Indirekter Beweis < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:22 Di 24.01.2012 | | Autor: | hilado |
| Aufgabe | | Zeigen Sie mit Hilfe eines indirekten Beweises, dass es keine zwei natürlichen Zahlen a und b gibt, so dass [mm] a^2 [/mm] - [mm] b^2 [/mm] = 10. |
Da das ein indirekter Beweis werden soll:
Annahma: es gibt zwei nat. Zahlen aund b, sodass [mm] a^2 [/mm] - [mm] b^2 [/mm] = 10.
D.h. wir finden unter den ersten 10 Quadraten (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 91, 100) eine Differenz, die 10 ist.
Fangen wir an:
4 - 1 = 3
9 - 1 = 8
16 - 1 = 15
... die Differenzen steigen, also finden wir unsere zwei Quadrate nicht hier.
9 - 4 = 5
16 - 4 = 12
... die Differenzen steigen auch hier, als finden wir unsere zwei Quadrate auch nicht hier.
16 - 9 = 7
25 - 9 = 16
... auch nicht.
25 - 16 = 9
36 - 16 = 20
... auch nicht
36 - 25 = 11
... auch nicht
Alle anderen Differenzen sind größer als 10. => Widerspruch zur Annahme => Damit wär die Aussage aus der Aufgabe bewiesen.
Ich hab dazu eine Frage: Ist diese Art der Vorgehensweise korrekt oder gibt es noch eine bessere Methode?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:44 Di 24.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie mit Hilfe eines indirekten Beweises, dass es
> keine zwei natürlichen Zahlen a und b gibt, so dass [mm]a^2[/mm] -
> [mm]b^2[/mm] = 10.
> Da das ein indirekter Beweis werden soll:
>
> Annahma: es gibt zwei nat. Zahlen aund b, sodass [mm]a^2[/mm] - [mm]b^2[/mm]
> = 10.
> D.h. wir finden unter den ersten 10 Quadraten (1, 4, 9,
> 16, 25, 36, 49, 64, 91, 100) eine Differenz, die 10 ist.
> Fangen wir an:
> 4 - 1 = 3
> 9 - 1 = 8
> 16 - 1 = 15
> ... die Differenzen steigen, also finden wir unsere zwei
> Quadrate nicht hier.
>
> 9 - 4 = 5
> 16 - 4 = 12
> ... die Differenzen steigen auch hier, als finden wir
> unsere zwei Quadrate auch nicht hier.
>
> 16 - 9 = 7
> 25 - 9 = 16
> ... auch nicht.
>
> 25 - 16 = 9
> 36 - 16 = 20
> ... auch nicht
>
> 36 - 25 = 11
> ... auch nicht
>
> Alle anderen Differenzen sind größer als 10. =>
> Widerspruch zur Annahme => Damit wär die Aussage aus der
> Aufgabe bewiesen.
>
> Ich hab dazu eine Frage: Ist diese Art der Vorgehensweise
> korrekt oder gibt es noch eine bessere Methode?
>
ich hab' das nun nicht alles kontrolliert, aber ich wäre es so angegangen:
[mm] $$a^2-b^2=(a+b)*(a-b)$$
[/mm]
und man kann 10 im Wesentlichen auf genau zwei Arten als Produkt natürlicher Zahlen schreiben (d.h. bis auf Vertauschung der Reihenfolge der Faktoren) - Stichwort unter anderem: Primfaktorzerlegung:
Entweder
$$10=5*2$$
oder
[mm] $$10=10*1\,.$$
[/mm]
D.h. man muss
entweder
gleichzeitig die Gleichnungen $a-b=1$ und $a+b=10$ erfüllen,
oder
gleichzeitig die Gleichungen [mm] $a-b=2\,$ [/mm] und [mm] $a+b=5\,.$
[/mm]
In beiden Fällen erhält man notwendig für [mm] $a\,$ [/mm] eine Gleichung der Form [mm] $2a=u\,$ [/mm] mit [mm] $u\,$ [/mm] ungerade, also kann es kein passendes Paar [mm] $(a,\,b)$ [/mm] wie gewünscht geben.
