In linear Faktoren zerlegen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 Do 23.06.2005 | | Autor: | Hellrise |
Unlängst tauchte ein Beispiel im Mathematikunterricht auf in dem man 5x²+x-6 in ien Produkt von Linearfaktoren zerlegen musste. Hab das wohl leider ein wenig verschlafen und stehe jetzt völlig neben der Spur...
wäre sehr nett wenn mir jemand erklären könnte wie das funktioniert...
ich vermute dass es mit dem satz von vieta zu tun hat. aber die aufspaltung in [mm] p=-x_{1}-x_{2} [/mm] und [mm] x_{1}.x_{2}=q [/mm] scheint mir nicht zu helfen.
Achja sry wenn ich da jetzt zu viel frage aber könnte mir jemand erklären wie man [mm] p²-2q=x_{1}²+x_{2}² [/mm] beweisen kann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Hellrise,
für die Zerlegung in Linearfaktoren, mußt du zuerst die "5" ausklammern:
$5 * [mm] (x^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{5}x [/mm] - [mm] \bruch{6}{5}) [/mm] $
Anschließend werden mit der p/q-Formel die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung [mm] $x^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{5}x [/mm] - [mm] \bruch{6}{5} [/mm] = 0$ ermittelt.
Die Linearfaktoren ergeben sich dann zu
$5 * (x - [mm] x_1) [/mm] * (x - [mm] x_2) [/mm] = 5 * (x - 1) * (x + [mm] \bruch{6}{5})$
[/mm]
Der Beweis für [mm] $p^2 [/mm] - 2q = [mm] {x_1}^2 [/mm] + [mm] {x_2}^2$ [/mm] erfordert nur etwas Schreibarbeit:
[mm] $x_1 [/mm] = [mm] -\bruch{p}{2} [/mm] + [mm] \wurzel{\left(\bruch{p}{2}\right)^2 - q}$
[/mm]
[mm] $x_2 [/mm] = [mm] -\bruch{p}{2} [/mm] - [mm] \wurzel{\left(\bruch{p}{2}\right)^2 - q}$
[/mm]
Wenn du diese Ausdrücke bei [mm] ${x_1}^2 [/mm] + [mm] {x_2}^2$ [/mm] einsetzt und ausrechnest (binomische Formeln!), erhälst du als Ergebnis [mm] $p^2 [/mm] - 2q$.
Versuch's einfach mal. Wenn Du nicht weiter kommst melde Dich noch einmal.
Gruß Jürgen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Do 23.06.2005 | | Autor: | Hellrise |
also erstmal danke für die antwort. leider kommt beim Beweiswenn ich die werte für [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] leider nicht das von dir genannte ergebniss heraus. evt. habe ich mich aber auch verrechnet... weiß ja nicht in wie fern ich meine falsche lösung schreiben soll...
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Hallo,
Also ![[]](/images/popup.gif) hier findest Du eine schöne Erklärung zum Satz von Vieta. Versuchen wir es mal: [m]5x^2 + x - 6 = 0 \Leftrightarrow x^2 + \frac{1}{5}x - \frac{6}{5} = 0[/m]. Und jetzt gemäß dem Satz zerlegen: [m]\begin{gathered}
\frac{1}
{5} = - \left( {x_1 + x_2 } \right) \Leftrightarrow x_1 + x_2 = - \frac{1}
{5} \hfill \\
x_1 x_2 = - \frac{6}
{5} \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Und jetzt formen wir eine Gleichung nach einer Variable um und setzen ein:
[m]x_1 x_2 = - \frac{6}
{5} \Leftrightarrow x_1 = - \frac{6}
{{5x_2 }} \Rightarrow - \frac{6}
{{5x_2 }} + x_2 = - \frac{1}
{5}\mathop \Leftrightarrow \limits^{*x_2 } - \frac{6}
{5} + x_2^2 = - \frac{1}
{5} \Leftrightarrow x_2^2 = 1 \Rightarrow x_2 = \pm 1[/m]
Jetzt setzt Du zuerst 1 und dann -1 in die ursprüngliche Gleichung ein, um zu schauen, welches nun die "wahre" Nullstelle ist. In diesem Falle ist es 1. Dadurch kriegst Du durchs Einsetzen jetzt auch sofort die andere Nullstelle raus.
Grüße
Karl
![[user]](/images/smileys/user.gif "[user]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Do 23.06.2005 | | Autor: | Hellrise |
nochmal danke für eine weitere antwort. jedoch war meibne erste frage, das zerlegen in linearfaktoren, für mich soweit bereits geklärt. jediglich das zweite beispiel, beweisen dass [mm] p²-2q=x_{1}²+x_{2}² [/mm] ist... wäre nett wenn mir das beispiel trotz später stunde jemand erklären könnte...
MfG Hellrise (valo)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:51 Fr 24.06.2005 | | Autor: | Einstein |
Hallo zusammen,
die Beweisführung von Bastiane war natürlich (wie immer) korrekt. Mein Beweis (ohne Vieta) wäre viel komplizierter gewesen:
[mm] $x_1 [/mm] = [mm] -\bruch{p}{2} [/mm] + [mm] \wurzel{\left(\bruch{p}{2}\right)^2 - q}$
[/mm]
[mm] $x_2 [/mm] = [mm] -\bruch{p}{2} [/mm] - [mm] \wurzel{\left(\bruch{p}{2}\right)^2 - q} [/mm] $
[mm] ${x_1}^2 [/mm] + [mm] {x_2}^2 [/mm] = [mm] \left(-\bruch{p}{2} + \wurzel{\left(\bruch{p}{2}\right)^2 - q}\right)^2 [/mm] + [mm] \left(-\bruch{p}{2} - \wurzel{\left(\bruch{p}{2}\right)^2 - q}\right)^2$
[/mm]
[mm] ${x_1}^2 [/mm] + [mm] {x_2}^2 [/mm] = [mm] \left(\left(\bruch{p}{2}\right)^2 - 2*\bruch{p}{2}*\wurzel{\left(\bruch{p}{2}\right)^2 - q} + \left(\bruch{p}{2}\right)^2 - q\right) [/mm] + [mm] \left(\left(\bruch{p}{2}\right)^2 + 2*\bruch{p}{2}*\wurzel{\left(\bruch{p}{2}\right)^2 - q} + \left(\bruch{p}{2}\right)^2 - q\right)$
[/mm]
[mm] ${x_1}^2 [/mm] + [mm] {x_2}^2 [/mm] = [mm] 2*\left(\bruch{p}{2}\right)^2 [/mm] - q + [mm] 2*\left(\bruch{p}{2}\right)^2 [/mm] - q$
[mm] ${x_1}^2 [/mm] + [mm] {x_2}^2 [/mm] = [mm] p^2 [/mm] - 2q$
Gruß Jürgen
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![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]"){kind=small}
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]"){kind=small}
