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| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass n [mm] \ge [/mm] 1 Kreise die Ebene in [mm] n^{2} [/mm] - n +2 Regionen unterteilt. Dabei sollen sich je zwei Kreise in genau 2 Punkten schneiden , aber keine 3 Kreise einen gemeinsamen Punkt haben. |
Hallo,
mein Beweis:
Induktionsanker: n = 1
=> [mm] n^{1} [/mm] - 1 + 2 = 2. (Stimmt, denn wenn man es zeichnet , entstehen 2 Regionen )
Induktionsvoraussetzung:
Annahme , gilt für [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN. [/mm] Beim Zeichnen von n+1 Kreisen entstehen genau 2n viele "Kreisbögen".
Induktionsschritt:
n -> n+1
[mm] n^{2} [/mm] - n +2 +2n = [mm] (n+1)^{2} [/mm] - (n+1) + 2
[mm] \Box
[/mm]
Das war im Prinzip nur bisschen umformen, so habe ich das doch jetzt bewiesen, dass es für alle n [mm] \in \IN [/mm] gelten muss , oder ?
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Hallo,
> Beweisen Sie, dass n [mm]\ge[/mm] 1 Kreise die Ebene in [mm]n^{2}[/mm] - n +2
> Regionen unterteilt. Dabei sollen sich je zwei Kreise in
> genau 2 Punkten schneiden , aber keine 3 Kreise einen
> gemeinsamen Punkt haben.
>
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> Hallo,
>
> mein Beweis:
>
> Induktionsanker: n = 1
> => [mm]n^{1}[/mm] - 1 + 2 = 2. (Stimmt, denn wenn man es zeichnet ,
> entstehen 2 Regionen )
>
> Induktionsvoraussetzung:
> Annahme , gilt für [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN.[/mm] Beim Zeichnen von
> n+1 Kreisen entstehen genau 2n viele "Kreisbögen".
>
> Induktionsschritt:
> n -> n+1
>
> [mm]n^{2}[/mm] - n +2 +2n = [mm](n+1)^{2}[/mm] - (n+1) + 2
> [mm]\Box[/mm]
>
> Das war im Prinzip nur bisschen umformen, so habe ich das
> doch jetzt bewiesen, dass es für alle n [mm]\in \IN[/mm] gelten
> muss , oder ?
Im Prinzip ja. Aber für mich sind die +2n in deinem Induktionsschritt schon einer kleinen Erklärung bedürftig. Sonst kommen die total aus dem Nichts, dann kann man auch sagen, dass das jeder behaupten könne...
Also: formal im Sinne eines Induktionsbeweises richtig, aber in Sachen Nachvollziehbarkeit schon nah am Bereich 'Thema verfehlt'. Meiner bescheidenen Meinung nach jedenfalls.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:57 Do 05.12.2013 | | Autor: | pc_doctor |
Hallo,
danke für die Antwort.
Ich habe das jetzt alles lasch formuliert , weil mir die Formalität wichtiger war. In der Klausur formuliere ich es besser , so dass man es nachvollziehen kann.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:02 Do 05.12.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo pc-doctor,
> Hallo,
> danke für die Antwort.
>
> Ich habe das jetzt alles lasch formuliert , weil mir die
> Formalität wichtiger war. In der Klausur formuliere ich es
> besser , so dass man es nachvollziehen kann.
Das find ich jetzt irgendwie bemerkenswert. Du möchtest hier Hilfe haben (dazu ist das Forum da). Du hast es aber nicht nötig, deine Fragen mit der gebührenden Gründlichkeit zu formulieren?
Ich möchte dich höflich dazu auffordern, diese Einstellung einmal gründlich zu überdenken.
Ich sage dir weiter dazu: ich mache das hier freiwillig (alle anderen auch) und es ist durchaus so, dass ich gerade auch zig andere sinnvolle Dinge tun könnte...
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:38 Do 05.12.2013 | | Autor: | pc_doctor |
Hallo,
nein bitte nicht falsch verstehen.
Mir geht es darum, dass der Beweis an sich stimmt.
Das mit +2n habe ich so lasch formuliert , weil ich davon ausging , dass ihr das sowieso wisst.
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