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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:07 Do 04.11.2004 | | Autor: | MaggotManson |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/8300,0.html
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=8223
Moin
Ich hab eine Frage zu folgender Aufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Lösungsversuch für die erste Aufgabe:
Ich weiß nicht wirklich, wie ich damit umgehen soll, meine Idee war es, von allen a [mm] \in \IN, [/mm] also 1, 2, 3, 4, ..., sämtliche b [mm] \in \IN [/mm] abzuziehen, für die gilt b<=k.
M1 = {1-1, 2-1, 3-1, 4-1, ...}
[Alle a -1]
M1 = [mm] \{x \in \IZ | x \ge 0}
[/mm]
M2 = {1-1, 1-2, 2-1, 2-2, 3-1, 3-2, ...}
[Alle a -1 und -2]
M2 = [mm] \{x \in \IZ | x \ge -1}
[/mm]
M3 = {1-1, 1-2, 1-3, 2-1, 2-2, 2-3, 3-1, 3-2, 3-3, ...}
[Alle a -1 und -2 und -3]
M3 = [mm] \{x \in \IZ | x \ge -2}
[/mm]
[mm] \cup [/mm] = [mm] \{x \in \IZ | x \ge 1-k}
[/mm]
bei k [mm] \to \infty [/mm] -> [mm] \cup [/mm] = [mm] \IZ
[/mm]
Kann mir jemand sagen, ob das in die richtige Richtung geht oder ob ich völlig falsch ansetze?
Danke
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Do 04.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo MaggotManson!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Es gilt:
[mm] $\bigcup_{k \in \IN} M_k [/mm] = [mm] \IZ$,
[/mm]
denn ist [mm] $z\ge [/mm] 0$, so ist:
$z=(z+1)-1 [mm] \in M_1$,
[/mm]
und im Falle $z<0$ ist:
$z = [mm] \underbrace{|z|}_{\in \, \IN} [/mm] - [mm] \underbrace{(|z|-z)}_{\in \, \IN} \in M_{|z|-z}$.
[/mm]
Weiterhin gilt:
[mm] $\bigcap_{k \in \IN} M_k [/mm] = [mm] \IZ_+$,
[/mm]
denn wegen
$a-1 [mm] \ge [/mm] 0$ für alle $a [mm] \ge [/mm] 1$
gilt:
[mm] $M_1 \subset \IZ_+$
[/mm]
und damit auch
[mm] $\bigcap_{k \in \IN} M_k \subset \IZ_+$.
[/mm]
Ist umgekehrt $z [mm] \in \IZ_+$ [/mm] beliebig gewählt, dann ist:
$z = (z+1)-1 [mm] \in M_k$ [/mm] für alle $k [mm] \in \IN$,
[/mm]
also:
$z [mm] \in \bigcap_{k \in \IN} M_k$.
[/mm]
Hast du dir auch schon Gedanken für die [mm] $N_k$ [/mm] gemacht?
Liebe Grüße
Julius
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Danke für die Antwort.
Ja, ich hatte auch schon die anderen Aufgaben versucht, allerdings auch nur so durch "denken" gelöst und nicht so rechnerisch/mit Beweis, wie du das gemacht hast, da ich nicht wusste, wie man das richtig macht.
(Jetzt bin ich mir auch nicht hundertprozentig sicher.)
Also, ich fang erstmal mit der letzten Aufgabe an, da mir der Durchschnitt leichter zu berechnen scheint als die Vereinigungsmenge.
Es gilt:
$ [mm] \bigcap_{k \in \IN} N_k [/mm] = [mm] \IZ \backslash \{ 0 \} [/mm] $,
denn für alle $ [mm] q\not= [/mm] 0 $ ist:
$ q = [mm] \underbrace{q*k/k}_{\in \, \IZ \backslash \{ 0 \}} \in N_k [/mm] $
(Nur ein Versuch, es auch mit diesem ... Element N darzustellen, der Server ist aber anscheinend überlastet, zumindest erhalte ich in der Vorschau ein Fehlermeldung und weiß daher nicht, ob es richtig dargestellt wird.)
Und nun ein Versuch zur Vereinigungsmenge.
Es gilt
$ [mm] \bigcup_{k \in \IN} N_k [/mm] = [mm] \IZ [/mm] = [mm] \IQ \backslash \{ 0 \} [/mm] $, denn
$ q = [mm] \underbrace{r/s}_{\in \, \IQ \backslash \{ 0 \}} \in N_s [/mm] $
Zur Sicherheit noch einmal in Textform, ohne richtigen Beweis.
