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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Mo 20.03.2017 | | Autor: | Thyrrac |
| Aufgabe | | Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion: [mm] \produkt_{k=2n}^{3n}(1 [/mm] - [mm] \bruch{1}{k}) [/mm] = [mm] \bruch{2n - 1}{3n} [/mm] |
Hallo, ich hoffe dass mir jemand bei der Lösung dieser Aufgabe weiterhelfen kann. Ich denke, mein Problem liegt darin, zu verstehen wie ich das Produktzeichen "umschreiben" kann. Aber hier erstmal mein Ansatz:
Induktionsanfang:
für n = 1
[mm] \produkt_{k=2}^{3}(1 [/mm] - [mm] \bruch{1}{k}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] \bruch{2}{3} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Die Gleichung ist erfüllt für n = 1.
Induktionsvoraussetzung:
für n = m
[mm] \produkt_{k=2m}^{3m}(1 [/mm] - [mm] \bruch{1}{k}) [/mm] = [mm] \bruch{2m - 1}{3m}
[/mm]
Induktionsschritt:
für n = m + 1
[mm] \produkt_{k=2(m + 1)}^{3(m + 1)}(1 [/mm] - [mm] \bruch{1}{k}) [/mm] = [mm] \bruch{2(m + 1) - 1}{3(m + 1)}
[/mm]
Nun kann ich ja entweder die rechte oder die linke Seite in die Ausgangsform (I.V.) bringen, links hab' ich da aber so meine Probleme also hab' ich mal die Rechte Seite genommen:
[mm] \produkt_{k=2m + 2}^{3m + 3}(1 [/mm] - [mm] \bruch{1}{k}) [/mm] = [mm] \bruch{2m + 1}{3m + 3} [/mm] | * 3m + 3
(3m + 3) * [mm] \produkt_{k=2m + 2}^{3m + 3}(1 [/mm] - [mm] \bruch{1}{k}) [/mm] = 2m + 1 [mm] \qquad [/mm] | - 2
((3m + 3) * [mm] \produkt_{k=2m + 2}^{3m + 3}(1 [/mm] - [mm] \bruch{1}{k})) [/mm] - 2 = 2m - 1 [mm] \qquad [/mm] | : 3m
[mm] \bruch{((3m + 3) * \produkt_{k=2m + 2}^{3m + 3}(1 - \bruch{1}{k})) - 2}{3m} [/mm] = [mm] \bruch{2m - 1}{3m} \qquad [/mm] | I.V. auf der rechten Seite
[mm] \bruch{((3m + 3) * \produkt_{k=2m + 2}^{3m + 3}(1 - \bruch{1}{k})) - 2}{3m} [/mm] = [mm] \produkt_{2m}^{3m}(1 [/mm] - [mm] \bruch{1}{k}) \qquad [/mm] | + [mm] \bruch{2}{3m}
[/mm]
[mm] \bruch{((3m + 3) * \produkt_{k=2m + 2}^{3m + 3}(1 - \bruch{1}{k}))}{3m} [/mm] = [mm] \produkt_{2m}^{3m}(1 [/mm] - [mm] \bruch{1}{k}) [/mm] + [mm] \bruch{2}{3m} \qquad [/mm] | * 3m
((3m + 3) * [mm] \produkt_{k=2m + 2}^{3m + 3}(1 [/mm] - [mm] \bruch{1}{k})) [/mm] = [mm] \produkt_{2m}^{3m}(1 [/mm] - [mm] \bruch{1}{k}) [/mm] * 3m + 2 [mm] \qquad [/mm] | : (3m + 3)
[mm] \produkt_{k=2m + 2}^{3m + 3}(1 [/mm] - [mm] \bruch{1}{k})) [/mm] = [mm] \bruch{\produkt_{2m}^{3m}(1 - \bruch{1}{k}) * 3m + 2}{3m + 3}
[/mm]
... und ab dieser Stelle hab ich es nochmal mit n = 1 versucht.. es geht sogar auf, nur leider seh' ich den Zusammenhang zwischen rechter und linker Seite immernoch nicht.
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Hiho,
> Induktionsschritt:
>
> für n = m + 1
>
> [mm]\produkt_{k=2(m + 1)}^{3(m + 1)}(1[/mm] - [mm]\bruch{1}{k})[/mm] =
> [mm]\bruch{2(m + 1) - 1}{3(m + 1)}[/mm]
Bis hier hin alles ok.
> Nun kann ich ja entweder die rechte oder die linke Seite in die Ausgangsform (I.V.) bringen
Jein… du solltest eine Seite so umformen, dass du die IV ausnutzen kannst.
> links hab' ich da aber so meine Probleme also hab' ich mal die Rechte Seite
> genommen:
Das kannst du so machen, wird aber, wie du feststellst, unglaublich kompliziert.
Bei Summen und bei Produkten etc etc. bietet es sich immer an, diese so umzuformen, dass dort die Induktionsvoraussetzung verwendet werden kann, so auch in diesem Fall!
Denn dann fallen diese Zeichen meist weg (rechts steht ja keins mehr) und es verbleibt eine einfaches vereinfachen von Brüchen (oder allgemein: von Elementaroperationen)
So auch hier:
Du hast jetzt ein Produkt der Form: [mm] $\produkt_{k=2m+2}^{3m+3}$ [/mm] und möchtest die Induktionvoraussetzung anwenden, wo aber [mm] $\produkt_{k=2m}^{3m}$ [/mm] steht.
Für die untere Grenze "fehlen" dir also zwei Faktoren, und oben sind drei "zu viel". Und wir ergänzen jetzt also einfach passende Faktoren und spalten diejenigen, die zu viel sind, ab und erhalten:
[mm] $\produkt_{k=2m+2}^{3m+3}\left(1-\frac{1}{k}\right) [/mm] = [mm] \frac{\left(1 - \frac{1}{2m}\right)}{\left(1 - \frac{1}{2m}\right)}\frac{\left(1 - \frac{1}{2m+1}\right)}{\left(1 - \frac{1}{2m+1}\right)}\left(\produkt_{k=2m+2}^{3m}\left(1-\frac{1}{k}\right)\right)\left(1 - \frac{1}{3m+1}\right)\left(1 - \frac{1}{3m+2}\right)\left(1 - \frac{1}{3m+3}\right) [/mm] = [mm] \frac{\left(1 - \frac{1}{3m+1}\right)\left(1 - \frac{1}{3m+2}\right)\left(1 - \frac{1}{3m+3}\right)}{\left(1 - \frac{1}{2m}\right)\left(1 - \frac{1}{2m+1}\right)}\produkt_{k=2m}^{3m}\left(1-\frac{1}{k}\right)$
[/mm]
Jetzt IV anwenden und fleissig umformen… da kürzt sich einiges.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:44 Di 21.03.2017 | | Autor: | Thyrrac |
Gut, ich hab den Lösungsweg nun dank Gonozal_IX gefunden. Vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:08 Di 21.03.2017 | | Autor: | fred97 |
Die Aufgabe induktiv zu lösen, ist doch mit Kanonen auf Spatzen geschossen und läd nur zu Rechenfehlern ein !
Sind $a,b [mm] \in \IN$ [/mm] und a>b, so ist
$ [mm] \produkt_{k=b}^{a}(1 [/mm] - [mm] \bruch{1}{k})= \produkt_{k=b}^{a} \bruch{k-1}{k}=\bruch{b-1}{b}*\bruch{b}{b+1}*....*\bruch{a-2}{a-1}*\bruch{a-1}{a}=\bruch{b-1}{a}$
[/mm]
Mit b=2n und a=3n bekommt man die Behauptung
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