(In)homogene Gleichungssysteme < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Sa 12.04.2008 | | Autor: | DaMazen |
| Aufgabe | | Kann eine inhomogenes Gleichungssystem 2 Lösungen (bzw. genau 2 Lösungen) haben? |
Moin, irgendwie komm ich mit homogenen und inhomogenen Gleichungssystemen noch nicht zu klar.
Kann mir das einer erklären?
Ich vermute, es ist wie beim linearen Gleichungssystem, das es keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen gibt. Nur muss ich in diesem Fall ja eine andere Begründung finden.
Danke
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> Kann eine inhomogenes Gleichungssystem 2 Lösungen (bzw.
> genau 2 Lösungen) haben?
> Moin, irgendwie komm ich mit homogenen und inhomogenen
> Gleichungssystemen noch nicht zu klar.
>
> Kann mir das einer erklären?
> Ich vermute, es ist wie beim linearen Gleichungssystem,
> das es keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen
> gibt. Nur muss ich in diesem Fall ja eine andere Begründung
> finden.
Hallo,
ich nehme an, daß dran war, daß man, sofern man eine Lösung des inhomogenen Systems hat, die Gesamtheit der Lösungen findet durch spezielle Lösung + Lösung(en) des homogenen Systems.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Sa 12.04.2008 | | Autor: | DaMazen |
Würde das heißen, dass wenn ich eine Lsg des inhomogenen Gleichungssystems habe, dass es dann für das dazugehörige homogene gleichungssystem unendlich viele Lösungen gibt?
und dadurch auch unendlich viele für das inhomogene?
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> Würde das heißen, dass wenn ich eine Lsg des inhomogenen
> Gleichungssystems habe, dass es dann für das dazugehörige
> homogene gleichungssystem unendlich viele Lösungen gibt?
Hallo,
nein, wie das mit dem homogenen System bestellt ist, muß man erst ausrechen.
Wenn aber das homogene System unendlich viele Lösungen hat, so muß das inhomogene (sofern es eine Lösung hat) auch unendlich viele Lösungen haben.
>
> und dadurch auch unendlich viele für das inhomogene?
Nehmen wir das GS
x+y+z=1
y+z=2
Ein spezielle Lösung ist [mm] \vektor{-1 \\ 1\\1}.
[/mm]
Die Lösung des zugehörigen homogenen Systems
x+y+z=0
y+z=0
ist der von [mm] \vektor{0 \\ 1\\-1} [/mm] aufgespannte Raum.
Die Lösungsmenge ist des inhomogenen Systems ist dann [mm] \vektor{-1 \\ 1\\1} [/mm] + [mm] <\vektor{0 \\ 1\\-1}>, [/mm] also unendlich viele Elemente. (affine Gerade)
Nächstes:
x+y+z=1
y+z=2
y+2z=4
Eine spezielle Lsg ist [mm] \vektor{-1 \\ 0\\2},
[/mm]
das zugehörige homogene System hat nur die Lsg. [mm] \vektor{0 \\ 0\\0}.
[/mm]
Also ist [mm] \vektor{-1 \\ 0\\2} [/mm] die einzige Lösung des Systems.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 So 13.04.2008 | | Autor: | DaMazen |
Vielen Dank das war super erklärt!
Jetztz noch eine kleine Frage.
Der Prüfer fragt, ob ein inhomogenes Gleichungssystem genau 2 Lösungen haben kann.
Meine Überlegung dazu:
Nein, es kann nur keine, genau eine oder unendlichviele Lösungen haben. Betrachte dazu das dazugehörige homogene Gleichungssystem.
Ein homogene Gleichungssystem hat immer die triviale Lösung (0,0,....,0). => Das das inhomogene (eine oder keine Lösung hat???)?
Sollte das homogene Gleichungssystem mehrere Lösungen haben (=> unendlich viele) so hat auch das Inhomogene Gleichungssystem unendlich viele Lösungen?
Irgendwie komme ich mit der Argumentation nicht so klar.
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen!
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> Vielen Dank das war super erklärt!
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> Jetztz noch eine kleine Frage.
> Der Prüfer fragt, ob ein inhomogenes Gleichungssystem
> genau 2 Lösungen haben kann.
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> Meine Überlegung dazu:
> Nein, es kann nur keine, genau eine oder unendlichviele
> Lösungen haben. Betrachte dazu das dazugehörige homogene
> Gleichungssystem.
