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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo !
Ich möchte zeigen, dass für gewisse Zahlen [mm] $K^n_m \in \IN$,n,m\in\IN [/mm] die der Rekursionsformel: [mm] $K^{n+1}_m=m*K^n_m+K^n_{m-1}$ [/mm] genügen, die folgende Formel für$ [mm] n,m\ge [/mm] 2$ gilt:
[mm] $K^n_m=\sum_{v=0}^{n-m}m^v*K^{n-(v+1)}_{m-1}$ [/mm]
[Es gilt übrigens auch für die [mm] K^n_m:
[/mm]
[mm] K^n_m=0 [/mm] falls m>n und [mm] K^n_n=1 [/mm] für alle n ]
Möchte dies mit Induktion nach n machen, aber ich komme einfach nichts an Ziel, müsste eigentlich nicht so schwer sein...grr..
Kann mir da jemand helfen?
VG
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:53 Mo 31.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Christian!
> Ich möchte zeigen, dass für gewisse Zahlen [mm]K^n_m \in \IN[/mm][mm] ,n,m\in\IN[/mm]
> die der Rekursionsformel: [mm]K^{n+1}_m=m*K^n_m+K^n_{m-1}[/mm]
> genügen, die folgende Formel für[mm] n,m\ge 2[/mm] gilt:
>
> [mm]K^n_m=\sum_{v=0}^{n-m}m^v*K^{n-(v+1)}_{m-1}[/mm]
>
> [Es gilt übrigens auch für die [mm]K^n_m:[/mm]
> [mm]K^n_m=0[/mm] falls m>n
Das brauchst du ebenfalls.
> Möchte dies mit Induktion nach n machen, aber ich komme
> einfach nichts an Ziel, müsste eigentlich nicht so schwer
> sein...grr..
Induktion nach $n$ ist eine gute Idee.
Fang doch z.B. so an: $ [mm] \sum_{v=0}^{n-m+1} m^v K_{m-1}^{n+1-(v+1)} [/mm] = [mm] \sum_{v=0}^{n-m+1} m^v [/mm] [ m [mm] K_{m-1}^{n-(v+1)} [/mm] + [mm] K_{m-2}^{n-(v+1)} [/mm] ] = m [mm] \sum_{v=0}^{n-m} m^v K_{m-1}^{n-(v+1)} [/mm] + [mm] m^{n-m+1} K_{m-1}^{n-((n-m+1)+1)} [/mm] + [mm] \sum_{v=0}^{n-(m-1)} m^v K_{(m-1)-1}^{n-(v+1)}$. [/mm] Jetzt kannst du Induktionsvoraussetzung und Rekursionsformel nutzen, und die weitere Bedingung die du genannt hast, und erhaelst schliesslich [mm] $K_m^{n+1}$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Di 01.09.2009 | | Autor: | Fry |
Danke,
also mit deinen Umformungen kommt das richtige raus.
Aber müsste es nicht
[mm] $\sum_{v=0}^{n-m+1} m^v K_{m-1}^{n+1-(v+1)} [/mm] = [mm] \sum_{v=0}^{n-m+1} m^v [/mm] [ (m-1) [mm] K_{m-1}^{n-(v+1)} [/mm] + [mm] K_{m-2}^{n-(v+1)} [/mm] ]$
lauten?
Dann erhalte ich allerdings ne zusätzliche Summe, mit der sich nix machen lässt.
Gruß
Christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 Di 01.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Christian!
> also mit deinen Umformungen kommt das richtige raus.
> Aber müsste es nicht
>
>
> [mm]\sum_{v=0}^{n-m+1} m^v K_{m-1}^{n+1-(v+1)} = \sum_{v=0}^{n-m+1} m^v [ (m-1) K_{m-1}^{n-(v+1)} + K_{m-2}^{n-(v+1)} ][/mm]
>
> lauten?
Ja, und den Fehler hab ich mehr als einmal gemacht.