P.S.:
Beachte auch, dass etwa die Bedingung
gleichzeitig [mm] $a+b=2\,$ [/mm] und [mm] $a-b=5\,$
[/mm]
deswegen nicht relevant ist, weil für natürliche Zahlen [mm] $a,\,b$ [/mm] sicher $a+b [mm] \ge [/mm] a-b$ sein muss!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:48 Di 24.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
> Zeigen Sie mit Hilfe eines indirekten Beweises, dass es
> keine zwei natürlichen Zahlen a und b gibt, so dass [mm]a^2[/mm] -
> [mm]b^2[/mm] = 10.
noch 'ne Alternative:
Gäbe es solche natürlichen [mm] $a,b\,,$ [/mm] so wäre wegen
[mm] $$a^2-b^2=10 \Rightarrow a^2=b^2+10$$ [/mm]
sicher $a > [mm] b\,.$ [/mm] (Beachte $a,b [mm] \ge 0\,.$)
[/mm]
Aus dem Ansatz $a=b+n$ mit einem $n [mm] \in \IN$ [/mm] folgt aber
[mm] $$a^2=(b+n)^2=b^2+2nb+n^2\,,$$
[/mm]
also muss
[mm] $$b^2+2nb+n^2=b^2+10$$
[/mm]
gelten.
Jetzt denke das mal weiter (löse diese Gleichung nach [mm] $b\,$ [/mm] auf, beachte $n [mm] \in \IN$ [/mm] und schaue, ob dann noch $b [mm] \in \IN$ [/mm] sein kann. Tipp: Nachdem man nach [mm] $b\,$ [/mm] aufgelöst hat, kann man sehen, dass nur jene $n [mm] \in \IN$ [/mm] gerade mit [mm] $n^2 \le [/mm] 10$ überhaupt betrachtet werden müssen | beachte auch: bei mir ist $0 [mm] \notin \IN\,,$ [/mm] aber [mm] $0\,$ [/mm] kommt für [mm] $n\,$ [/mm] eh nicht in Frage).
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:57 Di 24.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ich hätte noch einen Beweis mit Hilfe des Mittelwertsatzes:
Annahme: es gibt a,b \in \IN mit: $a^2-b^2=10$. Dann sind a und b beide \ge 1 und es ist a=b+n mit einem geeigneten n \in \IN.
Mit f(x):=x^2 und dem Mittelwertsatz bekommt man ein $t \in (b,a)$ mit:
$10=f(a)-f(b)=2t(a-b)=2t*n$,
also
$t*n=5$.
Wegen b<t, ist also $b*n<5$ und somit $b*n \le 4$.
Es folgt: $b \in \{1,2,3,4 \}}$ und damit:
$a^2 \in \{11,14,19,26 \}}$, Widerspruch !
FRED
P.S.: gerade habe ich gesehen, das man die Ungl. $b*n<5$ auch aus Marcels Antwort bekommt:
Marcel hatte:
$ b^2+2nb+n^2=b^2+10 $
Daraus folgt: $2nb <2nb+n^2=10$, also $b*n<5$ .
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:32 Di 24.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Ich hätte noch einen Beweis mit Hilfe des
> Mittelwertsatzes:
>
> Annahme: es gibt a,b [mm]\in \IN[/mm] mit: [mm]a^2-b^2=10[/mm]. Dann sind a
> und b beide [mm]\ge[/mm] 1 und es ist a=b+n mit einem geeigneten n
> [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Mit [mm]f(x):=x^2[/mm] und dem Mittelwertsatz bekommt man ein [mm]t \in (b,a)[/mm]
> mit:
>
> [mm]10=f(a)-f(b)=2t(a-b)=2t*n[/mm],
>
> also
>
> [mm]t*n=5[/mm].
>
> Wegen b<t, ist also [mm]b*n<5[/mm] und somit [mm]b*n \le 4[/mm].
>
> Es folgt: [mm]b \in \{1,2,3,4 \}}[/mm] und damit:
>
> [mm]a^2 \in \{11,14,19,26 \}}[/mm], Widerspruch !
>
> FRED
>
>
>
> P.S.: gerade habe ich gesehen, das man die Ungl. [mm]b*n<5[/mm] auch
> aus Marcels Antwort bekommt:
>
> Marcel hatte:
>
>
> [mm]b^2+2nb+n^2=b^2+10[/mm]
>
> Daraus folgt: [mm]2nb <2nb+n^2=10[/mm], also [mm]b*n<5[/mm] .
nichtsdestotrotz ist der Weg von Dir beachtenswert 
Ich hätte übrigens einfach nur so argumentiert:
Aus
[mm] $$2nb=10-n^2$$
[/mm]
folgt, dass die rechte Seite, also [mm] $10-n^2\,,$ [/mm] eine gerade Zahl ist - das geht nur, wenn [mm] $n\,$ [/mm] gerade ist.
