Induktion, Folgen, Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:47 Sa 03.11.2012 | | Autor: | zjay |
Guten Abend Leute,
ich hab mit meiner Lerngruppe zu den Aufgaben 5, 6a und 6b den ersten Teil etwas erarbeitet. Ich würde gerne eure Kommentare dazu hören, ob die Aufgaben zur Zufriedenheit gelöst wurden und alles formal richtig ist.
Anbe die Links zu den Zetteln. Zettel 1 und 2 sind die Aufgabenblätter.
Ps: Hätte jemand eine Idee/ Ansatz für Aufgabe 7a? Mit den andern Aufgaben werde ich mich morgen beschäftigen und hoffe da auf eure Mithilfe.
Grüße,
zjay.
die Aufgabenzettel:
http://s14.directupload.net/file/d/3063/ertz9kni_jpg.htm
http://s14.directupload.net/file/d/3063/h8djsq2c_jpg.htm
meine Ansätze:
http://s7.directupload.net/file/d/3063/pjpsal3w_jpg.htm
http://s7.directupload.net/file/d/3063/brqsqebs_jpg.htm
http://s7.directupload.net/file/d/3063/z25kqwmp_jpg.htm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:52 Sa 03.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo zjay,
so läuft das hier nicht. Niemand hat Lust, sich fünf Scans herunterzuladen und dann Anmerkungen zu tippen, für die man nicht einmal auf Deine Texteingabe zurückgreifen kann. Wir haben hier alle etwas Besseres zu tun, als für irgendjemanden die kostenlose Sekretärin zu machen. Das Forum wird, wie Dir hoffentlich klar ist, komplett von Ehrenamtlichen betrieben.
Wenn Du eine spezifische Frage hast, kannst Du sie natürlich gerne stellen und wirst auch eine Antwort bekommen, aber so wohl nicht.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 Sa 03.11.2012 | | Autor: | zjay |
achso gut okay. ich dachte dass man einfach nur überfliegen könnte ob die beweise richtig wären, weil ich gerne eine bestätigung hätte.
aber dann werd ich einfach mal alles abtippen.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Sa 03.11.2012 | | Autor: | zjay |
| Aufgabe | Zeigen Sie: Für [mm] x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n} \in \IR [/mm] mit [mm] x_{k} \ge [/mm] 0, k [mm] \in [/mm] {1,...,n}, gilt
[mm] \produkt_{i=1}^{n}(1+x_{k}) \ge [/mm] 1 + [mm] \summe_{i=1}^{n} x_{k}
[/mm]
6.)
Auf dem Intervall I [mm] =[0,\infty] [/mm] := {x [mm] \in \IR [/mm] : x [mm] \ge [/mm] 0} betrachten wir die Funktion f:I -> [mm] \IR, [/mm] f(x) := [mm] \bruch{x}{1+x}
[/mm]
Zeigen Sie:
Die Funktion f ist streng monoton wachsend, d.h. für alle 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] y gilt
[mm] \bruch{x}{1+x} [/mm] = f(x) < f(y) = [mm] \bruch{y}{1+y}
[/mm]
b) Die Funktion f ist subadditiv, d.h. für alle x,y [mm] \ge [/mm] 0 gilt
f(x+y) [mm] \ge [/mm] f(x) + f(y)
Folgern Sie hieraus außerdem die Richtigkeit von [mm] \bruch{|x-y|}{1+|x-y|} \le \bruch{|x|}{|1+x|} [/mm] + [mm] \bruch{|y|}{|1+y|}, \forall [/mm] x,y [mm] \in \IR [/mm] |
IV: [mm] \produkt_{i=1}^{n} (1+x_{k}) \ge [/mm] 1 + [mm] \summe_{i=1}^{n} x_{k}
[/mm]
IA: n=1
1+1 [mm] \ge [/mm] 1+1
IS:
n -> n+1
Rechte Seite:
1+ [mm] \summe_{i=1}^{n+1} x_{k} [/mm] = 1+ [mm] \summe_{i=1}^{n} x_{k} [/mm] + [mm] x_{n+1} \le \produkt_{i=1}^{n}(1+x_{k}) [/mm] + [mm] x_{n+1}
[/mm]
Da [mm] \produkt_{i=1}^{n}(1+x_{k}) +x_{n+1} [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n+1}(1+x_{k}), [/mm] gilt
[mm] \produkt_{i=1}^{n+1}(1+x_{k}) \ge \summe_{i=1}^{n+1} x_{k}
[/mm]
q.e.d.
6a)
Dass x,y > 0 ist, lässt sich ganz leicht aus den Anordnungsaxiomen ableiten.
