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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Do 08.03.2007 | | Autor: | juthe |
| Aufgabe | | Zeige dass n² [mm] \le 2^{n} [/mm] für jede natürliche Zahl n [mm] \not= [/mm] 3 |
Hallo alle zusammen,
Ich bin gerade am wiederholen um die Nachschreibeklausur zu bestehen, aber irgendwie will das Brett von meinem Kopf nicht runter, es hapert an solch einer einfachen Aufgabenstellung gerade :-(
Mein Indurktionsschritt ist : (n-1) [mm] \to [/mm] n
Vorraussetzung: (n-1)² [mm] \le 2^{n-1}
[/mm]
Behauptung: n² [mm] \le 2^{n}
[/mm]
Beweis:
(n-1)² [mm] \le 2^{n-1} [/mm] |*2
[mm] \gdw 2^{n} \ge [/mm] 2n²-4n+2
[mm] \gdw 2^{n} \ge [/mm] n²(2- [mm] \bruch{4n-2}{n²}) \ge [/mm] n² [mm] \forall n\ge [/mm] 4
reicht diese Abschätzung, ich weiß nämlich nicht wie ich sonst weiter machen soll. für die anderen Natürlichen Zahlen also 1-3 kann ich das doch ausrechenen. Ich finde nämlich keine andere Abschätzung, die diese Ungleichung beweisen könnte. Sollte ich noch ein abschließendes "Sätzchen" drunter?
Vielen Dank schon mal für die Hilfe,
Juthe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Do 08.03.2007 | | Autor: | juthe |
| Aufgabe | | Zeige, dass [mm] 2^{n}< [/mm] n! für jede natürliche Zahl [mm] \ge [/mm] 4 |
Hallo, hier habe ich in etwa das gleiche Problem wie eben, mein Beweis sieht bisher wie folgt aus:
[mm] 2^{n-1} [/mm] < (n-1)! | *2
[mm] \gdw 2^{n} [/mm] < 2(n-1)!
[mm] \gdw 2^{n} [/mm] < 2(n-1)! < n! da: 2(n-1)! < n! [mm] \gdw [/mm] 2 < n [mm] \forall n\ge3
[/mm]
Ich weiß nicht, ob diese Abschätzung genügt, da die Gleichung der Ausgangsstellung ja für jede natürliche Zahl [mm] \ge [/mm] 4 gilt, also nicht für drei.
Ich würde deshalb noch als kleinen Zusatz schreiben: da die Ungleichung nicht für n = 3 gilt, da [mm] 2^{3} [/mm] > 3! [mm] \gdw [/mm] 8>6
Vielen Dank schon mal im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 Do 08.03.2007 | | Autor: | Ankh |
Mein Indurktionsschritt ist : $n [mm] \to [/mm] (n+1)$
Vorraussetzung: $2n < n!$
Behauptung: $2(n+1)< (n+1)!$
Beweis:
$2(n+1)< (n+1)!$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$2n+2< n!(n+1)$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$2n+2< n!n+n!$
Mit Voraussetzung
$2n < n!$
bleibt
[mm] $2\leq [/mm] n!n$
Und das gilt offensichtlich für alle n > 3.
(Es gilt zwar auch für n=3, aber der Induktionsanfang ist ja 4.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Do 08.03.2007 | | Autor: | juthe |
| Aufgabe | Zeige, dass [mm] \forall [/mm] n [mm] \in [/mm] IN und [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (0,1) [mm] \in [/mm] IR die Ungleichung
[mm] (1-x)^{n} [/mm] < [mm] \bruch{1}{1+nx}
[/mm]
gilt. |
Auch hier habe ich das Problem, dass ich nicht weiß, ob mein Beweis, so wie er ist schon genügt.
