Induktion 3^n >= n+1 < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie durch vollständige Induktion:
[mm] 3^{n} \ge [/mm] n+1 n [mm] \in \IN [/mm] |
Ich habe hier eine Idee weiss aber nicht ob sie stimmt (mir kommt es irgendwie komisch vor):
Ich schreibs mal "strukturiert" wie in der Schule auf:
IA:
n=1
[mm] 3^{1} [/mm] = 3 [mm] \ge [/mm] (1+1) = 2 passt.
IV: [mm] 3^{n} \ge [/mm] (n+1)
Zu zeigen: [mm] 3^{n+1} \ge [/mm] n+2
[mm] 3^{n+1} [/mm] = [mm] 3^{n} [/mm] * 3 [mm] \ge [/mm] (n+1)*3 (wegen IV)
= (3n + 3) >= n+2
Gerade der letzte Schritt, dass 3n+3 >= n+2 ist...keine Ahnung das ist irgendwie seltsam, kann man so überhaupt agumentieren? oO
Lg.
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Hi,
> Beweisen Sie durch vollständige Induktion:
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> [mm]3^{n} \ge[/mm] n+1 n [mm]\in \IN[/mm]
> Ich habe hier eine Idee weiss
> aber nicht ob sie stimmt (mir kommt es irgendwie komisch
> vor):
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> Ich schreibs mal "strukturiert" wie in der Schule auf:
>
> IA:
>
> n=1
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> [mm]3^{1}[/mm] = 3 [mm]\ge[/mm] (1+1) = 2 passt.
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> IV: [mm]3^{n} \ge[/mm] (n+1)
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> Zu zeigen: [mm]3^{n+1} \ge[/mm] n+2
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> [mm]3^{n+1}[/mm] = [mm]3^{n}[/mm] * 3 [mm]\ge[/mm] (n+1)*3 (wegen IV)
> = (3n + 3) >= n+2
>
> Gerade der letzte Schritt, dass 3n+3 >= n+2 ist...keine
> Ahnung das ist irgendwie seltsam, kann man so überhaupt
> agumentieren? oO
warum denn nicht? wende doch mal dein schulwissen zum umformen von (un-)gleichungen an, um herauszufinden, fuer welche n diese ungleichung erfuellt ist.
gruss
matthias
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> Beweisen Sie durch vollständige Induktion:
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> [mm]3^{n} \ge[/mm] n+1 n [mm]\in \IN[/mm]
> Ich habe hier eine Idee weiss
> aber nicht ob sie stimmt (mir kommt es irgendwie komisch
> vor):
>
> Ich schreibs mal "strukturiert" wie in der Schule auf:
>
> IA:
>
> n=1
>
> [mm]3^{1}[/mm] = 3 [mm]\ge[/mm] (1+1) = 2 passt.
>
> IV: [mm]3^{n} \ge[/mm] (n+1)
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> Zu zeigen: [mm]3^{n+1} \ge[/mm] n+2
>
> [mm]3^{n+1}[/mm] = [mm]3^{n}[/mm] * 3 [mm]\ge[/mm] (n+1)*3 (wegen IV)
> = (3n + 3) >= n+2
Hey, du kannst ja auch in zwei Schritten abschätzen, wenns dann deutlicher für dich wird:
3n+3 [mm] \ge [/mm] 3n+2 [mm] \ge [/mm] n+2
Dann sollte es offensichtlich sein, dass die Abschätzung stimmt.
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> Gerade der letzte Schritt, dass 3n+3 >= n+2 ist...keine
> Ahnung das ist irgendwie seltsam, kann man so überhaupt
> agumentieren? oO
>
> Lg.
Gruß Patrick
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