Indikatorfunktion integrieren < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 Mi 09.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei [mm] E:=\{(x,y)\in{\IR^2}|x^2+y^2\le{1}\}.
[/mm]
Bestimmen Sie die Konstante [mm] c\in{\IR} [/mm] so, dass gilt:
[mm] \int_{\IR^2} c\cdot{}1_E(x,y)\, [/mm] d(x,y)=1 |
Tag Leute,
also ich hoff einfach mal, dass mir jemand mit obigem Integral helfen kann, weil ich da momentan etwas feststecke.
Es gilt also:
[mm] \int_{\IR^2} c\cdot{}1_E(x,y)\, d(x,y)=\int_{\IR}\cdot{}\left(\int_{\IR} 1_E(x,y)\, dx\right)\, [/mm] dy=
Wie mach ich hierbei jetzt weiter bzw. wie integrier ich hier die Indikatorfunktion??
Vielen Dank schon mal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Mi 09.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]E:=\{(x,y)\in{\IR^2}|x^2+y^2\le{1}\}.[/mm]
> Bestimmen Sie die Konstante [mm]c\in{\IR}[/mm] so, dass gilt:
>
> [mm]\int_{\IR^2} c\cdot{}1_E(x,y)\,[/mm] d(x,y)=1
> Tag Leute,
> also ich hoff einfach mal, dass mir jemand mit obigem
> Integral helfen kann, weil ich da momentan etwas
> feststecke.
>
> Es gilt also:
>
> [mm]\int_{\IR^2} c\cdot{}1_E(x,y)\, d(x,y)=\int_{\IR}\cdot{}\left(\int_{\IR} 1_E(x,y)\, dx\right)\,[/mm]
> dy=
Das ist zwar richtig, hilft dir hier aber nicht weiter.
> Wie mach ich hierbei jetzt weiter bzw. wie integrier ich
> hier die Indikatorfunktion??
Zwei Tipps:
1. Was ist die Menge E?
2. Was hat das Integral über die Indikatorfunktion mit dem Volumen zu tun?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Mi 09.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
> Zwei Tipps:
> 1. Was ist die Menge E?
Die Menge E ist gerade die Einheitskreisscheibe!
> 2. Was hat das Integral über die Indikatorfunktion mit
> dem Volumen zu tun?
War das nicht irgendwie das Lebesgue-Maß?? Weiß aber nicht wie mir das Volumen hierbei weiterhilft.
Ich mein im Prinzip müsste mir das Integral doch den Flächeninhalt liefern und der ist ja gerade [mm] \pi [/mm] oder nich?
D.h. mein c wärr demnach [mm] \bruch{1}{\pi}. [/mm] Stimmt das so?
Aber mal vorausgesetzt das stimmt, wie komm ich dann rechnerisch da drauf? Danke schon mal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Mi 09.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
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> > Zwei Tipps:
> > 1. Was ist die Menge E?
>
> Die Menge E ist gerade die Einheitskreisscheibe!
>
> > 2. Was hat das Integral über die Indikatorfunktion mit
> > dem Volumen zu tun?
>
> War das nicht irgendwie das Lebesgue-Maß?? Weiß aber
> nicht wie mir das Volumen hierbei weiterhilft.
>
> Ich mein im Prinzip müsste mir das Integral doch den
> Flächeninhalt liefern und der ist ja gerade [mm]\pi[/mm] oder
> nich?
> D.h. mein c wärr demnach [mm]\bruch{1}{\pi}.[/mm] Stimmt das so?
Ja.
> Aber mal vorausgesetzt das stimmt, wie komm ich dann
> rechnerisch da drauf? Danke schon mal!
Du könntest das Integral in Polarkoordinaten ausrechnen. Aber ist das wirklich der Zweck der Aufgabe? Ich vermute mal, es geht um die Erkenntnis, dass das Integral über die Indikatorfunktion einer Menge gerade das Lebesgue-Maß der Menge und damit ihr Volumen (im üblichen Sinne) liefert.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Mi 09.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Naja die Aufgabe besteht darin das c zu bestimmen :).