Da $2nb [mm] \in \IN\,,$ [/mm] ist diese auch [mm] $\ge 0\,.$ [/mm] D.h. wir haben:
[mm] $10-n^2$ [/mm] muss eine gerade Zahl [mm] $\ge [/mm] 0$ sein, also muss auch [mm] $n\,$ [/mm] gerade und zudem muss $n< [mm] 4\,$ [/mm] sein. Daher kommt nur $n=2$ in Frage. Aber dann folgt aus
[mm] $$b^2=(a+2)^2=a^2+4a+4$$
[/mm]
sofort
[mm] $$b^2-a^2=4a+4\,.$$
[/mm]
$4a+4=4(a+1)$ kann aber für kein $a [mm] \in \IN$ [/mm] den Wert $10 [mm] \notin 4*\IN\,$ [/mm] annehmen.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Di 24.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Das ist eine nette Aufgabe.... . Noch eine Möglichkeit:
Annahme: es gibt a,b [mm] \in \IN [/mm] mit: [mm] a^2-b^2=10. [/mm] Klar: a>b.
Dann: [mm] $10=a^2-b^2=(a+b)(a-b)> (a-b)^2$, [/mm] also ist [mm] $0
Nun gibt es 3 Fälle:
1. a=1+b; 2. a=2+b und 3. a=3+b
Im ersten Fall bekommt man aus [mm] a^2-b^2=10, [/mm] dass b=9/2 ist
Im 2. Fall erhält man b=3/2 und im 3. Fall b=1/6.
In jedemFall erhält man einen Widerspruch.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 Di 24.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Das ist eine nette Aufgabe.... . Noch eine Möglichkeit:
>
> Annahme: es gibt a,b [mm]\in \IN[/mm] mit: [mm]a^2-b^2=10.[/mm] Klar: a>b.
>
> Dann: [mm]10=a^2-b^2=(a+b)(a-b)> (a-b)^2[/mm], also ist
> [mm]0
>
> Nun gibt es 3 Fälle:
theoretisch ja! Man kann sie an dieser Stelle schon reduzieren:
Wenn [mm] $a=b+u\,$ [/mm] mit einer ungeraden natürlichen Zahl [mm] $u\,$ [/mm] ist, so folgt
[mm] $$a^2-b^2=2bu+u^2\,.$$
[/mm]
Das heißt: Solche Fälle kommen nicht in Betracht, da wir hier anhand der rechten Seite, die als Summe einer geraden mit einer ungeraden Zahl auch ungerade ist, erkennen, dass die Differenz [mm] $a^2-b^2$ [/mm] stets ungerade ist - im Gegensatz zur Zahl 10.
Daher könnte man nun schon sagen: Okay:
>
> 1. a=1+b; 2. a=2+b und 3. a=3+b
Einzig der 2e Fall bleibt noch relevant!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 Di 24.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
nun aber ein wunderbarer Weg, den ein jeder Schüler/eine jede Schülerin hoffentlich auch nachvollziehen kann.
Wir betrachten einfach mal generell für natürliche Zahlen $a > [mm] b\,$ [/mm] die Differenz [mm] $a^2-b^2\,.$ [/mm] Dazu schreiben wir
[mm] $$a=b+n\,$$
[/mm]
mit einem $n [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Dann folgt
[mm] $$a^2-b^2=b^2+2bn+n^2-b^2=2bn+n^2=n(2b+n)\,.$$
[/mm]
Setzen wir zunächst [mm] $n=1\,.$ [/mm] Dann folgt:
Für [mm] $b=1\,$ [/mm] ist [mm] $a^2-b^2=2b+1=3\,,$ [/mm] für [mm] $b=2\,$ [/mm] ist [mm] $a^2-b^2=2b+1=5\,,$ [/mm] für [mm] $b=3\,$ [/mm] ist [mm] $a^2-b^2=2b+1=7\,,$ [/mm] für [mm] $b=4\,$ [/mm] ist [mm] $a^2-b^2=2b+1=9$ [/mm] und für $b [mm] \ge [/mm] 5$ ist [mm] $a^2-b^2=2b+1 \ge 11\,.$
[/mm]
Also kann es keine Paare der Form [mm] $(n,b)=(1,b)\,$ [/mm] geben, die die Forderung der Aufgabe erfüllen.
Setzen wir nun [mm] $n=2\,:$ [/mm]
Für [mm] $b=1\,$ [/mm] ist dann [mm] $a^2-b^2=4b+4=8\,.$ [/mm] Für $b [mm] \ge [/mm] 2$ ist [mm] $a^2-b^2=2(2b+2)=4(b+1) \ge 4*3=12\,.$ [/mm] Also kann es keine Paare der Form [mm] $(n,b)=(2,b)\,$ [/mm] geben, die die Aufgabe erfüllen.