Aber es geht offenbar noch viel einfacher:
[mm] $K_m^{n+1} [/mm] = m [mm] K_m^n [/mm] + [mm] K_{m-1}^n \overset{IV}{=} [/mm] m [mm] \sum_{v=0}^{n-m} m^v K_{m-1}^{n-(v+1)} [/mm] + [mm] K_{m-1}^n [/mm] = [mm] \sum_{v=1}^{n-m+1} m^v K_{m-1}^{n-v} [/mm] + [mm] K_{m-1}^n [/mm] = [mm] \sum_{v=0}^{n+1-m} m^v K_{m-1}^{n-v} [/mm] = [mm] \sum_{v=0}^{(n+1)-m} m^v K_{m-1}^{(n+1) - (v+1)}$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Mi 02.09.2009 | | Autor: | Fry |
Hey,
meine Güte...das ist nun wirklich sehr einfach....
Vielen Dank für deine Hilfe.
Könntest du mir vielleicht auch
für die Formeln
1. [mm] $K^n_m=\sum_{v=0}^{m-1}(m-v)K^{n-(v+1)}_{m-v}$ [/mm] für [mm] $n>m\ge [/mm] 1$
[mm] 2.$K^{n+1}_{m+1}=\sum_{v=0}^{n}\binom [/mm] n v [mm] K^{v}_m$
[/mm]
ein paar Tipps geben? Ich sitze da schon so lange davor...ohne Erfolg.
Wäre echt toll. Danke nochmal. :)
LG
Christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:38 Do 03.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Christian!
> meine Güte...das ist nun wirklich sehr einfach....
Ja, hat mich auch etwas ueberrascht 
> 2.[mm]K^{n+1}_{m+1}=\sum_{v=0}^{n}\binom n v K^{v}_m[/mm]
Ich hab so angefangen (Induktion nach $n$):
[mm] $K_{m+1}^{n+1} [/mm] = (m + 1) [mm] K_{m+1}^n [/mm] + [mm] K_m^n \overset{IV}{=} [/mm] (m + 1) [mm] \sum_{v=0}^{n-1} \binom{n - 1}{v} K_{m+1}^v [/mm] + [mm] \sum_{v=0}^{n-1} \binom{n - 1}{v} K_{m-1}^v [/mm] = [mm] \sum_{v=0}^{n-1} \binom{n - 1}{v} [/mm] [ (m + 1) [mm] K_m^v [/mm] + [mm] K_{m-1}^v [/mm] ] = [mm] \sum_{v=0}^{n-1} \binom{n - 1}{v} [/mm] [ [mm] K_m^v [/mm] + m [mm] K_m^v [/mm] + [mm] K_{m-1}^v [/mm] ] = [mm] \sum_{v=0}^{n-1} \binom{n - 1}{v} [/mm] [ [mm] K_m^v [/mm] + [mm] K_m^{v+1} [/mm] ]$.
Dann hab ich das in zwei Summen aufgeteilt, Indexverschiebung gemacht, wieder zusammengefasst (ersten und letzten Summand jeweils rausgenommen damit es passt) und dann die Additionsformel fuer Binomialkoeffizienten verwendet.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:44 Do 03.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Christian!
> 1. [mm]K^n_m=\sum_{v=0}^{m-1}(m-v)K^{n-(v+1)}_{m-v}[/mm] für
> [mm]n>m\ge 1[/mm]
Das ist sogar noch einfacher: es ist [mm] $K_m^n [/mm] = (m - 0) [mm] K_{m-0}^{n-(0+1)} [/mm] + [mm] K_{m-1}^{n-1}$. [/mm] Jetzt wende auf [mm] $K_{m-1}^{n-1}$ [/mm] die Induktionsvoraussetzung an, mache eine Indexverschiebung, und fass alles zusammen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:03 Do 03.09.2009 | | Autor: | Fry |
Hey Felix,
ein ganz großes Dankeschön an dich!
Bei sowas hab ich in letzter Zeit immer Tomaten auf den Augen : ).
LG
Christian
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