Implizites Differenzieren < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Funktion z(x,y) sei durch die Gleichung [mm] x^2+y^2+z^2 [/mm] = 0 gegeben.
Gesucht sind die partiellen Ableitungen und die lokalen Extrema von z |
Hallo!
Mit dem Hauptsatz über implizite Funktionen kann ich ohne gröbere Schwierigkeiten z(x,y) nach x und y ableiten.
Aber ich hab große Probleme mit den Ableitungen 2. Ordnung also z(x,y)xx z(x,y)xy z(x,y)yy.
Wolframalpha sagt für z(xy)xx kommt [mm] y^2/z^3 [/mm] raus ich komm allerdings auf [mm] (-2z)/x^2 [/mm] (was erstaunlicherweise die korrekte Ableitung für [mm] x^2*y^2*z^2 [/mm] = 0 wäre)
Bin also über jeden Tip dankbar der mir zeigt wie ich das korrekt lösen kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:06 So 21.04.2013 | | Autor: | MathePower |
Hallo Epsilongroesser0,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Funktion z(x,y) sei durch die Gleichung [mm]x^2+y^2+z^2[/mm] = 0
> gegeben.
> Gesucht sind die partiellen Ableitungen und die lokalen
> Extrema von z
>
> Hallo!
> Mit dem Hauptsatz über implizite Funktionen kann ich ohne
> gröbere Schwierigkeiten z(x,y) nach x und y ableiten.
> Aber ich hab große Probleme mit den Ableitungen 2.
> Ordnung also z(x,y)xx z(x,y)xy z(x,y)yy.
>
> Wolframalpha sagt für z(xy)xx kommt [mm]y^2/z^3[/mm] raus ich komm
> allerdings auf [mm](-2z)/x^2[/mm] (was erstaunlicherweise die
> korrekte Ableitung für [mm]x^2*y^2*z^2[/mm] = 0 wäre)
>
> Bin also über jeden Tip dankbar der mir zeigt wie ich das
> korrekt lösen kann.
>
Poste dazu Deine bisherigen Rechenschritte.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Nach dem Hauptsatz kann ich für z(x,y)x schrieben:
z(x,y)x = - zx/zz = -2x/2z = -x/z. Hier ist Wolframalpha noch mit mir konform.
Wenn ich jetzt allerdings noch einmal nach x ableite per Quotientenregel:
Hab ich: [mm] -((1*z)-x*1*(dx/dz))/z^2, [/mm] nach oben weiß ich was dx/dz ist => (-x/z)
Das setze ich ein und erhalte nach dem ausmultiplizieren: [mm] (z^2-x^2)/z^3
[/mm]
Was nicht stimmt.
Ich denke mein Fehler liegt irgendwo beim z(x,y)xx anwenden, sprich das man genau so wie für z(x,y)x eine Regel anwenden muss, die ich aber leider nicht kenne. Ich hab im Internet leider nur Dinge gefunden für zwei Variabeln. Und wenn es doch 3 Variabeln waren dann nur einfach implizit abgeleitet.
Lokale Extreme würde ich dann einfach per z(x,y)x = 0 ^ z(x,y)y = 0 finden.
|
|
|
| |
|
Hallo Epsilongroesser0,
> Nach dem Hauptsatz kann ich für z(x,y)x schrieben:
>
> z(x,y)x = - zx/zz = -2x/2z = -x/z. Hier ist Wolframalpha
> noch mit mir konform.
>
> Wenn ich jetzt allerdings noch einmal nach x ableite per
> Quotientenregel:
>
> Hab ich: [mm]-((1*z)-x*1*(dx/dz))/z^2,[/mm] nach oben weiß ich was
> dx/dz ist => (-x/z)
> Das setze ich ein und erhalte nach dem ausmultiplizieren:
> [mm](z^2-x^2)/z^3[/mm]
>
Hier muss es doch lauten:
[mm]\blue{-}\bruch{z^2\blue{+}x^2}{z^3}[/mm]
> Was nicht stimmt.