> Ein homogene Gleichungssystem hat immer die triviale
> Lösung (0,0,....,0). => Das das inhomogene (eine oder keine
> Lösung hat???)?
> Sollte das homogene Gleichungssystem mehrere Lösungen
> haben (=> unendlich viele) so hat auch das Inhomogene
> Gleichungssystem unendlich viele Lösungen?
>
> Irgendwie komme ich mit der Argumentation nicht so klar.
> Über Hilfe würde ich mich sehr freuen!
Hallo,
die Tendenz stimmt schon.
Wir gehen davon aus, daß Du ein inhomogenes LGS vorliegen hast, Ax=b.
1.Fall: das System hat keine Lösung.
2. Fall: das System hat eine Lösung [mm] x_s.
[/mm]
Die Gesamtheit der Lösungen von Ax=b ist [mm] L(Ax=b)=x_s [/mm] + L(Ax=0).
(L(Ax=0) soll die Lösungsmenge des homogenen Systems sein, die andere Menge entsprechend)
2a. Es ist [mm] L(Ax=0)=\{0\}
[/mm]
Dann ist [mm] L(Ax=b)=x_s [/mm] + [mm] L(Ax=0)=\{x_s+0\}=\{x_s\}, [/mm] es gibt also nur eine Lösung.
2b) L(Ax=0) enthält unendlich viele Elemente, dann trifft dies für [mm] L(Ax=b)=x_s [/mm] + L(Ax=0) ebenfalls zu.
Noch eins: es ist in dem Zusammenhang auch wichtig, daß Du zeigen kannst, daß wenn [mm] x_h \in [/mm] L(Ax=0),
[mm] x_s+x_h [/mm] das System Ax=b löst. (Ist kurz und einfach.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:26 So 13.04.2008 | | Autor: | DaMazen |
Danke nochmals für die Mühe, jetzt ist es angekommen.... endlich :D
Den letzten angesprochenen beweis kriege ich hin.
Stimmt also das Ergebnis: Genau 2 Lösungen sind für ein inhomogenes Gleichungssystem NICHT möglich!?
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> Stimmt also das Ergebnis: Genau 2 Lösungen sind für ein
> inhomogenes Gleichungssystem NICHT möglich!?
Ja.
(Vorausgesetzt, daß wir uns im [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IC [/mm] bewegen und nicht in einem "komischen" Körper.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:58 So 13.04.2008 | | Autor: | DaMazen |
Das Machen wir. Außerhalb von R kommt bei uns nichts vor. Ist ja "nur" Lehramt :D
Vielen Dank für die ganze Mühe, dass hat mir sehr weitergeholfen!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:22 Do 17.04.2008 | | Autor: | DaMazen |
Ich muss leider nocheinmal was nachfragen.
Warum löst man das Inhomogene Gleichungssystem nicht direkt? Ist das nur geistige Spielerei, oder steckt da was dahinter?
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> Ich muss leider nocheinmal was nachfragen.
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> Warum löst man das Inhomogene Gleichungssystem nicht
> direkt? Ist das nur geistige Spielerei, oder steckt da was
> dahinter?
Hallo,
es wird in diesem Satz nichts darüber gesagt, wie ich rechentechnisch mein GS lösen soll oder gar muß,
sondern er spricht darüber, wie die Lösungsmenge aussieht.
Das ist insofern sehr nett, weil ich Aussagen über Lösungen von GS treffen kann, die ich gar nicht zu Ende ausgerechnet habe.
Und bei Deiner ursprünglichen Fragestellung war das Wissen um "spezielle +homogene Lösung" ja äußerst praktisch.
In manchen Fällen kann man hiermit auch die Berechnung abkürzen. Wenn ich irgendwoher schon die Lösung von
[mm] \pmat{ 1 & 2&3 \\ 0 & 0&0\\ 0 & 0&0 }x=0 [/mm] habe, ist dann der Weg zur Lösung von [mm] \pmat{ 1 & 2&3 \\ 0 & 0&0\\ 0 & 0&0 }x=\pmat{ 17 \\ 0\\ 0 } [/mm] ein Klacks.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:45 Do 17.04.2008 | | Autor: | DaMazen |
Klar das klingt sinnvoll, hatte ich mir ja schon fast gedacht, dass da was dahinter steckt :D
Danke
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