www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Analysis-InduktionInduktion komme nicht weiter
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Induktion komme nicht weiter
Induktion komme nicht weiter < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Induktion komme nicht weiter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:35 Mo 11.07.2011
Autor: Fatih17

Aufgabe
Beweisen Sie für dass für alle n element N gilt:

[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k^{2}} \le [/mm] 2- [mm] \bruch{1}{n} [/mm]

Hallo,

ich komme beim induktionsschritt nicht weiter, komme bis zu folgendem Bruch:

2- [mm] \bruch{n+(n+1)^{2}}{n*(n+1)^{2}} [/mm]

Ich muss auf

[mm] 2-\bruch{1}{n+1} [/mm]

kommen, aber wie?

Danke im voraus!

        
Bezug
Induktion komme nicht weiter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:38 Mo 11.07.2011
Autor: fred97


> Beweisen Sie für dass für alle n element N gilt:
>  
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k^{2}} \le[/mm] 2- [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
>  Hallo,
>  
> ich komme beim induktionsschritt nicht weiter, komme bis zu
> folgendem Bruch:
>  
> 2- [mm]\bruch{n+(n+1)^{2}}{n*(n+1)^{2}}[/mm]

Ich kann mir vorstellen , wie Du darauf gekommen bist. Du hast aber einen Vorzeichenfehler gemacht.

Also rechne nochmal

FRED

>  
> Ich muss auf
>  
> [mm]2-\bruch{1}{n+1}[/mm]
>  
> kommen, aber wie?
>  
> Danke im voraus!


Bezug
                
Bezug
Induktion komme nicht weiter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:42 Mo 11.07.2011
Autor: Fatih17

Hallo nochmal,

ich kann leider den Vorzeichenfehler nicht entdecken :(

Kannst du mir eventuell einen Tipp geben?

Danke

Bezug
                        
Bezug
Induktion komme nicht weiter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:48 Mo 11.07.2011
Autor: schachuzipus

Hallo Fatih17,


> Hallo nochmal,
>  
> ich kann leider den Vorzeichenfehler nicht entdecken :(

Dann solltest du deine Rechnung posten ...

Wie können dir schlecht über die Schulter gucken:

>  
> Kannst du mir eventuell einen Tipp geben?

Vermutlich: [mm]2-\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)^2}=2-\left[\frac{1}{n}\red{-}\frac{1}{(n+1)^2}\right][/mm]

> Danke

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Induktion komme nicht weiter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:08 Mo 11.07.2011
Autor: Fatih17

[mm] \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k^{2}} \le 2-\bruch{1}{n+1} [/mm]

[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k^{2}}+\bruch{1}{n+1} \le 2-\bruch{1}{n+1} [/mm]

[mm] 2-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n+1} \le 2-\bruch{1}{n+1} [/mm]

joa und weiter weiss ich nicht!

Gruß
Fatih





Bezug
                                        
Bezug
Induktion komme nicht weiter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:24 Mo 11.07.2011
Autor: reverend

Hallo Fatih,

das ist aber ein bisschen kraus.
Du rechnest doch gerade den Induktionsschritt vor, oder?


> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k^{2}} \le 2-\bruch{1}{n+1}[/mm]

Ja, das ist zu zeigen. Das geht z.B., indem Du dies auf eine bekannte Aussage zurückführst, also auf die Aussage für n. Darum geht es bei der Induktion.

> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k^{2}}+\bruch{1}{n+1} \le 2-\bruch{1}{n+1}[/mm]

Wenn Du links ein Glied aus der Summe herauslöst, dann auch richtig:

[mm] \left(\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^2}\right)+\bruch{1}{\blue{(}n+1\blue{)^2}}\le 2-\bruch{1}{n+1} [/mm]

Bisher ist noch nicht passiert, wir haben nichts verwendet, nur die Summe anders geschrieben.

> [mm]2-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n+1} \le 2-\bruch{1}{n+1}[/mm]

Nein, das geht so nicht. Die Induktionsvoraussetzung war eine Ungleichung, keine Gleichung. Du kannst also nicht einfach die bekannte Summe hier ersetzen!

> joa und weiter weiss ich nicht!

Na, wenn Du die linke Seite Deiner Ungleichung nimmst und die IV verwendest, dann steht da erstmal

[mm] \left(\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^2}\right)+\bruch{1}{(n+1)^2}\blue{\le 2-\bruch{1}{n}}+\bruch{1}{(n+1)^2} [/mm]

Soviel kann man mit der IV sicher behaupten; der blaue Teil der Ungleichung ist ja gerade die IV, ergänzt um das neu hinzugetretene Glied aus der Summation.

Jetzt nehmen wir noch die rechte Seite von oben dazu:

[mm] \left(\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^2}\right)+\bruch{1}{(n+1)^2}\le 2-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{(n+1)^2}\blue{\le}2-\bruch{1}{n+1} [/mm]

Das ist jetzt eine Ungleichungskette. Zu zeigen ist das rechte (wieder blaue) "kleiner/gleich"-Verhältnis. Wenn das nachzuweisen ist, ist der Induktionsschritt gelungen.

Grüße
reverend


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]