Implizites Differenzieren < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Do 05.06.2008 | | Autor: | kiri111 |
| Aufgabe | | Differenziere [mm] x^2*y+3y^3*x^4-4=0 [/mm] implizit. |
Hallo,
wollte nur kurz meine Lösung angeben und fragen, ob sie richtig ist. Ich erhalte:
[mm] y'=-12*x*y^3-9*x^2*y^2-2*\bruch{y}{x}
[/mm]
Stimmt das? Wenn nicht, wäre nett, wenn mir einer sagen könnte, wie ich es rechnen muss.
Liebe Grüße
kiri
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 Do 05.06.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
bitte mal den Rechenweg zeigen - ich erhalte ein anderes Ergebnis, was aber in letzter Zeit nicht viel zu sagen hat 
Die Bergründung liegt darin, dass du zweimal die Produktregel anwenden musst und somit zweimal ein y' ausklammern musst. Es bleibt also irgendwas mit [mm] y'(a_i+b_j) [/mm] und genau diesen Term vermisse ich im Nenner.
Lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Do 05.06.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
okay... ich sehe ich habe es noch nicht ganz verstanden... Könntest du mir das Ganze nochmal vorrechnen? Vereinfachungen mache ich dann selbst.
Dank dir.
Viele Grüße
kiri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:59 Do 05.06.2008 | | Autor: | Herby |
Hi,
ich nehme mal den ersten Teil der Gleichung [mm] x^2*y
[/mm]
Wir haben hier ein Produkt aus u und v mit [mm] u=x^2 [/mm] und v=y. Das Problem ist hier unser y, denn das hängt ja noch von x ab. Aber der Reihe nach.
u zu differenzieren ist kein Problem:
[mm] u=x^2
[/mm]
[mm] u'=\bruch{du}{dx}=2x
[/mm]
nun zum v:
v=y
[mm] v'=\bruch{dv}{dx} [/mm] <--- und das geht nicht so einfach, wir müssen einen Zwischenschritt einfügen:
[mm] v'=\bruch{dv}{dy}*\bruch{dy}{dx} [/mm] <--- das machen wir jetzt schrittwiese, erst mal [mm] \bruch{dv}{dy}^{\*}
[/mm]
v=y
[mm] v'_{\*}=\bruch{dv}{dy}=1
[/mm]
nun noch
[mm] \bruch{dy}{dx}=y'
[/mm]
zusammengesetzt kommt dann
v=y
[mm] v'=\bruch{dv}{dy}*\bruch{dy}{dx}=1*y'
[/mm]
das alles in der Produktformel verbraten mit (uv)'=u'v+uv'
[mm] (uv)'=2x*y+x^2*y'
[/mm]
nimm dir mal den nächsten Teil vor 
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Fr 06.06.2008 | | Autor: | kiri111 |
Okay... Dank dir... Mal schauen, ob ich es verstanden habe.
Ich komme insgesamt auf:
[mm] 2*x*y+x^2*y'+12*x^3*y^3+x^4*9*y^2*y'=0
[/mm]
Und wenn ich das nach y' auflöse, erhalte ich:
[mm] y'=\bruch{-2*x*y-12*x^3*y^3}{x^2+9*x^4*y^2}
[/mm]
Stimmt das so?
Liebe Grüße
kiri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Fr 06.06.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Kiri,
das sieht sehr gut aus ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Fr 06.06.2008 | | Autor: | kiri111 |
Super! Vielen lieben Dank.
Die Aufgabe lautet eigentlich:
Man zeige, dass diese Gleichung auf einer Umgebung
von (1, 1) im Sinne des Satzes über implizite Funktionen nach y auflösbar ist.
Wäre ich damit jetzt schon fertig?
Viele Grüße
kiri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Fr 06.06.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
oje, das hatten wir auch mal irgendwann - ich denke du musst zwei Punkte prüfen:
1. Ist die Gleichung für diese Voraussetzung (Umgebung) erfüllt?
ja, denn: 1+3-4=0
2. Ist die Ableitung y'=... in diesem Fall definiert (d.h. [mm] Nenner\not=0)
[/mm]
ja, denn: [mm] 1+9=10\not=0
[/mm]
und somit ist die Gleichung nach y auflösbar
Lg
Herby
Wenn ich mich damit mal wieder nicht vertan habe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:37 Fr 06.06.2008 | | Autor: | kiri111 |
Vielen Dank!! Damit ist alles klar.
LIebe Grüße
kiri
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