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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:01 Sa 04.06.2011 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | Hallo zusammen,
ich habe mittlerweile mein Grundstudium hintermir und bin nun mitten in der allzu geliebten^^ Algebra-Vorlesung :)
Es kam in der letzten Stunde die Definition des Index. Dazu hätte ich im folgenden eine kleine Frage: |
Nehmen wir als Beispiel G = [mm] \IZ/6\IZ [/mm] = {0,1,2,3,4,5}
Da die Mächtigekeit dieser Gruppe 6 ist, haben die Untergruppen nach dem Satz von Lagrange die Ordnungen 1, 2,3 oder 6.
Die Untergruppen sind:
[mm] U_{1} [/mm] = {0}
[mm] U_{2} [/mm] = {0,1,2,3,4,5}
[mm] U_{3} [/mm] = {0,3}
[mm] U_{4} [/mm] = {0,2,4}
Betrachten wir als erstes die Untergruppe [mm] U_{3}.
[/mm]
Die Menge der Linksnebenklassen ist ja definiert als: [mm] G/U_{3} [/mm] = a [mm] \cdot U_{3} [/mm] = {a [mm] \cdot [/mm] u / u [mm] \in U_{3}} [/mm] mit a [mm] \in [/mm] G
Die Anzahl der Elemente von [mm] G/U_{3} [/mm] ist laut Definition der Index.
Soweit hab ich das alles verstanden glaube ich.
Nun zum Konkreten, zum ausrechnen:
Wie rechne ich [mm] G/U_{3} [/mm] konkret aus? Muss ich das a auch variieren?
Wenn ich das a von 0 bis 5 durchvariiere komme ich auf folgendes:
[mm] G/U_{3} [/mm] = {0,3}
Demzufolge wäre der Index = 2
Mein Professor hat aber gesagt, dass man den Index ausrechnen kann durch: Mächtigkeit von G / Mächtigkeit von [mm] U_{3}
[/mm]
Dies wäre: 6 / 2 = 3.
Also müsste der Index 3 sein???!?!?!
Wo liegt da mein Fehler?
Was ist der Index von [mm] G/U_{4} [/mm] ?? Da würde ich für den Index 3 rausbekommen.
LG
Tina
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> Demzufolge wäre der Index = 2
> Mein Professor hat aber gesagt, dass man den Index
> ausrechnen kann durch: Mächtigkeit von G / Mächtigkeit
> von [mm]U_{3}[/mm]
Da hat dein Prof recht, da nach dem Satz von Lagrange gilt für eine endliche Gruppe G und eine ihrer Untergruppen H
|G| = |G/H|*|H|
entsprechend umstellen.
Nocheinmal [mm]G:=\IZ /6\IZ=\{0,1,2,3,4,5\}[/mm] und [mm]U=\{0,3\}[/mm].
Der Index |G:U| ist die Anzahl der Linksnebenklassen. Du kannst für jedes [mm]g\in G[/mm] eine Nebenklasse [mm]g+U=\{g+u|u\in U\}[/mm] berechnen .
Tabelle
[mm]\begin{tabular}[ht]{ccc|cc}\hline g &u_1&u_2&g+u_1&g+u_2\\
\hline \hline0 & 0 & 3 & 0 & 3\\
1& 0& 3& 1 & 4\\
2 & 0 & 3 & 2 & 5\\
3& 0 & 3 & 3 &0\\
4 & 0 &3 &4 & 1\\
5 &0 &3 &5 & 2 \\
\hline \end{tabular}[/mm]
Wie du siehst sind die Nebenklassen {0,3},{1,4},{2,5}. Das sind genau 3 Stück und die Welt passt doch.
0+U = 3+U, 1+U=4+U,2+U=5+U
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Sa 04.06.2011 | | Autor: | tinakru |
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Ich habe jetzt auch mein Problem erkannt! Ich habe die Linksnebenklassen falsch berechnet! Ich dachte man berechnet die multiplikativ!
Hab ich falsch aus der Definition interpretiert!
G/U = {a [mm] \cdot [/mm] u / u [mm] \in [/mm] U}
Aber anscheinend doch additiv.
G/U = {a + u / u [mm] \in [/mm] U}
Eine kleine Frage hätte ich noch: Kann man dann eigentlich den Satz von Lagrange benutzen um den Index auszurechnen?
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> Vielen Dank für die schnelle Antwort.
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> Ich habe jetzt auch mein Problem erkannt! Ich habe die
> Linksnebenklassen falsch berechnet! Ich dachte man
> berechnet die multiplikativ!
> Hab ich falsch aus der Definition interpretiert!
> $G/U = [mm] \{a \cdotu / u \in U\}$
[/mm]
> Aber anscheinend doch additiv.
> $G/U = [mm] \{a + u / u \in U\}$
[/mm]
>
>
> Eine kleine Frage hätte ich noch: Kann man dann eigentlich
> den Satz von Lagrange benutzen um den Index auszurechnen?
Das ist doch gerade das Argument von deinem Chef:
[mm] $|G|=|G:H|*|H|\gdw \frac{|G|}{|H|}=|G:H|$
[/mm]
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