Also die Aufgabe stammt aus der Wahrscheinlichkeitstheorie und die angegebene Indikatorfunktion ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte einer [mm] \IR-wertigen [/mm] Zufallsvariablen X.
Und nach einer Proposition ist das Integral über die Dichtefunktion gerade 1.
Soviel dazu, nun aber nochmal zu meiner Frage. Wenn ich das also rein rechnerisch machen möchte, dann geht das nur mittels Polarkoordinaten?
Wie sähe dann mein Integral aus, wenn ich das machen will?
Wär klasse, wenn du da bisschen Hilfestellung geben könntest!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:28 Do 10.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Es ist
$ [mm] \int_{\IR^2} c\cdot{}1_E(x,y)\, [/mm] d(x,y)= [mm] \integral_{E}^{}{c d(x,y)}= [/mm] c|E|= [mm] \pi [/mm] c$
Mit Polarkoordinaten ist
$|E|= [mm] \integral_{0}^{2 \pi}{(\integral_{0}^{1}{r dr}) d\phi}= \pi$
[/mm]
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:49 Do 10.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Sei [mm]E:=\{(x,y)\in{\IR^2}|x^2+y^2\le{1}\}.[/mm]
> Bestimmen Sie die Konstante [mm]c\in{\IR}[/mm] so, dass gilt:
>
> [mm]\int_{\IR^2} c\cdot{}1_E(x,y)\,[/mm] d(x,y)=1
> Tag Leute,
> also ich hoff einfach mal, dass mir jemand mit obigem
> Integral helfen kann, weil ich da momentan etwas
> feststecke.
>
> Es gilt also:
>
> [mm]\int_{\IR^2} c\cdot{}1_E(x,y)\, d(x,y)=\int_{\IR}\cdot{}\left(\int_{\IR} 1_E(x,y)\, dx\right)\,[/mm]
> dy=
>
>
> Wie mach ich hierbei jetzt weiter bzw. wie integrier ich
> hier die Indikatorfunktion??
> Vielen Dank schon mal!
Du könnstest z.B. folgende Wege beschreiten:
1)
Transformation in Polarkoordinaten:
[mm] 1_E(x,y)d(x,y)=1_{[0,1]}(x^2+y^2)dxdy
[/mm]
[mm] =1_{[0,1]}(r)rdrd\phi
[/mm]
Mit [mm] x=r\cos \phi, y=r\sin \phi, |Det(J(r,\phi))|=r
[/mm]
2)
Zerlegung der Menge E in
E={(x',x): [mm] x'\in [/mm] M, [mm] g(x')\le [/mm] x [mm] \le h(x')\} [/mm] mit einer geeigneten Menge M und Funktionen g und h:
[mm] 1_E(x,y)=1_{[-1,1]}(x)1_{[-\wurzel{1-x^2},\wurzel{1-x^2}]}(y)
[/mm]
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Do 10.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Vielen Herzlichen Dank an alle drei!!
Ich hätt noch ne ergänzende Frage dazu. Wie würde das Integral aussehen, wenn ich nur über eine Variable integrieren möchte??
Also z.B. so
[mm] \int_{\IR^2} 1_E(x,y)\, [/mm] d(y)
Kann ich hierbei genauso verfahren wie zuvor, also auch mittels Polarkoordinaten oder wie muss ich hierbei vorgehen??
Vielen Dank schon mal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Do 10.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Vielen Herzlichen Dank an alle drei!!
> Ich hätt noch ne ergänzende Frage dazu. Wie würde das
> Integral aussehen, wenn ich nur über eine Variable
> integrieren möchte??
> Also z.B. so
>
> [mm]\int_{\IR^2} 1_E(x,y)\,[/mm] d(y)
>
> Kann ich hierbei genauso verfahren wie zuvor, also auch
> mittels Polarkoordinaten oder wie muss ich hierbei
> vorgehen??
