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Hallo!
Das implizite F.T. besagt ja im Groben, dass eine stetig diffbare Funktion in einer Umgebung eines Punktes auflösbar ist, wenn der Punkt die Gleichung erfüllt und die Ableitung nach y im Punkt invertierbar ist. Meine 1. Frage ist, warum stetig diffbar? Würde nicht stetig und stetig partiell nach y diffbar reichen? Ich habe im Beweis nicht gesehen dass von der stetigen Diffbarkeit nach x gebrauch gemacht wurde.
Außerdem kommt aus dem Beweis nicht ganz rüber wozu ich die Stetigkeit und die partielle stetige Diffbarkeit nach y anschaulich benötige. Es wäre hilfreich ein Beispiel zu finden wo alle Bedingungen außer eine der eben genannten erfüllt sind und die Funktion nicht auflösbar ist. Könnte mir dabei jemand helfen?
Danke!
Angelika
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Fr 04.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Angelika!
> Das implizite F.T. besagt ja im Groben, dass eine stetig
> diffbare Funktion in einer Umgebung eines Punktes
> auflösbar ist, wenn der Punkt die Gleichung erfüllt und
> die Ableitung nach y im Punkt invertierbar ist. Meine 1.
> Frage ist, warum stetig diffbar? Würde nicht stetig und
> stetig partiell nach y diffbar reichen? Ich habe im Beweis
> nicht gesehen dass von der stetigen Diffbarkeit nach x
> gebrauch gemacht wurde.
>
> Außerdem kommt aus dem Beweis nicht ganz rüber wozu ich
> die Stetigkeit und die partielle stetige Diffbarkeit nach y
> anschaulich benötige. Es wäre hilfreich ein Beispiel zu
> finden wo alle Bedingungen außer eine der eben genannten
> erfüllt sind und die Funktion nicht auflösbar ist.
> Könnte mir dabei jemand helfen?
Ein ganz einfaches Beispiel, das die Voraussetzungen nicht erfüllt: die Funktion
[mm]f(x,y) = |x| -|y| = 0[/mm] .
Die Punkte, die die Gleichung erfüllen, liegen auf den Winkelhalbierenden in allen Quadranten, inklusive des Punktes $(0,0)$ .
Im Punkt $(0,0)$ kannst du die Gleichung nicht nach y auflösen: zwar gehört zu x=0 genau der eine Punkt y=0, aber sobald du eine Umgebung betrachtest, gibt es zu jedem x zwei mögliche Werte von y.
Vergleiche das mit anderen Funktionen wie
[mm] f(x,y) = x-y [/mm] (Gerade)
bei der du im Punkt $(0,0)$ auflösen kannst.
(NACHTRAG: f stetig partiell differenzierbar impliziert f total differenzierbar und damit f stetig!)
Viele Grüße
Rainer
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Hallo nochmal!
Danke für dein Bsp.! Allerdings sind da mehrere Voraussetzungen nicht erfüllt, es fehlt nicht nur die stetige partielle Diffbarkeit nach y (oder die Stetigkeit).
Auch ist die Frage offen geblieben, ob denn nicht die stetige partielle Diffbarkeit nach y und die Stetigkeit anstelle der stetigen Diffbarkeit ausreichen würden, und warum nicht.
Gruß
Angelika
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 Sa 12.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Angelika!
> Danke für dein Bsp.! Allerdings sind da mehrere
> Voraussetzungen nicht erfüllt, es fehlt nicht nur die
> stetige partielle Diffbarkeit nach y (oder die Stetigkeit).
Was fehlt denn noch?
> Auch ist die Frage offen geblieben, ob denn nicht die
> stetige partielle Diffbarkeit nach y und die Stetigkeit
> anstelle der stetigen Diffbarkeit ausreichen würden, und
> warum nicht.
In der Ableitung der Funktion g, die $F(x,g(y))=0$ auföst, stehen doch sowohl die Matrix der partiellen Ableitungen nach x wie auch die der part. Abl. nach y. Du brauchst die partielle Differenzierbarkeit nach x, sonst kannst du die Ableitung von g nicht hinschreiben.
Um welche Version des Satzes über implizite Funktionen geht es denn hier, und um welchen Beweis? Ich glaube, wir reden ein wenig aneinander vorbei.
Viele Grüße
Rainer
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