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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Induktion komme nicht weiter
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Induktion komme nicht weiter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:35 Mo 11.07.2011
Autor: Fatih17

Aufgabe
Beweisen Sie für dass für alle n element N gilt:

[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k^{2}} \le [/mm] 2- [mm] \bruch{1}{n} [/mm]

Hallo,

ich komme beim induktionsschritt nicht weiter, komme bis zu folgendem Bruch:

2- [mm] \bruch{n+(n+1)^{2}}{n*(n+1)^{2}} [/mm]

Ich muss auf

[mm] 2-\bruch{1}{n+1} [/mm]

kommen, aber wie?

Danke im voraus!

        
Bezug
Induktion komme nicht weiter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:38 Mo 11.07.2011
Autor: fred97


> Beweisen Sie für dass für alle n element N gilt:
>  
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k^{2}} \le[/mm] 2- [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
>  Hallo,
>  
> ich komme beim induktionsschritt nicht weiter, komme bis zu
> folgendem Bruch:
>  
> 2- [mm]\bruch{n+(n+1)^{2}}{n*(n+1)^{2}}[/mm]

Ich kann mir vorstellen , wie Du darauf gekommen bist. Du hast aber einen Vorzeichenfehler gemacht.

Also rechne nochmal

FRED

>  
> Ich muss auf
>  
> [mm]2-\bruch{1}{n+1}[/mm]
>  
> kommen, aber wie?
>  
> Danke im voraus!


Bezug
                
Bezug
Induktion komme nicht weiter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:42 Mo 11.07.2011
Autor: Fatih17

Hallo nochmal,

ich kann leider den Vorzeichenfehler nicht entdecken :(

Kannst du mir eventuell einen Tipp geben?

Danke

Bezug
                        
Bezug
Induktion komme nicht weiter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:48 Mo 11.07.2011
Autor: schachuzipus

Hallo Fatih17,


> Hallo nochmal,
>  
> ich kann leider den Vorzeichenfehler nicht entdecken :(

Dann solltest du deine Rechnung posten ...

Wie können dir schlecht über die Schulter gucken:

>  
> Kannst du mir eventuell einen Tipp geben?

Vermutlich: [mm]2-\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)^2}=2-\left[\frac{1}{n}\red{-}\frac{1}{(n+1)^2}\right][/mm]

> Danke

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Induktion komme nicht weiter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:08 Mo 11.07.2011
Autor: Fatih17

[mm] \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k^{2}} \le 2-\bruch{1}{n+1} [/mm]

[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k^{2}}+\bruch{1}{n+1} \le 2-\bruch{1}{n+1} [/mm]

[mm] 2-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n+1} \le 2-\bruch{1}{n+1} [/mm]

joa und weiter weiss ich nicht!

Gruß
Fatih





Bezug
                                        
Bezug
Induktion komme nicht weiter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:24 Mo 11.07.2011
Autor: reverend

Hallo Fatih,

das ist aber ein bisschen kraus.
Du rechnest doch gerade den Induktionsschritt vor, oder?


> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k^{2}} \le 2-\bruch{1}{n+1}[/mm]

Ja, das ist zu zeigen. Das geht z.B., indem Du dies auf eine bekannte Aussage zurückführst, also auf die Aussage für n. Darum geht es bei der Induktion.

> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k^{2}}+\bruch{1}{n+1} \le 2-\bruch{1}{n+1}[/mm]

Wenn Du links ein Glied aus der Summe herauslöst, dann auch richtig:

[mm] \left(\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^2}\right)+\bruch{1}{\blue{(}n+1\blue{)^2}}\le 2-\bruch{1}{n+1} [/mm]

Bisher ist noch nicht passiert, wir haben nichts verwendet, nur die Summe anders geschrieben.

> [mm]2-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n+1} \le 2-\bruch{1}{n+1}[/mm]

Nein, das geht so nicht. Die Induktionsvoraussetzung war eine Ungleichung, keine Gleichung. Du kannst also nicht einfach die bekannte Summe hier ersetzen!

> joa und weiter weiss ich nicht!

Na, wenn Du die linke Seite Deiner Ungleichung nimmst und die IV verwendest, dann steht da erstmal

[mm] \left(\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^2}\right)+\bruch{1}{(n+1)^2}\blue{\le 2-\bruch{1}{n}}+\bruch{1}{(n+1)^2} [/mm]

Soviel kann man mit der IV sicher behaupten; der blaue Teil der Ungleichung ist ja gerade die IV, ergänzt um das neu hinzugetretene Glied aus der Summation.

Jetzt nehmen wir noch die rechte Seite von oben dazu:

[mm] \left(\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^2}\right)+\bruch{1}{(n+1)^2}\le 2-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{(n+1)^2}\blue{\le}2-\bruch{1}{n+1} [/mm]

Das ist jetzt eine Ungleichungskette. Zu zeigen ist das rechte (wieder blaue) "kleiner/gleich"-Verhältnis. Wenn das nachzuweisen ist, ist der Induktionsschritt gelungen.

Grüße
reverend


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