Impulserhaltung relativistisch < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:26 Di 06.05.2008 | | Autor: | chrisno |
Ich versuche ein Beispiel zur Impulserhaltung relativistisch zu berechnen und es gelingt nicht. Wo steckt der Fehler?
Es soll folgendes passieren: Zwei gleich große Massen [mm] m_0 [/mm] werden durch einen Effekt (Feder) auseinandergetrieben.
Im Schwerpunktsystem:
vorher: [mm] $p_v [/mm] = 0$, da $v = 0$.
nachher: [mm] $p_n [/mm] = [mm] \bruch{m_0 v}{\wurzel{1-\bruch{v^2}{c^2}}} [/mm] - [mm] \bruch{m_0 v}{\wurzel{1-\bruch{v^2}{c^2}}}$
[/mm]
wegen der Impulserhaltung.
Im System, das sich mit v, der Geschwindigkeit der einen Masse nach dem auseinanderfliegen bewegt:
vorher: [mm] $p_v [/mm] = [mm] -\bruch{2 m_0 v}{\wurzel{1-\bruch{v^2}{c^2}}}$
[/mm]
nachher: [mm] $p_n [/mm] = [mm] -\bruch{m_0 w}{\wurzel{1-\bruch{w^2}{c^2}}} [/mm] + 0$,
dabei ist w durch $w = [mm] \bruch{v + v}{1+\bruch{v^2}{c^2}}$ [/mm] gegeben. Dies ist die Geschwindigkeit der anderen Masse.
Nun möchte ich gerne [mm] $p_v [/mm] = [mm] p_n$ [/mm] erhalten, da die Impulserhaltung in jedem Inertialsystem gelten muss. Ich kürze $-2m_0v$ und bilde die Kehrwerte:
[mm] $\wurzel{1-\bruch{v^2}{c^2}} [/mm] = [mm] \left(1+\bruch{v^2}{c^2}\right) \wurzel{1-\bruch{\bruch{4v^2}{\left(1+\bruch{v^2}{c^2}\right)^2}}{c^2}}$
[/mm]
Die rechte Wurzel vereinfacht sich in [mm] $\left(\bruch{c^2-v^2}{c^2+v^2}\right)$:
[/mm]
[mm] $\wurzel{1-\bruch{v^2}{c^2}} [/mm] = [mm] \bruch{c^2+v^2}{c^2}\bruch{c^2-v^2}{c^2+v^2}=1-\bruch{v^2}{c^2}$.
[/mm]
Es fehlt mir also ein Faktor [mm] $\wurzel{1-\bruch{v^2}{c^2}}$, [/mm] den ich weder im Ansatz noch in der Rechnung entdecke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:41 Di 06.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich versuche ein Beispiel zur Impulserhaltung
> relativistisch zu berechnen und es gelingt nicht. Wo steckt
> der Fehler?
> Es soll folgendes passieren: Zwei gleich große Massen [mm]m_0[/mm]
> werden durch einen Effekt (Feder) auseinandergetrieben.
> Im Schwerpunktsystem:
> vorher: [mm]p_v = 0[/mm], da [mm]v = 0[/mm].
> nachher: [mm]p_n = \bruch{m_0 v}{\wurzel{1-\bruch{v^2}{c^2}}} - \bruch{m_0 v}{\wurzel{1-\bruch{v^2}{c^2}}}[/mm]
>
> wegen der Impulserhaltung.
> Im System, das sich mit v, der Geschwindigkeit der einen
> Masse nach dem auseinanderfliegen bewegt:
> vorher: [mm]p_v = -\bruch{2 m_0 v}{\wurzel{1-\bruch{v^2}{c^2}}}[/mm]
>
> nachher: [mm]p_n = -\bruch{m_0 w}{\wurzel{1-\bruch{w^2}{c^2}}} + 0[/mm],
>
> dabei ist w durch [mm]w = \bruch{v + v}{1+\bruch{v^2}{c^2}}[/mm]
> gegeben. Dies ist die Geschwindigkeit der anderen Masse.