Meine Frage ist:
Ist es erlaubt für y die Annahme zu treffen, dass y :=x+n ist? mit [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IR. [/mm]
Denn dann erhalte ich durch Umformung
[mm] \bruch{x}{1+x} [/mm] < [mm] \bruch{x+n}{1+x+n}
[/mm]
bei 6b) und 7a) hätte ich gerne einen Tipp bzw. einen Hinweis wie ich am besten vorzugehen habe. Ich stehe da gerad blöderweise auf dem Schlauch.
Der Vorschlag meiner Lerngruppe zu 6b (dem ersten Teil) war es f(x+y) = [mm] \bruch{x+y}{1+x+y} [/mm] zu setzen und [mm] \bruch{x+y}{1+x+y} \le \bruch{x}{1+x} [/mm] + [mm] \bruch{y}{1+y}. [/mm] Durch Umformung erhielt ich da 0 /le 2xy+x²y+xy². Darf man für f(x+y) = [mm] \bruch{x+y}{1+x+y} [/mm] einsetzen?
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> Zeigen Sie: Für [mm]x_{1},[/mm] ..., [mm]x_{n} \in \IR[/mm] mit [mm]x_{k} \ge[/mm] 0,
> k [mm]\in[/mm] {1,...,n}, gilt
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{n}(1+x_{k}) \ge[/mm] 1 + [mm]\summe_{i=1}^{n} x_{k}[/mm]
>
> 6.)
> Auf dem Intervall I [mm]=[0,\infty][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= {x [mm]\in \IR[/mm] : x [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0}
> betrachten wir die Funktion f:I -> [mm]\IR,[/mm] f(x) :=
> [mm]\bruch{x}{1+x}[/mm]
> Zeigen Sie:
>
> Die Funktion f ist streng monoton wachsend, d.h. für alle
> 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] y gilt
>
> [mm]\bruch{x}{1+x}[/mm] = f(x) < f(y) = [mm]\bruch{y}{1+y}[/mm]
>
> b) Die Funktion f ist subadditiv, d.h. für alle x,y [mm]\ge[/mm] 0
> gilt
>
> f(x+y) [mm]\ge[/mm] f(x) + f(y)
>
> Folgern Sie hieraus außerdem die Richtigkeit von
> [mm]\bruch{|x-y|}{1+|x-y|} \le \bruch{|x|}{|1+x|}[/mm] +
> [mm]\bruch{|y|}{|1+y|}, \forall[/mm] x,y [mm]\in \IR[/mm]
Hallo,
Behauptung: für alle [mm] n\in \IN [/mm] gilt
> [mm]\produkt_{i=1}^{n} (1+x_{k}) \ge[/mm] 1 + [mm]\summe_{i=1}^{n} x_{k}[/mm]
>
> IA: n=1
>
> [mm] 1+\red{x_1}[/mm] [mm]\ge[/mm] [mm] 1+\red{x_1}
[/mm]
IV: es gelte [mm] $\produkt_{i=1}^{n} (1+x_{k}) \ge$ [/mm] 1 + [mm] $\summe_{i=1}^{n} x_{k}$ [/mm] für ein [mm] n\in \IN.
[/mm]
>
> IS:
>
> n -> n+1
>
> Rechte Seite:
>
> 1+ [mm]\summe_{i=1}^{n+1} x_{k}[/mm] = 1+ [mm]\summe_{i=1}^{n} x_{k}[/mm] + [mm]x_{n+1} \le \produkt_{i=1}^{n}(1+x_{k})[/mm] + [mm]x_{n+1}[/mm]
>
> Da [mm]\produkt_{i=1}^{n}(1+x_{k}) +x_{n+1}[/mm] = [mm]\produkt_{i=1}^{n+1}(1+x_{k}),[/mm]
Diese Gleichheit sehe ich nicht.
Du brauchst sie aber auch nicht, sondern müßtest bloß glaubhaft machen, daß
[mm] $\produkt_{i=1}^{n}(1+x_{k}) +x_{n+1}$ \le $\produkt_{i=1}^{n+1}(1+x_{k}).$
[/mm]
> gilt
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{n+1}(1+x_{k}) \ge \summe_{i=1}^{n+1} x_{k}[/mm]
>
> q.e.d.
>
>
> 6a)
>
> Dass x,y > 0 ist, lässt sich ganz leicht aus den
> Anordnungsaxiomen ableiten.
Was meinst Du damit? Das setzt man doch voraus.
>
> Meine Frage ist:
>
> Ist es erlaubt für y die Annahme zu treffen, dass y :=x+n
> ist? mit [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IR.[/mm]
Du willst, weil [mm] y>x\ge [/mm] 0 y schreiben als y=x+n mit [mm] n\ge [/mm] 0.
Das geht: sei y>x. dann gibt es ein n>0 mit y=x+n.
>
> Denn dann erhalte ich durch Umformung
>
> [mm]\bruch{x}{1+x}[/mm] < [mm]\bruch{x+n}{1+x+n}[/mm]
>
> bei 6b) und 7a)
7a) sehe ich nicht.
