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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 So 15.11.2009 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | Wir definieren die Folge [mm] (b_{n})_{n\ge0} [/mm] rekursiv wie folgt :
- [mm] b_{0}:=0
[/mm]
- [mm] b_{1}:=1
[/mm]
- [mm] b_{n+1}:=b_{n}+b_{n-1} [/mm] , [mm] n\ge1 [/mm]
Beweisen Sie :
[mm] \forall n\in \IN [/mm] : [mm] b_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} ((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n} [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n}) [/mm] |
Also ich hab schonn gesehen dass [mm] b_{n+1}:=b_{n}+b_{n-1} [/mm] nach [mm] b_{n} [/mm] umgeselt wurde.
Erst kommt der Induktionsanfang :
für [mm] b_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} ((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{1} [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{1}) [/mm] = 1
Dann [mm] b_{n+1} [/mm] = [mm] b_{1} [/mm] + [mm] b_{0}
[/mm]
Also [mm] b_{n+1}= b_{n=1} [/mm] + [mm] b_{n=1, 1-1=0}
[/mm]
Bin ich da richtig ??
wär dann [mm] b_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} ((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{1} [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{1}) [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} ((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{1} [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{1}) [/mm]
??????????????? Kann mir da einer vielleicht helfen ????
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Hallo!
> Wir definieren die Folge [mm](b_{n})_{n\ge0}[/mm] rekursiv wie folgt
> :
> - [mm]b_{0}:=0[/mm]
> - [mm]b_{1}:=1[/mm]
> - [mm]b_{n+1}:=b_{n}+b_{n-1}[/mm] , [mm]n\ge1[/mm]
>
> Beweisen Sie :
>
> [mm]\forall n\in \IN[/mm] : [mm]b_{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}} ((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n}[/mm]
> - [mm](\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n})[/mm]
> Also ich hab schonn gesehen dass [mm]b_{n+1}:=b_{n}+b_{n-1}[/mm]
> nach [mm]b_{n}[/mm] umgeselt wurde.
>
> Erst kommt der Induktionsanfang :
>
> für [mm]b_{1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}} ((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{1}[/mm]
> - [mm](\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{1})[/mm] = 1
>
> Dann [mm]b_{n+1}[/mm] = [mm]b_{1}[/mm] + [mm]b_{0}[/mm]
> Also [mm]b_{n+1}= b_{n=1}[/mm] + [mm]b_{n=1, 1-1=0}[/mm]
>
> Bin ich da richtig ??
Der IA beginnt bei n = 0 und n=1, also solltest du schreiben:
[mm] $\bruch{1}{\wurzel{5}}*\left( \left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right)^{0}-\left(\bruch{1-\wurzel{5}}{2}\right)^{0}\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}*(1-1) [/mm] = 0:= [mm] b_{0}$
[/mm]
w.A.
und
[mm] $\bruch{1}{\wurzel{5}}*\left( \left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right)^{1}-\left(\bruch{1-\wurzel{5}}{2}\right)^{1}\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}*\left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}-\bruch{1-\wurzel{5}}{2}\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}*\left(\frac{2*\sqrt{5}}{2}\right) [/mm] = 1:= [mm] b_{1}$
[/mm]
w.A.
Du weißt nun, dass die Aussage für alle Zahlen < (n+1) gilt, und musst nun nachweisen dass die Aussage dann auch für n+1 gilt.
Beginne so:
[mm] $b_{n+1} [/mm] = [mm] b_{n} [/mm] + [mm] b_{n-1} \overset{IV}{=} [/mm] ... = ... = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}*\left( \left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\bruch{1-\wurzel{5}}{2}\right)^{n+1}\right)$
[/mm]
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 So 15.11.2009 | | Autor: | Ayame |
Ok also ,
[mm] b_{n+1} [/mm] = [mm] b_{n}+b_{n-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}* ((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n} [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n}) [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}* ((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-1} [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n-1} [/mm]
Könnte da mir jemand einen tipp geben wie ich hier am besten umforme ?
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Hallo!
