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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Mo 07.11.2011 | | Autor: | AliasAka |
| Aufgabe | Beweise mittels der Methode der vollständigen Induktion die Aussage:
∀n∈N gilt: [mm] \summe_{i=n}^{8n} [/mm] k = [mm] \bruch{8+1}{2}*n*((8-1)*n+1) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Das Prinzip der vollst. Induktion ist mir klar, dass also ein Beweis für [mm] n\ton+1
[/mm]
erbracht werden soll.
Der Induktionsanfang ist klar. Da n∈N fange ich mit der 0 (wenn man sie zu den N zählt) an.
Linke Seite: [mm] \summe_{i=0}^{0} [/mm] k = 0
Rechte Seite: [mm] \bruch{8+1}{2}*0*((8-1)*0+1) [/mm] = 0
wahr.
Nun soll also für ein festes aber beliebiges n untersucht werden ob auch n+1 gilt. also:
[mm] \summe_{i=n+1}^{8n+1} [/mm] k = [mm] \bruch{8+1}{2}*(n+1)*((8-1)*(n+1)+1)
[/mm]
Dazu die Gleichung:
[mm] \summe_{i=n+1}^{8n+1} [/mm] k = [mm] \summe_{i=n}^{8n} [/mm] k + Restterm.
Auf diesen Restterm komme ich einfach nicht.
Ich vermute, dass es daran liegt, dass ich durch die Summenformel verwirrt bin (genauer verwirrt mich die variabel n im Endwert) . Wenn jemand mal die Summe in ihre Summanden aufbrechen würde, könnte das schon helfen. Vor allem bei [mm] \summe_{i=n+1}^{8n+1} [/mm] k.
Start ist klar: n+1, aber wie geht es dann weiter...
Danke schonmal für alle die sich die Mühe machen!
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Es gilt doch
[mm]\sum_{i=n+1}^{8n+1}a_i=\left(\sum_{i=n}^{8n}a_i\right)-a_n+a_{8n+1}[/mm]
[edit] Der Induktionsschluss ist falsch. Ich versuche direkt auf die Frage zu antworten und hatte nicht das andere kontrolliert. Ich weiß nie wie viel Ich schreiben soll oder kann. Solche Fehler fallen einem dann meist selber auf.
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 21:13 Mo 07.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast übersehen, dass der induktionsschluss schon falsch war.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 Mo 07.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei der Induktion von n nach n+1 musst du doch für n n+1 einsetzen! d.h. deine summe geht nicht bis 8n+1 sondern bis 8*(n+1)=8n+8
wenn du mit der summe von n bis 8n vergleichst hast du also den Term k=n weniger, und 8 zusätzliche Terme ,also k=8n+1 , 8n+2.. 8n+8 zusätzlich
Dein Restterm besteht alsso aus 9 Zahlen,eine davon negativ.
Gruss leduart
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