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| Aufgabe | Mittels vollständiger Indukion soll bewiesen werden, dass die Aussage für alle n [mm] \in \IN [/mm] wahr ist:
[mm] \summe_{j=1}^{2n} (-1)^{j+1}*\bruch{1}{j} [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{n+j} [/mm] |
Ich bin dahingehend etwas überfragt, was da überhaupt gezeigt werden soll.
Das einzige, was mir dazu eigenfallen ist:
[mm] \summe_{j=1}^{2(n+1)} (-1)^{j+1}*\bruch{1}{j} [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{2n} (-1)^{j+1}*\bruch{1}{j} [/mm] + [mm] (-1)^{2(n+1)+1}*\bruch{1}{2(n+1)+1}
[/mm]
[mm] \summe_{j=1}^{n+1} \bruch{1}{n+j} =\summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{n+j} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n+(n+1)}
[/mm]
(n kann ja nicht wirklich in der Summe stehen bleiben, wie es oben steht, weils fest ist. Oder kann es das doch tun?)
Ferner, dass wenn die Summen (nach der Ind.Voraussetzung, die die Behauptung ist) gleich sind, so auch [mm] (-1)^{2(n+1)+1}*\bruch{1}{2(n+1)} [/mm] und [mm] \bruch{1}{n+(n+1)} [/mm] gleich sein müssen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Könnte bitte jemand weiterhelfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 Fr 26.10.2007 | | Autor: | DieMuhKuh |
Ich sehe gerade, ich habe mich da ganz böse verrechnet. Am Ende der ersten Summe sollte es nämlich heißen:
[mm] (-1)^{2(n+1)+1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2(n+1)} [/mm] und nicht
[mm] (-1)^{2(n+1)+1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{(n+1)}
[/mm]
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Hallo DieMuhKuh,
> Mittels vollständiger Indukion soll bewiesen werden, dass
> die Aussage für alle n [mm]\in \IN[/mm] wahr ist:
>
> [mm]\summe_{j=1}^{2n} (-1)^{j+1}*\bruch{1}{j}[/mm] =
> [mm]\summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{n+j}[/mm]
> Ich bin dahingehend etwas
> überfragt, was da überhaupt gezeigt werden soll.
>
> Das einzige, was mir dazu eigenfallen ist:
>
> [mm]\summe_{j=1}^{2(n+1)} (-1)^{j+1}*\bruch{1}{j}[/mm] =
> [mm]\summe_{j=1}^{2n} (-1)^{j+1}*\bruch{1}{j}[/mm] +
> [mm](-1)^{2(n+1)+1}*\bruch{1}{n+1}[/mm]
Ich denke, du bist hier schon mal weit gekommen. Es gilt also:
[mm]\sum_{j=1}^{2n+2}{(-1)^{j+1}*\frac{1}{j}}=\left(\sum_{j=1}^{2n}{(-1)^{j+1}*\frac{1}{j}}\right)+(-1)^{2n+1+1}*\frac{1}{2n+1}+(-1)^{2n+2+1}*\frac{1}{2n+2}=(\*)[/mm]
Und damit nach der Induktionsannahme:
[mm](\*)=\left(\sum_{j=1}^n{\frac{1}{n+j}}\right)\mathrel{\textcolor{red}{+}}\textcolor{red}{\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}}=(\*\*)[/mm]
So, nun notieren wir uns auf einem Schmierzettel:
[mm]\sum_{j=1}^{n+1}{\frac{1}{n+1+j}}=\left(\sum_{j=1}^{n}{\frac{1}{n+1+j}}\right)+\frac{1}{n+1+n+1}=\left(\sum_{j=2}^{n+1}{\frac{1}{n+j}}\right)+\frac{1}{2n+2}[/mm]
[mm]=\left(\sum_{j=1}^n{\frac{1}{n+j}}\right)+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2n+2}[/mm]
D.h. es müßte eigentlich folgendes gelten:
[mm]\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2n+2}=\textcolor{red}{\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}}\quad(\heartsuit)[/mm]
Forme um und siehe, daß es gilt. Anschließend machst du bei (**) weiter indem du unter Benutzung von [mm]\heartsuit[/mm] die Rechenschritte des Schmierzettels von hinten nach vorne aufschreibst. (Den Schmierzettel kannst du dann wegschmeißen.)
Viele Grüße
Karl
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Vielen Dank!
Eine Kleinigkeit noch:
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[mm] \sum_{j=1}^{n+1}{\frac{1}{n+1+j}}= \mathrel{\textcolor{red}{\left(\sum_{j=1}^{n}{\frac{1}{n+1+j}}\right)}}\textcolor{red} +\frac{1}{n+1+n+1}=\left(\sum_{j=2}^{n+1}{\frac{1}{n+j}}\right)+\frac{1}{2n+2}
[/mm]
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Müsste es an dieser rot markierten Stelle nicht heißen: [mm] \left(\sum_{j=1}^{n}{\frac{1}{n+j}}\right) [/mm] ?