> hätte ich gerne einen Tipp bzw. einen
> Hinweis wie ich am besten vorzugehen habe. Ich stehe da
> gerad blöderweise auf dem Schlauch.
>
> Der Vorschlag meiner Lerngruppe zu 6b (dem ersten Teil) war
> es f(x+y) = [mm]\bruch{x+y}{1+x+y}[/mm] zu setzen und
> [mm]\bruch{x+y}{1+x+y} \le \bruch{x}{1+x}[/mm] + [mm]\bruch{y}{1+y}.[/mm]
zu zeigen.
> Durch Umformung erhielt ich da 0 /le 2xy+x²y+xy².
Hab' ich nicht geprüft.
> Darf
> man für f(x+y) = [mm]\bruch{x+y}{1+x+y}[/mm] einsetzen?
Natürlich. f(x+y) bedeutet doch: Funktionsvorschrift auf x+y anwenden!
LG Angela
>
>
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 18:47 So 04.11.2012 | | Autor: | zjay |
| Aufgabe | Also hier nochmal Aufgabe 7a)
Sei A eine beschränkte Teilmenge von [mm] \IR+ [/mm] = [mm] \{x \in \IR | x > 0\}. [/mm] Zeigen Sie
sup A = (inf [mm] (A^{-1}))^{-1}, [/mm] wobei [mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \{ x^{-1} | x\in A\}.
[/mm]
Gilt die Aussage auch für Teilmengen von [mm] \IR [/mm] \ {0}? Begründen Sie Ihre Antwort.
b) Untersuchen Sie, ob die Mengen M1, M2 ein Supremum, Infimum, Maximum oder Minimum besitzen und geben Sie diese an, falls vorhanden:
M1 = [mm] \IQ \cap [0,\wurzel{2}], [/mm] M2 = [mm] \{\bruch{1}{n} : n\in \IN\}.
[/mm]
Begründen Sie Ihre Antwort sorgfältig. |
Also bei Aufgabe a) habe ich bisher für [mm] A^{-1} [/mm] = [mm] x^{-1} [/mm] eingesetzt, sodass ich
sup A = [mm] \bruch{1}{inf \bruch{1}{x}} [/mm] erhalte. An dieser Stelle komme ich nicht weiter.
b) Bei b) weiß ich, dass M1 [mm] \wurzel{2} [/mm] als Supremum , 0 als Infimum und Minimum besitzt. M2 hat 1 als Supremum und kein Maximum, da [mm] \wurzel{2} \not\in \IQ, [/mm] und 0 als Infimum und kein Minimum.
Reicht es aus, wenn ich sage, dass 0 eine untere Schranke ist und keine größere untere Schranke existiert? (x>0, es existiert y [mm] \in [/mm] M1 mit y<x). M1 besitzt ein Minimum weil inf M1 [mm] \in [/mm] M1 ist. Min M1 =0=inf M1. So haben wir es nämlich in der Übung gemacht.
Analog dazu ist [mm] \wurzel{2} [/mm] das Supremum, weil es eine obere Schranke ist. Wenn x<1 existiert y [mm] \in [/mm] M1 mit x<y, d.h. x ist keine obere schranke. Somit ist 1 die kleinste obere schranke.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 So 04.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo zjay,
in Latex schreibt man "sichtbare Mengenklammern" so:
$\{\}$ - also mit vorangegangenem Backslash!
(Die Dollar Grenzen mathematischen Text ein - du kannst das hier auch mit
[mm]...[/mm] machen!)
An Stellen, wo ich das gesehen habe, habe ich das korrigiert...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 So 04.11.2012 | | Autor: | zjay |
| Aufgabe | b) Die Funktion f ist subadditiv, d.h. für alle x,y [mm] \ge [/mm] 0 gilt
f(x+y) [mm] \ge [/mm] f(x) + f(y)
Folgern Sie hieraus außerdem die Richtigkeit von [mm] \bruch{|x-y|}{1+|x-y|} \le \bruch{|x|}{|1+x|} [/mm] + [mm] \bruch{|y|}{|1+y|}, \forall [/mm] x,y [mm] \in \IR [/mm] |
Meine Fragen zu Aufgabe 7 bestehen noch, aber ich hätte jetzt eine Nachfrage zum zweiten Teil von 6b)
Ich habe es mit einer Fallunterscheidung versucht.
Für x>y>0 kann ich die Betragsstriche weglassen und die Nenner "wegmultiplizieren".
Ich erhalte (x-y)(1+x)(1+y) [mm] \le [/mm] (x+y+2xy)(1+x-y)
Durch Ausmultiplizieren und umformen erhalte ich -x²y+xy²-2xy-2y [mm] \le [/mm] 0
Durch Umformung erhalte ich xy² [mm] \le [/mm] x²y+2xy+2y.
