Induktion, Binomialkoeffizient < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:51 Mi 26.10.2005 | | Autor: | Franzie |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo ihr Mathematiker!
Ich brauch mal einen Lösungsanstoß zu folgendem induktionsbeweis:
[mm] $\sum_{k=0}^{n}{\frac{\left(-1\right)^{k}}{k+1}\binom{n}{k}} [/mm] = [mm] \frac{1}{n+1}$
[/mm]
den induktionsanfang hab ich bereits, mir fehlt nur die richtige idee zur umformung der behauptung.
ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
EDIT: Summe lesbar gemacht. 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:49 Do 27.10.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Formel ist unlesbar, benutz doch unsern Formeleditor, ich seh nichts von Binomial.
Allgemeiner Rat: machs für 2 und 3 und dann siehst du meist schon, wie die Induktion laufen kann.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Do 27.10.2005 | | Autor: | Franzie |
Weiß nicht so genau, wie ich weitermachen soll. theoretisch muss ich doch eigentlich die linke seite vom gleichheitszeichen nur irgendwie günstig umformen.
hab den binomialkoeffizienten umgeformt, bis nur noch die fakultäten übrig bleiben. aber hilft mir das weiter?
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> Weiß nicht so genau, wie ich weitermachen soll. theoretisch
> muss ich doch eigentlich die linke seite vom
> gleichheitszeichen nur irgendwie günstig umformen.
> hab den binomialkoeffizienten umgeformt, bis nur noch die
> fakultäten übrig bleiben. aber hilft mir das weiter?
Hallo,
den Induktionsanfang, n=0 hast Du, ja?
Dann mußt Du für den Induktionsschluß mit [mm] \summe_{i=0}^{n+1} [/mm] weitermachen, mit dem Ziel, schließlich auf [mm] \bruch{1}{(n+1)+1} [/mm] zu kommen. Unbedingt irgendwo die Induktionsvoraussetzung einbringen...
Kannst ja mal zeigen, wie weit Du gekommen bist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Do 27.10.2005 | | Autor: | Franzie |
also für n=0 das hab ich gemacht, funktioniert auch, also induktionsanfang schon mal gesichert. dann weiß ich noch:
[mm] ((-1)^k)/(k+1)*\vektor{n+1 \\ k}=1/(n+2)
[/mm]
aber wie forme ich das günstig um, um die voraussetzung mit einzubauen.
hab dann noch folgendes mir überlegt:
[mm] \vektor{n\\ k}=(n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1))/k!=n!/(k!*(n-k)!)
[/mm]
aber hilft mir das weiter?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:17 Do 27.10.2005 | | Autor: | Franzie |
sorry, hab die formel falsch geschrieben.
also nach dem induktionsanfang hab ich so weitergemacht:
[mm] ((-1)^k)/(1+k)* \vektor{n+1\\ k}=1/(n+2)
[/mm]
aber hier hänge ich jetzt. hab noch den binomialkoeffizienten umgeformt zu
[mm] \vektor{n \\ k}=(n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1))/(k!)=n!/(k!*(n-k!))
[/mm]
aber hilft mir das irgendwie weiter?
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Hallo Franzie,
Deine Summenzeichen sind weg!!!!
Im Induktionsschluß wäre
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}[/mm] [mm]((-1)^k)/(k+1)*\vektor{n+1 \\ k}=1/(n+2)[/mm]
zu zeigen.
Ich hatte 'ne gaaaaaaanz lange Antwort für Dich, toll erklärt, mit Pipapo - doch plötzlich gab's 'ne Stelle, da ging's nicht mehr weiter...
Gruß v. Angela
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Hallo,
jetzt ist mir etwas eingefallen!
In Vorlesung oder Übung kam bestimmt vor, daß [mm] \summe_{k=0}^{n}(-1)^k \vektor{n \\ k}=0 [/mm] für alle n [mm] \in [/mm] IN \ {0}. (Falls nicht: zeigen. Das ist einfach.) Also gilt für alle n [mm] \in [/mm] IN [mm] \summe_{k=0}^{n+1}(-1)^k \vektor{n+1 \\ k}=0
[/mm]
Nun ist [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^k}{k+1} \vektor{n \\ k}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{n+1} \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^k(n+1)}{k+1} \vektor{n \\ k} [/mm]
[mm] =\bruch{1}{n+1} \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^k(n+1)}{k+1} \bruch{n!}{k!(n-k)!}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{n+1} \summe_{k=0}^{n}(-1)^k \vektor{n+1 \\ k+1}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{n+1} \summe_{k=1}^{n+1}(-1)^{k-1} \vektor{n+1 \\ k}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{n+1}(1+ \summe_{k=0}^{n+1}(-1)^{k-1} \vektor{n+1 \\ k})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{n+1}(1+0) [/mm] wegen s.o.
[mm] =\bruch{1}{n+1}
[/mm]
Gruß v. Angela
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