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[mm] =\left(\sum_{j=2}^{n+1}{\frac{1}{n+j}}\right)+\frac{1}{2n+2} \mathrel{\textcolor{red}{=}\textcolor}\left(\sum_{j=1}^n{\frac{1}{n+j}}\right)+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2n+2}
[/mm]
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Nur ob ich dieses Vorgehen richtig verstanden habe:
Wenn da stünde:
[mm] =\left(\sum_{j=3}^{n+2}{\frac{1}{n+j}}\right)+\frac{1}{2n+2} [/mm]
Dann müsste es heißen:
[mm] =\left(\sum_{j=1}^n{\frac{1}{n+j}}\right)+\frac{1}{3n+2}-\frac{1}{n+2}+ \frac{1}{2n+1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2n+2}
[/mm]
Richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:28 Sa 27.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
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> [mm]\sum_{j=1}^{n+1}{\frac{1}{n+1+j}}= \mathrel{\textcolor{red}{\left(\sum_{j=1}^{n}{\frac{1}{n+1+j}}\right)}}\textcolor{red} +\frac{1}{n+1+n+1}=\left(\sum_{j=2}^{n+1}{\frac{1}{n+j}}\right)+\frac{1}{2n+2}[/mm]
>
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> Müsste es an dieser rot markierten Stelle nicht heißen:
> [mm]\left(\sum_{j=1}^{n}{\frac{1}{n+j}}\right)[/mm] ?
Nein, die rote Summe ist richtig, wenn der Zählindex größer wird ändert er sich nicht. wenn etwa n=6 n+1=7 stteht in jedem Summanden [mm] \bruch{1}{n+1+j}=\bruch{1}{7+j}, [/mm] egal was j grad ist!
> ==============================================================>>>
>
> [mm]=\left(\sum_{j=2}^{n+1}{\frac{1}{n+j}}\right)+\frac{1}{2n+2} \mathrel{\textcolor{red}{=}\textcolor}\left(\sum_{j=1}^n{\frac{1}{n+j}}\right)+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2n+2}[/mm]
>
> <<<==============================================================
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> Nur ob ich dieses Vorgehen richtig verstanden habe:
>
> Wenn da stünde:
>
> [mm]=\left(\sum_{j=3}^{n+2}{\frac{1}{n+j}}\right)+\frac{1}{2n+2}[/mm]
>
> Dann müsste es heißen:
>
> [mm]=\left(\sum_{j=1}^n{\frac{1}{n+j}}\right)+\frac{1}{3n+2}-\frac{1}{n+2}+ \frac{1}{2n+1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2n+2}[/mm]
>
> Richtig?
fast. der erste Bruch ist falsch er kommt ja durch Einstzen von n+2 für j
also statt [mm] \bruch{1}{3n+2} [/mm] muss es sein [mm] \bruch{1}{n+n+2}=\bruch{1}{2n+2}
[/mm]
ich denk, du hast dich nur verschrieben. was zuwenig an der Summe bis n ist muss noch addiert werden, was zuviel am Anfang ist subtrahiert werden.
Gruss leduart
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Danke!
Jedoch nocheinmal zu der Summe:
Die ursprüngliche Form war ja: [mm] {\left(\sum_{j=1}^{n}{\frac{1}{n+j}}\right)}
[/mm]
Dann wurde von n auf n+1 erhöht: [mm] \sum_{j=1}^{n+1}{\frac{1}{n+1+j}}
[/mm]
Und als nächstes dieses n+1 aus der Summe "gezogen":
[mm] {\left(\sum_{j=1}^{n}{\frac{1}{n+1+j}}\right)}
[/mm]
Also müsste das n in der Summe doch wieder "um 1 zurückgestuft " werden.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:47 Sa 27.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo,
Nein! das n ist in der Formel ne fete Zahl, egal was der Zählindex j tut. wenn der bis n+17 geht (obere Grenze) dann bleibt unten immer n+1+j stehen, , die Summanden , für die i kleiner n+1 sind ändern doch an dem n im Nenner auch nix!
Gruss leduart.
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Sekunde. Meine ursprüngliche Summenformel ist ja:
[mm] \summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{n+j} [/mm]
Wieso taucht denn dann auf einmal die +1 in [mm] \frac{1}{n+1+j} [/mm] auf als der Zählindex erhöht wird?
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \sum_{j=1}^{n+1}{\frac{1}{n+1+j}}=\left(\sum_{j=1}^{n}{\frac{1}{n+1+j}}\right)+\frac{1}{n+1+n+1}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:13 Sa 27.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das war Teil einer Formel, die für n gelten sollte. Wenn sie dann auch für n+1 gelten soll, muss natürlich überall, wo n vorkommt jetzt n+1 reinkommen.
Nochmal, in der Formel steht doch: unter dem Bruch steht immer die Summe aus dem laufenden i und dem obersten Summationsindex. wenn der 6 ist steht unten nacheinander 1+6, 2+6, 3+6 bis 6+6, wenn er bis 7 läuft im Nenner nacheinander
1+7,2+7,.6+7,7+7
ists jetzt klarer?
Es ist zu spät, geh schlafen , morgen ists viieeel leichter.
Gruss leduart.
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