Da x>y, ist diese Aussage richtig.
Am zweiten Fall arbeite ich gerade noch, würde aber gerne wissen ob mein Ansatz und meine Schlussfolgerung richtig sind.
Grüße und Danke im voraus,
zjay
Update:
Beim zweiten Fall, nämlich y>x>0 komme ich nicht weiter. Der Betrag von x-y ist bekanntlich y-x, da |x-y| = -(x-y) = -(-y+x) = y-x gilt. Dies setze ich ein und beim umformen kommt folgender Humbug raus, den ich nicht verwerten kann:
2x²+3x²y-3xy²-y²+2xy+2x+2y $ [mm] \ge [/mm] $ 0
Grüße und Danke im voraus,
zjay
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:51 Mo 05.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> b) Die Funktion f ist subadditiv, d.h. für alle x,y [mm]\ge[/mm] 0
> gilt
>
> f(x+y) [mm]\ge[/mm] f(x) + f(y)
>
> Folgern Sie hieraus außerdem die Richtigkeit von
> [mm]\bruch{|x-y|}{1+|x-y|} \le \bruch{|x|}{|1+x|}[/mm] +
> [mm]\bruch{|y|}{|1+y|}, \forall[/mm] x,y [mm]\in \IR[/mm]
>
> Meine Fragen zu Aufgabe 7 bestehen noch, aber ich hätte
> jetzt eine Nachfrage zum zweiten Teil von 6b)
>
> Ich habe es mit einer Fallunterscheidung versucht.
>
> Für x>y>0 kann ich die Betragsstriche weglassen und die
> Nenner "wegmultiplizieren".
>
> Ich erhalte (x-y)(1+x)(1+y) [mm]\le[/mm] (x+y+2xy)(1+x-y)
>
> Durch Ausmultiplizieren und umformen erhalte ich
> -x²y+xy²-2xy-2y [mm]\le[/mm] 0
>
> Durch Umformung erhalte ich xy² [mm]\le[/mm] x²y+2xy+2y.
>
> Da x>y, ist diese Aussage richtig.
Das solltest du noch etwas auführicher zeigen, denn
[mm] $xy^2\le [/mm] x^2y+2xy+2y$.
[mm] $\Leftrightarrow xy^2\le y(x^2+2x+2)$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow xy\le x^2+2x+2$
[/mm]
Da x>y>0 ist x²>xy und das 2x+2 verstärkt den Effekt noch.
>
> Am zweiten Fall arbeite ich gerade noch, würde aber gerne
> wissen ob mein Ansatz und meine Schlussfolgerung richtig
> sind.
>
> Grüße und Danke im voraus,
>
> zjay
>
> Update:
>
> Beim zweiten Fall, nämlich y>x>0 komme ich nicht weiter.
> Der Betrag von x-y ist bekanntlich y-x, da |x-y| = -(x-y) =
> -(-y+x) = y-x gilt. Dies setze ich ein und beim umformen
> kommt folgender Humbug raus, den ich nicht verwerten kann:
>
> 2x²+3x²y-3xy²-y²+2xy+2x+2y [mm]\ge[/mm] 0
Sortieren wir mal ein wenig um:
[mm] 2x^2+3x^2y-3xy^2-y^2+2xy+2x+2y
[/mm]
[mm] =x^2(2+3y)-y^{2}(3x+1)+2(xy+x+y)
[/mm]
Du hast:
[mm] $(x-y)(1+x)(1+y)\le(x+y+2xy)(1+x-y)$
[/mm]
Nun ist (x-y)<(x-y+1), also kannst du diese beiden Faktoren schonmal weglassen, ohne die Ungleichung zu verändern
Bleibt also:
[mm] $(1+x)(1+y)\le(x+y+2xy)$
[/mm]
Nun ausmultiplizieren
[mm] $1\le [/mm] xy$
Kommst du damit schon weiter?
>
> Grüße und Danke im voraus,
>
> zjay
Marius
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Hallo,
die Aufgabe 7 poste in einem eigenen Thread.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 So 04.11.2012 | | Autor: | zjay |
ich glaube du meinst aufgabe 6.
ok, hab ich gemacht. dann ist hier nur noch aufgabe 7 offen.
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> ich glaube du meinst aufgabe 6.
Hallo,
nein, ich meinte die Aufgabe, welche Du als Aufgabe 7 bezeichnest,
denn sie ist eine völlig neue Aufgabe, welche hier im Thread fehl am Platze ist.
LG Angela
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> ok, hab ich gemacht. dann ist hier nur noch aufgabe 7
> offen.
Nein.
Hier ist noch Auf. 6 offen, und die von Dir erneut in einem eigenen Thread gepostete Auf. 6b) lassen wir mal wieder verschwinden, damit nicht an zwei Stellen dran gearbeitet wird.
LG Angela
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