>
> Ich denke mein Fehler liegt irgendwo beim z(x,y)xx
> anwenden, sprich das man genau so wie für z(x,y)x eine
> Regel anwenden muss, die ich aber leider nicht kenne. Ich
> hab im Internet leider nur Dinge gefunden für zwei
> Variabeln. Und wenn es doch 3 Variabeln waren dann nur
> einfach implizit abgeleitet.
>
Ersetze [mm]z^{2}[/mm] nach der gegebenen Gleichung.
> Lokale Extreme würde ich dann einfach per z(x,y)x = 0 ^
> z(x,y)y = 0 finden.
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
o.O
Das wars?
Funktioniert das immer so? Also ich leite 1 mal ab per Hauptsatz, danach setze ich für mein z die passende Bedingung ein?
Wenn ich hätte [mm] x^2+y^2+z^2 [/mm] + 2z = 0
Krieg ich für z(x,y)x raus: -x/(1+z), mach wieder Quotientenregel und hab dann mit Umformung [mm] ((1+z)^2+x^2)/(1+z)^3 [/mm] kann für das Binom oben teilweise mit [mm] (-x^2-y^2) [/mm] substituieren und erhalte schlussendlich:
[mm] (-1+y^2)/(1+z)^3
[/mm]
Funktioniert das mit dem Substituieren immer so "einfach"? Oder kann es sein, dass ich hätte [mm] (x^2+z^3)/z^2 [/mm] mit Anfangsgleichung in etwa: [mm] z^4 [/mm] + 2z = [mm] x^2+y^2 [/mm] oder ähnlichem, sprich, dass ich nicht einfach schön umformen und damit subsituieren kann?
Wie ist da die Regel? Ich substituier was geht, und den rest lass ich? Oder ist das alles nur kosmetiisch, und ob ich substituier oder nicht ist egal oder steckt da System dahinter?
Gibts noch etwas zu beachten? Sonderfälle (z.b. bei Potenzen >n muss folgendes beachtet werden)? Tipps/Tricks?
Da du nichts geschrieben hast geh ich davon aus das meine Extremumsbestimmung von der Theorie passen würde?
|
|
|
| |
|
Hallo Epsilongroesser0,
> o.O
> Das wars?
> Funktioniert das immer so? Also ich leite 1 mal ab per
> Hauptsatz, danach setze ich für mein z die passende
> Bedingung ein?
>
> Wenn ich hätte [mm]x^2+y^2+z^2[/mm] + 2z = 0
>
> Krieg ich für z(x,y)x raus: -x/(1+z), mach wieder
> Quotientenregel und hab dann mit Umformung
> [mm]((1+z)^2+x^2)/(1+z)^3[/mm] kann für das Binom oben teilweise
> mit [mm](-x^2-y^2)[/mm] substituieren und erhalte schlussendlich:
> [mm](-1+y^2)/(1+z)^3[/mm]
>
> Funktioniert das mit dem Substituieren immer so "einfach"?
> Oder kann es sein, dass ich hätte [mm](x^2+z^3)/z^2[/mm] mit
> Anfangsgleichung in etwa: [mm]z^4[/mm] + 2z = [mm]x^2+y^2[/mm] oder
> ähnlichem, sprich, dass ich nicht einfach schön umformen
> und damit subsituieren kann?
> Wie ist da die Regel? Ich substituier was geht, und den
> rest lass ich? Oder ist das alles nur kosmetiisch, und ob
> ich substituier oder nicht ist egal oder steckt da System
> dahinter?
>
Nein, ein System steckt da nicht hinter.
Du versuchst nur zu ersetzen, was geht.
> Gibts noch etwas zu beachten? Sonderfälle (z.b. bei
> Potenzen >n muss folgendes beachtet werden)? Tipps/Tricks?
>
> Da du nichts geschrieben hast geh ich davon aus das meine
> Extremumsbestimmung von der Theorie passen würde?
>
Ja, die passt.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:08 Mo 22.04.2013 | | Autor: | hippias |
Ueberlege Dir doch einmal, welche Loesungen die Gleichung ueberhaupt besitzt und ob die Voraussetzungen des Satzes ueber implizite Funktionen fuer diese Loesungen erfuellt sind.
|
|
|
|