Die Vereinigungsmenge von [mm] N_k [/mm] sind die rationalen Zahlen Q ohne die Null, da alle Brüche entstehen, da man durch k=1,2,3,4,5,6... sowohl positive als auch negative Zahlen teilt (r aus Z, r ungleich 0)
Die Schnittmenge ist daher Z ohne Null, da ja zum Beispiel 0,5 nicht in [mm] N_1 [/mm] liegt.
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Hallo!
Also, die Mengen sind korrekt berechnet, aber die Begründungen gefallen mir noch nicht...
Versuch doch mal, den Beweis von Julius als "Muster" zu verwenden. Du möchtest die Gleichheit von zwei Mengen zeigen, also sind zwei Inklusionen zu zeigen!
Zum Beispiel bei diesem hier:
Behauptung: [mm] $\bigcap_{k \in \IN} N_k [/mm] = [mm] \IZ \backslash \{ 0 \}$
[/mm]
Dann mußt Du einmal zeigen, dass jede von 0 verschiedene GANZE Zahl (Du hast bei Deinem $q$ nicht angegeben, wo es herkommt!!) in JEDEM der [mm] $N_k$ [/mm] liegt und andersrum, dass eine Zahl, die in jedem der [mm] $N_k$ [/mm] liegt ganzzahlig und von 0 verschieden ist.
Ebenso bei der Vereinigung: auch hier sind 2 Inklusionen zu zeigen.
Viel Glück!
Lars
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Ich versuch mich zunächst wieder an der Schnittmenge.
Behauptung: $ [mm] \bigcap_{k \in \IN} N_k [/mm] = [mm] \IZ \backslash \{ 0 \} [/mm] $
Zu zeigen: $ [mm] \bigcap_{k \in \IN} N_k \subseteq \IZ \backslash \{ 0 \} \wedge \IZ \backslash \{ 0 \} \subseteq \bigcap_{k \in \IN} N_k [/mm] $
Rechte Seite:
$ z [mm] \in \IZ \backslash \{ 0 \} \Rightarrow [/mm] z=z*k/k [mm] \in N_k \Rightarrow \IZ \backslash \{ 0 \} \subseteq \bigcap_{k \in \IN} N_k [/mm] $
Linke Seite:
$ z [mm] \in \bigcap_{k \in \IN} N_k \Rightarrow [/mm] z [mm] \in N_1 \Rightarrow [/mm] z=r/1=r [mm] \Rightarrow [/mm] z [mm] \in \IZ \backslash \{ 0 \} \Rightarrow \bigcap_{k \in \IN} N_k \subseteq \IZ \backslash \{ 0 \} [/mm] $
$ [mm] \IZ \backslash \{ 0 \} \subseteq \bigcap_{k \in \IN} N_k \wedge \bigcap_{k \in \IN} N_k \subseteq \IZ \backslash \{ 0 \} \Rightarrow \bigcap_{k \in \IN} N_k [/mm] = [mm] \IZ \backslash \{ 0 \} [/mm] $
Vereinigungsmenge
Behauptung: $ [mm] \bigcup_{k \in \IN} N_k [/mm] = [mm] \IQ \backslash \{ 0 \} [/mm] $
Zu zeigen: $ [mm] \bigcup_{k \in \IN} N_k \subseteq \IQ \backslash \{ 0 \} \wedge \IQ \backslash \{ 0 \} \subseteq \bigcup_{k \in \IN} N_k [/mm] $
Rechte Seite:
$ q [mm] \in \IQ \backslash \{ 0 \} \Rightarrow [/mm] q=r/k [mm] \in N_k \Rightarrow \IQ \backslash \{ 0 \} \subseteq \bigcup_{k \in \IN} N_k [/mm] $
Linke Seite:
Falls das oben richtig sein sollte, habe ich spätestens hier ein Problem.
$ q [mm] \in \bigcup_{k \in \IN} N_k \Rightarrow \exists [/mm] k [mm] \in \IN [/mm] | q [mm] \in N_k [/mm] $
Nur hier weiß ich nicht, wie ich zeigen soll, dass die Menge [mm] N_k [/mm] eine Teilmenge von $ [mm] \IQ [/mm] $ ist, auch wenn es wahrscheinlich ganz einfach ist.
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Gruß!
Das sieht sehr gut aus. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Für den letzten Teil: wenn ich Dein Tutor wäre, müßtest Du mir nicht formal beweisen, dass ein Objekt der Form [mm] $\frac{r}{k}$ [/mm] mit $r [mm] \in \IZ \backslash \{ 0 \}$ [/mm] und $k [mm] \in \IN$ [/mm] eine rationale Zahl ist... also [mm] $N_k \subseteq \IQ \backslash \{ 0 \}$ [/mm] ist klar, denke ich... und damit wäre alles gezeigt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Lars
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Ok, danke sehr euch beiden, julius und Gnometech!
Gute Nacht
MaggotManson
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