> Vielen Dank schon mal!
Dann hast Du ein Parameterintegral, in dem x bei der Auswertung des Integrals als kKonstante aufzufassen ist.
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Do 10.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Okay prima, jetzt weiß ich zumindest mit was ich es zu tun hab :).
Was nun die Berechnung eines solchen Integrals angeht, bin ich noch etwas hilflos.
Wenn daher jemand vielleicht ein nich allzu kompliziertes Beispiel geben könnte, wär das echt super!
Danke vielmals!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Do 10.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie man 1 integriert musst du doch wissen, also versteh ich die Frage nicht. oben steht doch ein Beispiel?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Do 10.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Da komm ich jetzt wieder nicht :). Wo steht ein Beispiel? Du meinst die Aufgabe an sich oder wie?
Also wie man 1 integriert ist mir natürlich bewusst!
Aber mir ist trotzdem noch nicht so ganz klar wie ich die Indikatorfunktion hierbei integrier.
Deswegen die Bitte nach nem einfach Beispiel, was weiß ich [mm] \int_{\IR^2} x+y\, [/mm] dy oder so.
Wie integrier ich das? Danke schon mal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 Do 10.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Da komm ich jetzt wieder nicht :). Wo steht ein Beispiel?
> Du meinst die Aufgabe an sich oder wie?
>
> Also wie man 1 integriert ist mir natürlich bewusst!
> Aber mir ist trotzdem noch nicht so ganz klar wie ich die
> Indikatorfunktion hierbei integrier.
> Deswegen die Bitte nach nem einfach Beispiel, was weiß
> ich [mm]\int_{\IR^2} x+y\,[/mm] dy oder so.
Ich glaube, vieles löst sich durch exakte Formulierung/Sprache auf:
Wenn über eine Teilmenge des [mm] \IR^n [/mm] integriert wird, sind n Variablen im Spiel bezüglich der integriert wird. Das drückt sich auch durch ein [mm] d(x_1,...,x_n) [/mm] am Integral aus:
[mm] \integral1_M(x_1,x_2,...,x_n)d(x_1,...,x_n)
[/mm]
Diese Integral läßt sich durch n Integrationen ausrechnen:
[mm] \integral\integral...\integral1_M(x_1,x_2,...,x_n)dx_1dx_2...dx_n
[/mm]
Dabei wird dann z.B. das innerste [mm] \integral1_M(x_1,x_2,...,x_n)dx_1 [/mm] zu einer Funktion der n-1 Variablen [mm] x_2,x_3,...x_n, [/mm] da bezüglich [mm] x_1 [/mm] ja integriert wird. [mm] x_2,x_3,...x_n [/mm] legen in diesem Integral dabei die Menge der [mm] x_1 [/mm] fest, über die integriert wird:
[mm] E:=\{(u,v):u^2+v^2\le1\}
[/mm]
[mm] I:=\integral1_E(x,y)d(x,y)=\integral\integral1_E(x,y)dydx
[/mm]
[mm] 1_E(x,y)=1_{[-1,1]}(x)1_{[-\wurzel{1-x^2},\wurzel{1-x^2}]}(y)
[/mm]
[mm] \integral1_E(x,y)dy=\integral1_{[-1,1]}(x)1_{[-\wurzel{1-x^2},\wurzel{1-x^2}]}(y)dy=1_{[-1,1]}(x)\integral1_{[-\wurzel{1-x^2},\wurzel{1-x^2}]}(y)dy=2*1_{[-1,1]}(x)\wurzel{1-x^2}
[/mm]
[mm] I=2*\integral_{[-1,1]}\wurzel{1-x^2}dx=2*\pi/2=\pi
[/mm]
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Fr 11.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
> Du könnstest z.B. folgende Wege beschreiten:
>
> 1)
>
> Transformation in Polarkoordinaten:
>
> [mm]1_E(x,y)d(x,y)=1_{[0,1]}(x^2+y^2)dxdy[/mm]
> [mm]=1_{[0,1]}(r)rdrd\phi[/mm]
>
> Mit [mm]x=r\cos \phi, y=r\sin \phi, |Det(J(r,\phi))|=r[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> 2)
>
> Zerlegung der Menge E in
>
> E={(x',x): [mm]x'\in[/mm] M, [mm]g(x')\le[/mm] x [mm]\le h(x')\}[/mm] mit einer
> geeigneten Menge M und Funktionen g und h:
>
> [mm]1_E(x,y)=1_{[-1,1]}(x)1_{[-\wurzel{1-x^2},\wurzel{1-x^2}]}(y)[/mm]
Also ich hab mir das Ganze nochmals angeschaut und mir versucht klar zu machen, aber irgendwie ist mir das alles doch noch nicht so klar!