> Ok also ,
>
> [mm]b_{n+1}[/mm] = [mm]b_{n}+b_{n-1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}}* ((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n}[/mm]
> - [mm](\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n})[/mm] + [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}}* ((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-1}[/mm]
> - [mm](\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n-1}[/mm]
>
> Könnte da mir jemand einen tipp geben wie ich hier am
> besten umforme ?
Hast du denn überhaupt keine Idee? Ein bisschen auf dem Zettel rumgerechnet vielleicht?
Ich würde als erstes [mm] \sqrt{1}{\sqrt{5}} [/mm] ausklammern. Dann kannst du in der Klammer die Summanden umordnen, sodass da steht:
[mm] $b_{n+1} [/mm] = [mm] b_{n}+b_{n-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}* \left(\left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right)^{n} - \left(\bruch{1-\wurzel{5}}{2}\right)^{n}\right) [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}* \left(\left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right)^{n-1} - \left(\bruch{1-\wurzel{5}}{2}\right)^{n-1}\right)$
[/mm]
$ = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}* \left(\left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right)^{n} - \left(\bruch{1-\wurzel{5}}{2}\right)^{n} + \left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right)^{n-1} - \left(\bruch{1-\wurzel{5}}{2}\right)^{n-1}\right)$
[/mm]
$ = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}* \left(\left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right)^{n} + \left(\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right)^{n-1} - \left(\bruch{1-\wurzel{5}}{2}\right)^{n} - \left(\bruch{1-\wurzel{5}}{2}\right)^{n-1}\right)$
[/mm]
Nun kannst du in den ersten beiden Summanden und in den letzten beiden Summanden jeweils [mm] (...)^{n-1} [/mm] ausklammern.
Und dann musst du eben ein wenig probieren, wie es funktionieren könnte. Das sind meine Ideen dazu.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 So 15.11.2009 | | Autor: | Ayame |
AHH super jetzt hab ichs ^^ das ausklammern hab ich auch gesehen aber nicht wirklich als lösung in erwegung gezogen.
= [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}* [/mm] ( [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-1} [/mm] + [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-1} [/mm] + [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{1} [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n-1} [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n-1} [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{1})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} [/mm] * [mm] (2*(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-1} [/mm] + 1 - 2* [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n-1} [/mm] - 1)
= [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} [/mm] * [mm] (2*(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-1} [/mm] - 2 [mm] *(\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n-1})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} [/mm] * ( [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-1+2} [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n-1+2} [/mm] )
= [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} [/mm] * [mm] ((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+1} [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n+1})
[/mm]
noch mal Danke !!
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Hallo!
Achtung! So, wie im Moment da steht, ist es falsch!
> = [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}}*[/mm] ( [mm](\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-1}[/mm]
> + [mm](\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-1}[/mm] [mm] \red{+} [/mm]
> [mm](\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{1}[/mm] -
> [mm](\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n-1}[/mm] -
> [mm](\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n-1}[/mm] [mm] \red{-} [/mm]
> [mm](\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{1})[/mm]
Die rot markierten Operationszeichen müssten Mal-Zeichen sein!
Du musst nun erst ausklammern, und dann wie in iks's Post dargelegt zeigen, dass
$1 + [mm] \frac{1+\sqrt{5}}{2} [/mm] = [mm] \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2}$
[/mm]
ist.
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 So 15.11.2009 | | Autor: | iks |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Ayame!
Nur als Anmerkung zum Tipp von Stefan. Bei induktiven Beweisen weißt du doch Gott sei Dank schon wo du hin willst. Also kannst du das zu zeigende als Anhaltspunkt nehmen - für die Schritte, die folgen könnten.
Darum also auch als erstes $\frac{1}{\sqrt{5}$ ausklammern usw.
Der Schritt $\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}$ bzw $\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}$ auszuklammern ist dann ebenso augenscheinlich.
Nun ist $\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}*\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2}$. Wäre also naheliegend in einer Nebenrechnung zu prüfen,
ob $\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2}=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}+1\right)$ gilt (beim zweiten Summanden dann analog) oder?
Wenn das gelingt mußt du alles nur noch vernünftig aufschreiben und fertig
mFg iks
PS: Wie immer bei Kochrezepten kann die beschriebene Vorgehensweise (jedoch nicht in diesem Fall  ) auch mal schiefgehen. Im Allgemeinen ist es aber ein Versuch wert.
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