ε − δ-Kriterium der Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 Mo 14.12.2015 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Zeigen Sie mit dem ε − δ-Kriterium der Stetigkeit, dass die Funktion f : [mm] \IR [/mm] → [mm] \IR [/mm] mit
f(x) = [mm] \wurzel{x^2+1}
[/mm]
in [mm] x_0 [/mm] = 0 stetig ist. Weisen Sie dazu zuerst nach, dass die Ungleichung √
[mm] \wurzel{x^2+1}− [/mm] 1 ≤ [mm] \wurzel{x^2} [/mm] für alle x ∈ [mm] \IR [/mm] gilt. |
Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen?
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Hiho,
was ist denn das Kriterium? Was ist zu zeigen?
Wenn du das hingeschrieben hast, erweitere geeignet um die dritte binomische Formel anwenden zu können.
Gruß,
Gono
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:30 Di 15.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie mit dem ε − δ-Kriterium der Stetigkeit, dass
> die Funktion f : [mm]\IR[/mm] → [mm]\IR[/mm] mit
>
> f(x) = [mm]\wurzel{x^2+1}[/mm]
>
> in [mm]x_0[/mm] = 0 stetig ist. Weisen Sie dazu zuerst nach, dass
> die Ungleichung √
> [mm]\wurzel{x^2+1}−[/mm] 1 ≤ [mm]\wurzel{x^2}[/mm] für alle x ∈ [mm]\IR[/mm]
Da ist ein "-" verloren gegangen:
[mm] $\wurzel{x^2+1}-1 \le \wurzel{x^2}$
[/mm]
> gilt.
> Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen?
Es geht auch ohne die 3. bin. Formel:
1. Wegen f(x) [mm] \ge [/mm] 1 für alle x ist
[mm] $|f(x)-f(0)|=\wurzel{x^2+1}-1$
[/mm]
2. Ist [mm] $\wurzel{x^2+1}-1 \le \wurzel{x^2}$ [/mm] gezeigt, so hat man, wegen [mm] $\wurzel{x^2}=|x|$ [/mm] ,
[mm] $|f(x)-f(0)|\le [/mm] |x|=|x-0|$.
3. Die Ungl. [mm] $\wurzel{x^2+1}-1 \le [/mm] |x|$ ist gleichbedeutend mit
[mm] $\wurzel{x^2+1} \le [/mm] |x|+1$.
FRED
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