> Nun möchte ich gerne [mm]p_v = p_n[/mm] erhalten, da die
> Impulserhaltung in jedem Inertialsystem gelten muss. Ich
> kürze [mm]-2m_0v[/mm] und bilde die Kehrwerte:
> [mm]\wurzel{1-\bruch{v^2}{c^2}} = \left(1+\bruch{v^2}{c^2}\right) \wurzel{1-\bruch{\bruch{4v^2}{\left(1+\bruch{v^2}{c^2}\right)^2}}{c^2}}[/mm]
>
> Die rechte Wurzel vereinfacht sich in
> [mm]\left(\bruch{c^2-v^2}{c^2+v^2}\right)[/mm]:
> [mm]\wurzel{1-\bruch{v^2}{c^2}} = \bruch{c^2+v^2}{c^2}\bruch{c^2-v^2}{c^2+v^2}=1-\bruch{v^2}{c^2}[/mm].
>
> Es fehlt mir also ein Faktor [mm]\wurzel{1-\bruch{v^2}{c^2}}[/mm],
> den ich weder im Ansatz noch in der Rechnung entdecke.
Es fehlt die Energie der Feder. So, wie du das System aufgeschrieben hast, wird zwischen Anfangs- und Endzustand die potentielle Energie der Feder zusätzlich als Bewegungsenergie hineingesteckt. Das sieht man direkt, wenn man den 4-Impuls aufschreibt:
Vorher: [mm] \vektor{ m_0 c \\ \vec{0} } + \vektor{ m_0 c \\ \vec{0} } [/mm]
Nachher: [mm] \vektor{ m_0 \gamma c \\ m_0 \gamma \vec{v} } + \vektor{ m_0 \gamma c \\ -m_0 \gamma \vec{v} } [/mm]
Offsichtlich ist die Energie nachher um den Faktor [mm] $\gamma=\bruch{1}{\wurzel{1-\bruch{v^2}{c^2}}}$ [/mm] größer als die Energie vorher, und damit auch der Betrag des 4-Impulses.
Im anderen Inertialsystem siehst du das als Zunahme des 3-Impulses. Mit einer Lorentztransformation:
Vorher: [mm] \begin{pmatrix} \gamma & -\vec\beta\gamma \\ -\vec\beta\gamma & \gamma \end{pmatrix} \left (\vektor{ m_0 c \\ \vec{0} } + \vektor{ m_0 c \\ \vec{0} }\right)= \vektor{ 2m_0\gamma c \\ -2\gamma m_0\vec{v}} [/mm]
Nachher: [mm] \begin{pmatrix} \gamma & -\vec\beta\gamma \\ -\vec\beta\gamma & \gamma \end{pmatrix} \left(\vektor{ m_0 \gamma c \\ m_0 \gamma \vec{v} } + \vektor{ m_0 \gamma c \\ -m_0 \gamma \vec{v} } \right)
= \vektor{m_0 c \\ \vec{0} } + \vektor {(1+\beta^2)\gamma^2 m_0 c \\ -2 \gamma^2 m_0 \vec{v}} = \gamma\vektor{2m_0\gamma c \\ -2\gamma m_0\vec{v}} [/mm]
Auch hier ist der Betrag des 4-Impulses um den Faktor [mm] $\gamma$ [/mm] größer als vorher. Stimmt.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:59 Do 08.05.2008 | | Autor: | chrisno |
Danke, das muss ich erst einmal in Ruhe verdauen. Nun rächt es sich, dass ich damals die Relativitätstheorie ziemlich ignoriert habe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:48 Do 08.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Vielleicht hilft diese Analogie: Nimm ein klassisches System mit zwei Massenpunkten und betrachte nur den Impuls in der xy-Ebene. Jetzt schiebst du zusätzlich in z-Richtung. Am Gesamtimpuls in der xy-Ebene ändert sich dadurch gar nichts.
Wenn du aber dein Koordinatensystem drehst, zum Beispiel um die y-Achse, so stimmt der Gesamtimpuls in der neuen, gedrehten xy-Ebene nicht mit dem Gesamtimpuls von vorher überein: je nach Drehwinkel kommen noch Anteile des Impulses in der alten z-Richtung hinzu.
Im klassischen System sind Energie und dreidimensionaler Impulsvektor getrennt erhalten. In einem relativistischen System ist der Impuls-Vierervektor erhalten, der sich aus Energie und 3-Impulsvektor zusammensetzt.
Viele Grüße
Rainer
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