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Hallo Leute.
Ich habe versucht folgendes durch Induktion zu beweise:
[mm] \produkt_{k=2}^{n}(1- \bruch{1}{k^{2}}) [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{2n}
[/mm]
also ich muss zuerst n= 2 setzen
es kommt [mm] \bruch{3}{4} [/mm] raus.
Dann nehme ich an, dass es für n allgemein gilt:
Und will beweisen, dass es auch für n+2 gilt:
[mm] \produkt_{k=2}^{n+2}(1- \bruch{1}{k^{2}}) [/mm] = [mm] \bruch{(n+2)+1}{2(n+2)} [/mm] = [mm] \bruch{n+3}{2n+4}...
[/mm]
ab da komme ich irgendwie nicht weiter.
Hatt vielleicht jemand einen Tipp, wie es weitergeht.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:42 Fr 10.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo mathenullhoch2,
> Hallo Leute.
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> Ich habe versucht folgendes durch Induktion zu beweise:
>
> [mm]\produkt_{k=2}^{n}(1- \bruch{1}{k^{2}})[/mm] =
> [mm]\bruch{n+1}{2n}
[/mm]
Wo hast du diese Vermutung wohl her? 
> also ich muss zuerst n= 2 setzen
>
> es kommt [mm]\bruch{3}{4}[/mm] raus.
Ich denke, du meinst das richtige. Aber genauer:
Für $n=2$ gilt einserseits
[mm]\produkt_{k=2}^{n}\left(1- \bruch{1}{k^{2}}\right)=\produkt_{k=2}^{2}\left(1- \bruch{1}{k^{2}}\right)=1-\frac{1}{2^2}=\frac{3}{4}[/mm]
und andererseits:
[mm] $\frac{n+1}{2n}=\frac{2+1}{2*2}=\frac{3}{4}$, [/mm] d.h. die Behauptung stimmt für $n=2$.
> Dann nehme ich an, dass es für n allgemein gilt:
>
> Und will beweisen, dass es auch für n+2 gilt:
>
> [mm]\produkt_{k=2}^{n+2}(1- \bruch{1}{k^{2}})[/mm] =
> [mm]\bruch{(n+2)+1}{2(n+2)}[/mm] = [mm]\bruch{n+3}{2n+4}...
[/mm]
Nein. Du musst doch den Induktionsschritt $n [mm] \mapsto [/mm] n+1$ machen. Wieso willst du $n [mm] \mapsto [/mm] n+2$ machen?
Also:
$n [mm] \mapsto [/mm] n+1$:
[mm]\produkt_{k=2}^{n+1}\left(1- \bruch{1}{k^{2}}\right)=\left[\produkt_{k=2}^{n}\left(1- \bruch{1}{k^{2}}\right)\right]*\left(1-\frac{1}{(n+1)²}\right)
\stackrel{I.V.}{=}\frac{n+1}{2n}*\left(\frac{(n+1)^2-1}{(n+1)²}\right)=...=\frac{(n+1)+1}{2(n+1)}\;\left(bzw.\;=\frac{n+2}{2(n+1)}\right)[/mm]
Schaffst du es, die $...$ zu ergänzen?
Viele Grüße,
Marcel
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Wie kann ich den Induktionsschritt für n+1 machen, wenn ich nicht zeigen kann, dass die Behauptung für n = 1 stimmt?
Oder sehe ich da was falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:51 Fr 10.12.2004 | | Autor: | Xenia |
für n+1,
[mm] \produkt_{k=2}^{n+1}(1- \bruch{1}{ k^{2}}) = \produkt_{k=2}^{n}(1- \bruch{1}{ k^{2}}) * (1- \bruch{1}{(n+1)^{2}}) = \bruch{n+1}{2n} * \bruch{ n^{2}+2n}{ (n+1)^{2}} = \bruch{n+2}{2(n+1)} = \bruch{(n+1)+1}{2(n+1)}[/mm]
alles klar?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:13 Fr 10.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo mathenullhoch2,
> Wie kann ich den Induktionsschritt für n+1 machen, wenn ich
> nicht zeigen kann, dass die Behauptung für n = 1 stimmt?
>
> Oder sehe ich da was falsch?
Du mußt doch nur zeigen, dass die Behauptung für alle $n [mm] \ge [/mm] 2$ gilt. Der Induktionsanfang ist $n=2$.
Der Induktionsschritt (Xenia hat die $...$ mittlerweile ergänzt) soll doch zeigen:
Wenn die Behauptung für ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt, dann auch für $n+1$.
Das heißt hier:
Wenn der Induktionsschritt $n [mm] \mapsto [/mm] n+1$ gelingt, dann gilt die Behauptung für alle $n [mm] \ge [/mm] 2$.
Denn:
Induktionsanfang zeigt:
Die Behauptung stimmt für $n=2$. Der Induktionsschritt zeigt dann:
Weil die Behauptung für $n=2$ gilt, gilt (wegen dem Induktionsschritt) sie auch für $n+1=3$.
Weil die Behauptung für $n=3$ gilt, gilt (wegen dem Induktionsschritt) sie auch für $n+1=4$.
Weil die Behauptung für $n=4$ gilt, gilt (wegen dem Induktionsschritt) sie auch für $n+1=5$.
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D.h., die Behauptung stimmt für alle $n [mm] \ge [/mm] 2$.
Wenn du den Induktionsschritt von $n [mm] \mapsto [/mm] n+2$ gemacht hättest, dann hättest du nur:
Die Behauptung stimmt für $n=2$.
Weil die Behauptung für $n=2$ gilt, gilt (wegen dem Induktionsschritt) sie auch für $n+2=4$.
Weil die Behauptung für $n=4$ gilt, gilt (wegen dem Induktionsschritt) sie auch für $n+2=6$.
Weil die Behauptung für $n=6$ gilt, gilt (wegen dem Induktionsschritt) sie auch für $n+2=8$.
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D.h. hier hätte (falls du es hinbekommen hättest) der Induktionsschritt [m]n \mapsto n+2[/m] nur gezeigt, dass die Behauptung für alle geraden natürlichen Zahlen (die 0 ist da nicht drin enthalten) gilt (da du ja den Induktionsanfang mit $n=2$ gestartet hast).
Viele Grüße,
Marcel
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