Könnt mir jemand die beiden Möglichkeiten nochmals erklären, d.h. wie genau ich jeweils auf die Umformung komme. Das wär echt toll, sonst verzweifel ich noch da dran. Herzlichen Dank schon mal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Fr 11.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Also ich hab mir das Ganze nochmals angeschaut und mir
> versucht klar zu machen, aber irgendwie ist mir das alles
> doch noch nicht so klar!
> Könnt mir jemand die beiden Möglichkeiten nochmals
> erklären, d.h. wie genau ich jeweils auf die Umformung
> komme. Das wär echt toll, sonst verzweifel ich noch da
> dran. Herzlichen Dank schon mal.
i)
Auf einem Maßraum [mm] (\Omega,\mathcal{A},\mu) [/mm] ist [mm] \integral_\Omega fd\mu [/mm] ja gerade durch einen Grenzprozess definiert, bei dem f durch Linearkombinationen [mm] \summe c_i 1_{A_i} [/mm] von Indikatorfunktionen approximiert wird, deren Integral einfach [mm] \summe c_i \mu{A_i} [/mm] ist.
Wenn nur über ein [mm] A\subset\Omega [/mm] mit [mm] A\in \mathal{A} [/mm] integriert werden soll, fügt man [mm] 1_A [/mm] hinzu: [mm] \integral_Afd\mu:=\integral_\Omega 1_A*fd\mu. [/mm] Deswegen gilt auch [mm] \mu(A)=\integral_Ad\mu=\integral_\Omega1_Ad\mu.
[/mm]
ii)
Sieht man mal von gewissen unreigentlich Riemann-integrierbaren und nicht Riemann-integrierbaren Funktionen ab, stimmen Rieman-Integrale mit Lebesgue-Integralen überein. Das soll heißen man, kann Resultate die man mit Stammfunktionen nach Riemann gewinnt, auch zur Bestimmung entsprechender Lebesgue-Integrale benutzen.
iii)
Wenn [mm] \Omega\subset\IR^n [/mm] offen ist und [mm] f:\Omega\to\IR^n; y=(y^1,y^2,...,y^n)=f(x)=(f^{y^1}(x^1,x^2,...,x^n),f^{y^2}(x^1,x^2,...,x^n),...,f^{y^n}(x^1,x^2,...,x^n)) [/mm] eine stetig differenzierbare Abbildung ist und [mm] Df(x_0):IR^n\to\IR^n [/mm] Ihre Ableitung an der Stelle [mm] x_0\in \Omega [/mm] mit der Jakobi-Matrix-Darstellung [mm] D_{ik}(x_0)=\frac{\partial f^i}{\partial x_k}(x_0) [/mm] ist, dann kann man eine Integration über meßbare Menge [mm] E\subset\Omega [/mm] über eine Integration über f(E) ausdrücken (Koordinatentransformation).
