Induktion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 Do 09.03.2006 | | Autor: | LaBouche |
| Aufgabe | | Zeigen Sie durch vollständige Induktion: Für [mm] n \in\ \IN\ [/mm] gilt |
[mm] \summe_{i=1}^{N} i^3 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}n^2(n+1)^2
[/mm]
Mein Problem ist volgendes, ich hatte das letzte mal mit Mathe vor ca. 15 Jahren zu tun. Und ich kann mich nicht mehr daran erinnern, wie so eine Aufgabe Schritt für Schritt gelöst wird (in der Schule hatte ich auch nicht wirklich mit solchen Aufgaben zu tun). Ich habe einen ganzen Übungsaufgabenzettel, den ich gerne bearbeiten möchte, mit lauter solchen Aufgaben. Mir fehlt einfach die Wegbeschreibung. Ein Anstoß, dass ich wieder rein komme.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 Do 09.03.2006 | | Autor: | Walde |
Hi,
also im Prinzip solltet ihr das ja in der Vorlesung oder in den Übungsstunden mal gezeigt bekommen haben, aber hier ein kurzer Schnellkurs:
Eine Vollständige Induktion beginnst du, indem du den sog. Induktionsstart oder auch I.-anfang machst. Das heisst, du setzt für n=1 ein und Überprüfst, ob deine Induktionsbehauptung oder auch I.-Annahme (also die Formel) stimmt.
Dann folgt der Induktionsschritt :
Du sagst: ich nehme an, die Behauptung stimmt für ein n, jetzt muss ich zeigen, dann stimmt sie auch für n+1.
Das ist meistens der schwierige Teil einer vollst. Induktion. In deinem Fall hiesse das, du musst zeigen
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} i^3=\bruch{1}{4}(n+1)^2(n+2)^2 [/mm] (einfach überall wo ein n steht, muss ein n+1 stehen.
Das zeigst du, indem du mit der linken Seite anfängst und durch
durch Umformungen, und Einsetzen der ursprünglichen I.Annahme (die Formel gilt für n), die rechte Seite erreichst.
Ausgehend von
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} i^3= \summe_{i=1}^{n} i^3 +(n+1)^3, [/mm] ich habe einfach das letzte Summenglied separat aufgeschrieben. An dieser Stelle sieht man schön, wie man jetzt die I.Annahme einsetzt. Da wir davon ausgehen, dass die Formel für n gilt, darf ich für den einen Teil einfach die I.Annahme einsetzen und erhalte:
[mm] \summe_{i=1}^{n} i^3 +(n+1)^3=\bruch{1}{4}n^2(n+1)^2+(n+1)^3.
[/mm]
In deinem Übungsblatt solltest du unter das Gleichheitszeichen einfach I.A. schreiben, um anzudeuten, dass du die I.Annahme eingesetzt hast.
Jetzt musst nur noch zeigen, dass [mm] \bruch{1}{4}n^2(n+1)^2+(n+1)^3 [/mm] und [mm] \bruch{1}{4}(n+1)^2(n+2)^2 [/mm] identisch sind, dann bist du fertig. Das ist mir jetzt zuviel Arbeit, dass überlasse ich dir, ich empfehle ausmultiplizieren und zusammenfassen, dann müsste es schon gehen.
Ich hoffe das hat dir geholfen,
lG Walde
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:50 Sa 11.03.2006 | | Autor: | LaBouche |
Vielen lieben DANK! Du hast mir wirklich weitergeholfen. Ich werde versuchen meine anderen Aufgaben zu lösen. Darf ich dir, wenn ich nicht weiter weiß noch mal schreiben?
LG
LaBouche
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Sa 11.03.2006 | | Autor: | LaBouche |
Ich habe versucht einige Löungsansätze her zu leiten. Bin ich denn so auf dem richtigen Weg? Hatte PDF-Datei mit meinen Ansätzen hinzugefügt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 Sa 11.03.2006 | | Autor: | LaBouche |
Entschuldigung die PDF-Datei befindet sich oben bei DANKE!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Sa 11.03.2006 | | Autor: | Walde |
Hi LaBouche,
leider hast du es noch nicht ganz richtig. Es ist auch noch etwas konfus aufgeschrieben, so würde dein Übungsleiter dir es als falsch anrechnen müssen. Ich werde dir anhand der 2) nochmal zeigen, wie man es richtig aufschreibt:
Also die Aufgabenstellung:
Zeigen sie durch vollst. Ind., dass gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{2n}(-1)^i*i=n, [/mm] für alle [mm] n\in \IN.