Für $n [mm] \ge [/mm] 3$ und $b [mm] \ge [/mm] 1$ gilt aber
[mm] $$a^2-b^2=n(2b+n) \ge 3*(2*1+3)=15\,,$$
[/mm]
solche Paare erfüllen die Aufgabe also auch niemals.
Vorteil hier: Wenn man ein wenig hinguckt, kann man sogar aufschreiben, welche Differenzen es für natürliche Zahlen $a > [mm] b\,$ [/mm] überhaupt geben kann, und welche niemals in Frage kommen. Aus den kurzen obigen Überlegungen folgt etwa, dass [mm] $a^2-b^2 \in \{1,2,4,6\}$ [/mm] für natürliche Zahlen $a > [mm] b\,$ [/mm] niemals gelten kann.
So ähnlich hattest Du das ja auch getan - jedenfalls im Wesentlichen, denke ich!
P.S.:
Richtig übersichtlich wird's, wenn man in eine "Doppelt-unendliche-Matrix [mm] $(a_{n,b})_{(n,b) \in \IN \times \IN}$" [/mm] mal die Differenzen reinschreibt, also
[mm] $$a^2-b^2=(b+n)^2-b^2=n^2+2nb=:a_{n,b}\,.$$
[/mm]
Die sieht dann so aus:
[mm] $$A=\pmat{ 3 & 5 & 7 & 9 & 11 & ... \\
8 & 12 & 16 & 20 & 24 & ... \\
15 & 21 & 27 & 33 & 39 & ... \\
...& ...& ...& ...&... & ... }$$
[/mm]
Die "Matrix-Konstruktion" kann man etwa so beschreiben (rekursiv):
Es gilt [mm] $a_{1,1}=3$ [/mm] und [mm] $a_{n,1}=a_{n-1,1}+2*n+1$ [/mm] ($n [mm] \ge [/mm] 2$), somit bekommt man alle Einträge der ersten (unendlichen) Spalte.
(Oder noch schöner:
[mm] $$a_{n,1}=n^2+2n=(n+1)^2-1$$
[/mm]
für alle $n [mm] \in \IN\,.$)
[/mm]
Weiter gilt
[mm] $$a_{n,b}=a_{n,b-1}+2n \text{ für alle } [/mm] b [mm] \ge 2\,,$$
[/mm]
so bekommt man dann auch alle Zeileneinträge.
Test:
[mm] $$a_{3,4}=a_{3,3}+2*3=(a_{3,2}+2*3)+2*3=a_{3,1}+18$$
[/mm]
und
[mm] $$a_{3,1}=a_{2,1}+2*3+1=(a_{1,1}+2*2+1)+2*3+1=15\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$a_{3,4}=15+18=33\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:09 Di 24.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Zu Deiner Vorgehensweise:
> Zeigen Sie mit Hilfe eines indirekten Beweises, dass es
> keine zwei natürlichen Zahlen a und b gibt, so dass [mm]a^2[/mm] -
> [mm]b^2[/mm] = 10.
> Da das ein indirekter Beweis werden soll:
>
> Annahma: es gibt zwei nat. Zahlen aund b, sodass [mm]a^2[/mm] - [mm]b^2[/mm]
> = 10.
> D.h. wir finden unter den ersten 10 Quadraten (1, 4, 9,
> 16, 25, 36, 49, 64, 91, 100) eine Differenz, die 10 ist.
> Fangen wir an:
> 4 - 1 = 3
> 9 - 1 = 8
> 16 - 1 = 15
> ... die Differenzen steigen, also finden wir unsere zwei
> Quadrate nicht hier.
>
> 9 - 4 = 5
> 16 - 4 = 12
> ... die Differenzen steigen auch hier, als finden wir
> unsere zwei Quadrate auch nicht hier.
>
> 16 - 9 = 7
> 25 - 9 = 16
> ... auch nicht.
>
> 25 - 16 = 9
> 36 - 16 = 20
> ... auch nicht
>
> 36 - 25 = 11
> ... auch nicht
>
> Alle anderen Differenzen sind größer als 10. =>
> Widerspruch zur Annahme => Damit wär die Aussage aus der
> Aufgabe bewiesen.
>
> Ich hab dazu eine Frage: Ist diese Art der Vorgehensweise
> korrekt oder gibt es noch eine bessere Methode?
Ja, die Methode war korrekt - leider ist das nur nicht wirklich ein Widerspruchsbeweis - ebenso wie meine "Matrixmethode" auch eher konstruktiv und direkt ist. Natürlich hast Du das schon ein wenig als Widerspruchsbeweis verpackt. Aber die Methode ist doch eigentlich schon eher konstruktiv und direkt.
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