Sei dazu [mm] N_f(y,E):=card(f^-1(y)\cap [/mm] E) die Anzahl der [mm] x\in [/mm] E ist, für welche f(x)=y gilt und [mm] |Det(Df)(x_0)| [/mm] der Betrag der Determinante der Jakobi-Matrix (auch Funktionaldeterminante genannt). Das braucht man, wenn f nicht global bijektiv ist, wenn es also kein sogenannter Diffeomorphismus ist (stetig diff'bar und bijektiv). Stetig diff'bar und nicht verschwindene Funktionaldeterminante sichert nur die lokale Invertierbarkeit.
Dann gilt für eine meßbare, nicht negative oder auch integrierbare Funktionen g
[mm] \integral_E g(f(x))|Det(Df)(x)|d^nx=\integral_{f(E)}N_f(y,E)g(y)d^ny
[/mm]
Für den Fall, dass f stetig diff'bar und bijektiv ist, hat man
[mm] \integral_E g(f(x))|Det(Df)(x)|d^nx=\integral_{f(E)}g(y)d^ny
[/mm]
iv)
Wenn nun eine Menge E des [mm] \IR^n [/mm] vorgelegt ist, über die integriert werden soll -
[mm] \integral_E fd^nx=\integral 1_E(x^1,...,x^n)f(x^1,...,x^n)dx^1dx^2...dx^n
[/mm]
- dann kann man versuchen, die Menge Schritt für Schritt zu "faktorisieren", d.h. im ersten Schritt [mm] 1_E(x^1,...,x^n) [/mm] in ein Produkt
[mm] 1_{E_1}(x^1)1_{E_{n-1}(x^2,...,x^n)}(x^2,...,x^n)
[/mm]
zerlegen, so dass man eine Integration über [mm] x^1 [/mm] ausführen kann, in der Hoffnung, dass das auch im nächsten Möglich ist.
Da zu hilft einem u.U. auch iii), da oft die Zerlegung in anderen Variablen offensichtlicher ist.
Zu Deinem Beispiel:
Sei E die dort vorgelegte Menge. Sie ist definiert durch die [mm] (u,v)\in\IR^2 [/mm] mit
[mm] u^2+v^2\le1
[/mm]
Wir wissen, dass das eine Kreisfläche um den Ursprung mit dem Radius 1 ist. Diese Menge kann man als
[mm] \cup_{x\in[-1,1]} E_x [/mm] mit [mm] E_x:=\{(x,y):y\in[-\wurzel{1-x^2},\wurzel{1-x^2}]\}
[/mm]
schreiben. [mm] E_x [/mm] ist der vertikale Schnitt durch E an der Stelle x.
Aus [mm] u^2+v^2\le1 [/mm] und [mm] (u,v)\in\IR^2 [/mm] folgt
[mm] 0\le |v|\le\wurzel(1-u^2) [/mm] und [mm] |u|\le1
[/mm]
Auf diese Weise gelangt man auch zu [mm] u\in[-1,1] [/mm] und [mm] v\in[-\wurzel{1-u^2},\wurzel{1-u^2}]
[/mm]
Wesentlich an dieser Stelle ist, dass es irgendwie gelingt
[mm] u^2+v^2\le1
[/mm]
so aufzulösen, das sich für eine Variable ein konkreter Bereich und für die andere eine von dieser Variablen abhängiger Bereich ergibt.
