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| Aufgabe | Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion:
[mm] $\produkt_{k=1}^{n} \cos\left(\frac{x}{2^k}\right) [/mm] = [mm] \frac{\sin(x)}{2^n \sin(\frac{x}{2^n})}$ [/mm] |
I.Anfang n=1
cos(x/2) = [mm] \frac{sin(x)}{2*sin(x/2)}
[/mm]
da sin(x) = 2 * sin(x/2)*cos(x/2) gilt gleichheit
I.Annahme
Für n gilt die Gleichung
[mm] \produkt_{k=1}^{n} cos(\frac{x}{2^k}) [/mm] = [mm] \frac{sin(x)}{2^n sin(\frac{x}{2^n})}
[/mm]
Induktionsschritt
n-> n+1
ZZ.: [mm] \produkt_{k=1}^{n+1} cos(\frac{x}{2^k}) [/mm] = [mm] \frac{sin(x)}{2^{n+1} *sin(\frac{x}{2^{n+1}})}
[/mm]
[mm] \produkt_{k=1}^{n+1} cos(\frac{x}{2^k}) [/mm] = [mm] \produkt_{k=1}^{n} cos(\frac{x}{2^k}) [/mm] * [mm] cos(\frac{x}{2^{n+1}})= \frac{sin(x)}{2^n sin(\frac{x}{2^n})}* cos(\frac{x}{2^{n+1}})
[/mm]
Nun habe ich schon paar sachen ausprobiert, die mir aber nicht weitergeholfen haben. Wie tätige ich am besten meine nächste Umformung um auf das zuzeigende zu kommen?
ALs Hinweis steht noch: [mm] sin(x/2^n) [/mm] =sin (2 * [mm] \frac{x}{2^{n+1}}) [/mm] was mir leider nicht so richtig hilft.
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moin theresetom,
> ALs Hinweis steht noch: [mm]sin(x/2^n)[/mm] =sin (2 *
> [mm]\frac{x}{2^{n+1}})[/mm] was mir leider nicht so richtig hilft.
Schreib dir das mal weiter um als [mm] $sin(2*\frac{x}{2^{n+1}}) [/mm] = [mm] sin(\frac{x}{2^{n+1}} [/mm] + [mm] \frac{x}{2^{n+1}})$ [/mm] und dann wende mal das Additionstheorem an, da dürfte sich ein bisschen was wegkürzen.
lg
Schadowmaster
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:59 Do 31.05.2012 | | Autor: | theresetom |
abend,
[mm] sin(x/2^n)= [/mm] $ [mm] sin(2\cdot{}\frac{x}{2^{n+1}}) [/mm] = [mm] sin(\frac{x}{2^{n+1}} [/mm] + [mm] \frac{x}{2^{n+1}}) [/mm] $= 2 * [mm] sin(\frac{x}{2^{n+1}}) [/mm] * [mm] cos(\frac{x}{2^{n+1}})
[/mm]
damit:
> $ [mm] \produkt_{k=1}^{n+1} cos(\frac{x}{2^k}) [/mm] $ = $ [mm] \produkt_{k=1}^{n} cos(\frac{x}{2^k}) [/mm] $ * $ [mm] cos(\frac{x}{2^{n+1}})= \frac{sin(x)}{2^n sin(\frac{x}{2^n})}\cdot{} cos(\frac{x}{2^{n+1}}) [/mm] $
[mm] =\frac{sin(x)}{2^n 2 * sin(\frac{x}{2^{n+1}}) * cos(\frac{x}{2^{n+1}})}\cdot{} cos(\frac{x}{2^{n+1}}) [/mm] = [mm] \frac{sin(x)}{2^{n+1} * sin(\frac{x}{2^{n+1}}) }
[/mm]
danke.
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