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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Di 25.10.2011 | | Autor: | pyw |
| Aufgabe | | Gesucht ist der Index von [mm] SL(n,\IZ) [/mm] in [mm] GL(n,\IZ). [/mm] |
Hallo,
wir haben den Index I(G,H) einer Untergruppe [mm] H\subset [/mm] G definiert als die Anzahl der linken Nebenklassen von H in G. Dazu kenne ich den Satz von Lagrange:
Ist G endliche Gruppe mit Untergruppe H, so gilt |G|=I(G,H)*|H|. Also will ich die Kardinalitäten von [mm] SL(n,\IZ) [/mm] und [mm] GL(n,\IZ) [/mm] herausfinden.
Weiß jemand, wie ich das am besten anstellen kann?
Danke und Gruß,
pyw
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Moin,
> Gesucht ist der Index von [mm]SL(n,\IZ)[/mm] in [mm]GL(n,\IZ).[/mm]
> Hallo,
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> wir haben den Index I(G,H) einer Untergruppe [mm]H\subset[/mm] G
> definiert als die Anzahl der linken Nebenklassen von H in
> G. Dazu kenne ich den Satz von Lagrange:
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> Ist G endliche Gruppe mit Untergruppe H, so gilt
> |G|=I(G,H)*|H|. Also will ich die Kardinalitäten von
> [mm]SL(n,\IZ)[/mm] und [mm]GL(n,\IZ)[/mm] herausfinden.
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> Weiß jemand, wie ich das am besten anstellen kann?
Nein. Du hast doch keine endlichen Gruppen: [mm] G=GL(n,\IZ), H=SL(n,\IZ).
[/mm]
Schau dir einfach mal Nebenklassen an. Es ist [mm] xH=\{xh, h\in H\} [/mm] eine linke Nebenklasse für jedes [mm] x\in [/mm] G. Alle Elemente einer Nebenklasse haben die gleiche Determinante (Determinantenproduktregel). Fällt dir was auf?
>
> Danke und Gruß,
> pyw
LG
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