> > [...]
> > In diesem Falle ist es egal, da die partiellen
> Ableitungen
> > reeelle Zahlen sind.
> Moment, aber hier ist ja für
> [mm]Dg(x)=g'(x)=-(D_{2}F(x,g(x)))^{-1}\circ D_{1}F(x,g(x))[/mm]
> dann
> [mm]D_{1}F=\bruch{\partial F}{\partial x}=y\cdot e^{sin(x\cdot y)}\cdot cos(x\cdot y)+2x[/mm]
>
> und
> [mm]D_{2}F=\bruch{\partial F}{\partial y}=x\cdot e^{sin(x\cdot y)}\cdot cos(x\cdot y)-2[/mm]
>
> Aber das ist doch mit der Formel oben nur allgemein mit
> (x,y)=(x,g(x)) angegeben. Woher weiß ich dann die Inverse?
> Meinst du das so, dass man jetzt einen x-Wert einsetzt (in
> diesem Fall x=0) und dann für den ersten Teil
> [mm]-(D_{2}F(x,g(x)))^{-1}[/mm] einfach den Kehrwert des errechneten
> Wertes nimmt?
So ist es.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 Mi 27.06.2012 | | Autor: | JackRed |
Gut, dann versuche ich es erstmal so. Danke für deine Hilfe!
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