Jetzt kann man nämlich schreiben
[mm] \integral_Ed(x,y)=\integral_{-1}^1dx\integral_{-\wurzel{1-x^2}}^{\wurzel{1-x^2}}dy
[/mm]
oder auch mit Indikatorfunktionen:
[mm] \integral 1_E(x,y)d(x,y)=\integral 1_{[-1,1]}(x)1_{[-\wurzel{1-x^2},\wurzel{1-x^2}]}d(x,y)=\integral\integral1_{[-1,1]}(x)1_{[-\wurzel{1-x^2},\wurzel{1-x^2}]}(y)dxdy
[/mm]
[mm] =\integral1_{[-1,1]}(x)\Big(\integral1_{[-\wurzel{1-x^2},\wurzel{1-x^2}]}(y)dy\Big)dx
[/mm]
Wenn du die die Transformation
[mm] x=f^x(r,\phi)=r\cos\phi
[/mm]
[mm] y=f^y(r,\phi)=r\sin\phi
[/mm]
[mm] \phi\in[0,2\pi), r\in [/mm] (0,1]
mit den partiellen Ableitungen
[mm] f^x_{,r}=\cos\phi, f^x_{,\phi}=-r\sin\phi
[/mm]
[mm] f^y_{,r}=\sin\phi, f^y_{,\phi}=r\cos\phi
[/mm]
und damit mit [mm] |Det(Df)(r,\phi)|=r [/mm] einführst ist nach iii)
mit [mm] E'=(0,1]\times[0,2\pi) [/mm] und E=f(E')
[mm] \integral_E g(f(x))|Det(Df)(x)|d^nx=\integral_Ed(x,y)=\integral_{f(E')}d(x,y)=\integral_{E'}|Det(Df)(r,\phi)|d(r,\phi)=\integral_{(0,1]\times[0,2\pi)}rd(r,phi)=\integral_{0}^1\integral_0^{2\pi}rd\phi [/mm] dr
Oder auch mit Indikatorfunktionen
[mm] \integral_{(0,1]\times[0,2\pi)}rd(r,phi)=\integral1_{(0,1]\times[0,2\pi)}(r,\phi)rd(r,phi)=\integral\integral1_{(0,1]}(r)1_{[0,2\pi)}(\phi)rdrdphi=\integral r*1_{(0,1]}(r)\Big(\integral1_{[0,2\pi)}(\phi)d\phi\Big)dr
[/mm]
Nun besser?
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:46 Fr 11.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Das ist wohl die ausführlichste Antwort, die ich für meine Frage erwarten konnte :). Ein ganz großes Dankeschön , obwohl das in diesem Fall eigentlich gar nicht ausreicht!!
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Bei der Aufgabe handelt es sich praktisch wirklich nur
um die Kopfrechnung mit dem Ergebnis [mm] c=\frac{1}{\pi} [/mm] .
Integrale berechnen muss man nicht, weil der Flächen-
inhalt des Einheitskreises elementargeometrisch bekannt
ist.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:33 Do 10.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Bei der Aufgabe handelt es sich praktisch wirklich nur
> um die Kopfrechnung mit dem Ergebnis [mm]c=\frac{1}{\pi}[/mm] .
> Integrale berechnen muss man nicht, weil der Flächen-
> inhalt des Einheitskreises elementargeometrisch bekannt
> ist.
>
>
> LG Al-Chw.
Um die Punkte abzuräumen, sicher.
Um sich anhand eines elementaren Beispiels Fertigkeiten bei der Auswertung von Integralen im mehrdimensionalen anzueigenen, sicher nicht, oder?
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:42 Do 10.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Bei der Aufgabe handelt es sich praktisch wirklich nur
> um die Kopfrechnung mit dem Ergebnis [mm]c=\frac{1}{\pi}[/mm] .
> Integrale berechnen muss man nicht, weil der Flächen-
> inhalt des Einheitskreises elementargeometrisch bekannt
> ist.
>
>
> LG Al-Chw.
Hallo Al,
ich kann Dir nur teilweise zustimmen. Elementargeometrische Berechnungen von Flächeninhalten und Volumina sind ja schön und gut, stehen allerdings auf "wackligen" Füßen, solange man keinen exakten Maß-Begriff hat.
Genau die leistet die abstrakte Maß - und Integrationstheorie
Bleibt man im [mm] \IR^n, [/mm] so werden elementargeometrische Betrachtungen erst durch die Def. der (Lebesgue-) meßbaren Mengen und der Def. des Maßes solcher Mengen gerechtfertigt.
Gruß FRED
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