Induktionsschritt : n [mm] \to [/mm] (n+1)
Beh. : [mm] (1-x)^{n+1} [/mm] < [mm] \bruch{1}{1+(n+1)x}
[/mm]
Bew.: [mm] (1-x)^{n} [/mm] < [mm] \bruch{1}{1+nx} [/mm] |*(1-x)
[mm] \gdw (1-x)^{n+1} [/mm] < [mm] \bruch{1-x}{1+nx}
[/mm]
[mm] \gdw (1-x)^{n+1} [/mm] < [mm] \bruch{(1-x)(1+x)}{(1+nx)(1+x)}
[/mm]
[mm] \gdw (1-x)^{n+1} [/mm] < [mm] \bruch{1-x²}{1+(n+1)x+nx²}
[/mm]
[mm] \gdw (1-x)^{n+1} [/mm] < [mm] \bruch{1}{1+(n+1)x+nx²} [/mm] - [mm] \bruch{x²}{1+(n+1)x+nx²} [/mm] < [mm] \bruch{1}{1+(n+1)x+nx²}< \bruch{1}{1+(n+1)x}
[/mm]
[mm] \gdw (1-x)^{n+1} [/mm] < [mm] \bruch{1}{1+(n+1)x}
[/mm]
Ist dieser Beweis so ausreichend? Viele Liebe Grüße Juthe
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Hallo noch einmal,
jo das sieht fast perfekt aus, ich würde nur noch die Ungleichungen begründen - so ganz ohne Kommentar gibt das in Übungen und Klausuren immer Punktabzüge 
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Do 08.03.2007 | | Autor: | juthe |
| Aufgabe | | Zum Zeigen: [mm] (1-x)^{n-1} [/mm] < [mm] \bruch{1}{1+(n+1)x} \forall n\in [/mm] IN , x [mm] \in(1,0) [/mm] |
danke für diese Antwort, aber damit ich es einmal richtig in meinen Unterlagen habe wollte ich eine letzte Rückmeldung ob es diese Antwort dann volle Punktzahl erzielen würde.
Beweis wie eben bis :
...
[mm] \gde (1-x)^{n+1} [/mm] < [mm] \bruch{1}{1+(n+1)x+nx²} [/mm] - [mm] \bruch{x²}{1+(n+1)x+nx²}< \bruch{1}{1+(n+1)x+nx²} [/mm] < [mm] \bruch{1}{1+(n+1)x} [/mm]
da : 1+(n+1)x+nx² > 1+(n+1)x | -(1+(n+1)x)
[mm] \gdw [/mm] nx² > 0 dies entspricht der Wahrheit, da n [mm] \in [/mm] IN und x²>0
[mm] \Rightarrow (1-x)^{n-1} [/mm] < [mm] \bruch{1}{1+(n+1)x} \forall n\in [/mm] IN , x [mm] \in(1,0) [/mm] da: je kleiner der Nenner eines Bruches wird, desto größer wird der Bruch selber.
Ende des Beweises mit voller Punktzahl? oder habe ich zu viel geschrieben?
100 Dank für eure Hilfe!
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*hehe*
jo: 9,5/10 Punkten
Vllt. noch zum zweiten Ungleichungszeichen die Begrüngung: Zähler und Nenner in [mm] \bruch{x^2}{blabla} [/mm] beide > 0, also was positives addiert und damit vergrößert.
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
dein Induktionsschritt von n-1 [mm] \rightarrow [/mm] n ist vollkommen ok,
ich würde es nur in der letzten Zeile etwas "eleganter" formulieren/begründen:
[mm] 2^n [/mm] < 2(n-1)! nach IV
< n(n-1)! für alle n > 2 (also insbesondere für alle [mm] n\ge [/mm] 4)
=n!
Gruß
schachuzipus
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Hallo juthe,
das sieht doch gut aus,
du solltest nur noch zeigen, dass die Abschätzung [mm] \left(2-\bruch{4n-2}{n^2}\right) \ge [/mm] 1 auch wirklich für alle [mm] n\ge [/mm] 4 gilt - falls du das nicht als trivial voraussetzt
Ansonsten ist das m.E ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
schachuzipus
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