[/mm]
1.Ind.Start: zeige es gilt für n=1:
[mm] \summe_{i=1}^{2*1}(-1)^i*i=(-1)^1*1+(-1)^2*2=-1+2=1 [/mm] stimmt.
2.Ind.Schritt von n auf n+1:
Annahme: [mm] \summe_{i=1}^{2n}(-1)^i*i=n [/mm] gilt für n.
Zeige nun, es gilt für n+1, d.h. es gilt zu zeigen: [mm] \summe_{i=1}^{2(n+1)}(-1)^i*i=n+1.
[/mm]
Wir starten mit der linken Seite:
[mm] \summe_{i=1}^{2(n+1)}(-1)^i*i=\summe_{i=1}^{2n+2}(-1)^i*i=\summe_{i=1}^{2n}(-1)^i*i +(-1)^{2n+1}*(2n+1)+(-1)^{2n+2}*(2n+2) [/mm] (die letzten beiden Summenglieder abgespalten)
[mm] \underbrace{=}_{I.Annahme}n+\underbrace{(-1)^{2n+1}}_{I}*(2n+1)+\underbrace{(-1)^{2n+2}}_{II}*(2n+2)
[/mm]
I da der Exponent immer ungerade ist, ist dieser Term immer -1
II da der Exponent immer gerade ist, ist dieser Term immer +1
=n-(2n+1)+(2n+2)=n-2n-1+2n+2=n+1
und damit ist der Beweis abgeschlossen.
Wichtig ist beim Aufschreiben die Unterteilung ist I. Start und I.Schritt. Beim I.Schritt ist vor allem wichtig, dass du EINE lange Kette von Gleichheitszeichen hast, die mit der linken Seite [mm] (\summe_{i=1}^{2(n+1)}(-1)^i*i) [/mm] anfängt und dann durch Umformungen und Einsetzen der I.Ann. zur rechten Seite (n+1 )führt. Es ist leider NICHT korrekt aufgeschrieben, wenn du eine Gleichung hast, bei der du beide Seiten umformst, bis du ihre Gleichheit erkennst. Das hat man in der Schule immer so gemacht, ist aber sehr unsauber.
Schreibe die 1a) und 1b) in diesem Stil nochmal auf. Die beiden sind relativ einfach zumachen, laufen ganz analog zur 2).
Bei 3) ist der Ind. Schritt etwas etwas schwieriger, weil es eine Ungleichung ist, aber der Ind.Start, den du gemacht ist, ist schonmal richtig. (Aber richtig sauber aufgeschrieben wäre es so:
[mm] 2^5=32>25=5^2, [/mm] EINE Kette von Zeichen hintereinander. Klingt pingelig, ist es auch, aber nur so ist es mathem. sauber und korrekt.) Versuch dich ruhig mal am I.Schritt, wenns nicht klappt helf ich dir nochmal.
Bei der 4) ist dein I.Anfang so nicht richtig, weil du für a keine konkrete Zahl einsetzten darfst. Setze einfach für n=1 ein, dann steht der Start quasi schon da [mm] ((1+a)^1=1+a\ge1+a=1+1*a, [/mm] EINE Kette). Der I.Schritt dürfte wieder schwieriger sein. Du darfst für a nur benutzen, dass es grössergleich -1 ist, ansonsten musst du es allgemein stehen lassen (darfst keine konkrete Zahl einsetzten).
Bei der 5) brauchst du glaube ich keine Induktion machen, sondern sollst wohl eine allgemeine Formel entwickeln. Mein Tipp: schreib dir für n=1, n=2, n=3 und n=4 mal die Ergebnisse hin und schau mal, ob dir dann eine Formel einfällt (ob sie stimmt kannst du dann per Induktion überprüfen). Ich habs jetzt auch noch nicht gemacht, aber vielleicht ist es ja nicht so schwer.
Viel erfolg, Walde
|
|
|
|
