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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Mi 10.05.2006 | | Autor: | anton221 |
| Aufgabe | [mm] \summe_{i=1}^{n}a_i*(x-z) *\summe_{j=0}^{i-1}x^j*z^{i-1-j}=\summe_{j=0}^{n-1} *\summe_{i=j+1}^{n}a_i*(x-z)*x^j*z^{i-1-j}
[/mm]
Wie kommt man auf die Umformung (Zwischenschritte)?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Mi 10.05.2006 | | Autor: | felixf |
> [mm]\summe_{i=1}^{n}a_i*(x-z) *\summe_{j=0}^{i-1}x^j*z^{i-1-j}=\summe_{j=0}^{n-1} *\summe_{i=j+1}^{n}a_i*(x-z)*x^j*z^{i-1-j}[/mm]
Also erstmal hast du ja [mm] $\summe_{i=1}^{n}a_i*(x-z) *\summe_{j=0}^{i-1}x^j*z^{i-1-j} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}\summe_{j=0}^{i-1}a_i*(x-z)*x^j*z^{i-1-j}$.
[/mm]
Wenn du dir jetzt die Doppelsumme [mm] $\summe_{i=1}^{n}\summe_{j=0}^{i-1}$ [/mm] anschaust, wird da ja ueber alle $i, j [mm] \in \IZ$ [/mm] summiert mit $i = 1, [mm] \dots, [/mm] n$ und $j = 0, [mm] \dots, [/mm] i-1$. Also ist $0 [mm] \le [/mm] j < i [mm] \le [/mm] n$. Und jedes Paar $i, j$ mit $0 [mm] \le [/mm] j < i [mm] \le [/mm] n$ erfuellt $i [mm] \in \{ 1, \dots, n \}$, [/mm] $j [mm] \in \{ 0, \dots, i-1 \}$.
[/mm]
Wenn du dir nun die Doppelsumme [mm] $\summe_{j=0}^{n-1} *\summe_{i=j+1}^{n}$ [/mm] anschaust, da wird ueber alle $i, j [mm] \in \IZ$ [/mm] summiert mit $j = 0, [mm] \dots, [/mm] n-1$ und $i = j+1, [mm] \dots, [/mm] n$. Also ist $0 [mm] \le [/mm] j < i [mm] \le [/mm] n$. Und ebenfalls siehst du hier, dass jedes Paar $i, j$ mit $0 [mm] \le [/mm] j < i [mm] \le [/mm] n$ die Bedingungen $j [mm] \in \{ 0, \dots, n-1 \}$ [/mm] und $i [mm] \in \{ j+1, \dots, n \}$ [/mm] erfuellt.
Damit wird also bei beiden Doppelsummen ueber genau die gleichen Paare $(i, j) [mm] \in \IZ^2$ [/mm] summiert, und da die Addition assoziativ und kommutativ ist und die Summanden die gleichen sind fuer ein Paar $i, j$ sind also beide Doppelsummen gleich.
LG Felix
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