Induktion, rekursive Folge < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Denise86 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für Folge [mm] y_{n}:=e^{-1}*\integral_{0}^{1}{e^{x}*x^{n}dx}, [/mm] wobei n [mm] \in \IN_{0} [/mm] die Rekursion gilt
[mm] y_{0}:=e^{-1}*(e-1), y_{n+1}:=1-(n+1)*y_{n}, [/mm] n [mm] \in \IN_{0}
[/mm]
und leiten Sie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}y_{n} [/mm] her. |
Hallo! Ich weiß zwar wie eine Induktion geht. Bei diesem Beispiel happert's aber schon beim Induktionsanfang. Wenn ich die n-Werte: 0 und 1 in die [mm] y_{n}-Folge [/mm] einsetze kommt nicht dasselbe wie bei Rekursionen [mm] y_{0} [/mm] und [mm] y_{1} [/mm] raus.
Ich habe folgende Werte raus:
[mm] y_{0}:=e^{-1}*(e-1)=0,632120559
[/mm]
[mm] y_{n+1}:=1-(n+1)*y_{n}=0,264241118
[/mm]
Dann habe ich die Werte 0, 1 in die
[mm] y_{n}:=e^{-1}*\integral_{0}^{1}{e^{x}*x^{n}dx} [/mm] einsetze, bekomme ich für [mm] y_{0} [/mm] 1 raus und für [mm] y_{n+1} [/mm] bekomme ich [mm] \bruch{1}{2} [/mm] raus.
Habe ich vielleicht die Stammfunktion falsch bestimmt?
Ich habe folgende Stammfunktion:
[mm] F(x)=e^{x}*\bruch{x^{n+1}}{n+1} [/mm] .
Würde mich über eure Hilfe sehr freuen!!!
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Hallo Denise86,
> Zeigen Sie, dass für Folge
> [mm]y_{n}:=e^{-1}*\integral_{0}^{1}{e^{x}*x^{n}dx},[/mm] wobei n [mm]\in \IN_{0}[/mm]
> die Rekursion gilt
> [mm]y_{0}:=e^{-1}*(e-1), y_{n+1}:=1-(n+1)*y_{n},[/mm] n [mm]\in \IN_{0}[/mm]
>
> und leiten Sie [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}y_{n}[/mm] her.
> Hallo! Ich weiß zwar wie eine Induktion geht. Bei diesem
> Beispiel happert's aber schon beim Induktionsanfang. Wenn
> ich die n-Werte: 0 und 1 in die [mm]y_{n}-Folge[/mm] einsetze kommt
> nicht dasselbe wie bei Rekursionen [mm]y_{0}[/mm] und [mm]y_{1}[/mm] raus.
> Ich habe folgende Werte raus:
> [mm]y_{0}:=e^{-1}*(e-1)=0,632120559[/mm]
> [mm]y_{n+1}:=1-(n+1)*y_{n}=0,264241118[/mm]
> Dann habe ich die Werte 0, 1 in die
> [mm]y_{n}:=e^{-1}*\integral_{0}^{1}{e^{x}*x^{n}dx}[/mm] einsetze,
> bekomme ich für [mm]y_{0}[/mm] 1 raus und für [mm]y_{n+1}[/mm] bekomme ich
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] raus.
> Habe ich vielleicht die Stammfunktion falsch bestimmt?
> Ich habe folgende Stammfunktion:
> [mm]F(x)=e^{x}*\bruch{x^{n+1}}{n+1}[/mm] .
Das ist nicht die Stammfunktion von [mm]e^{x}*x^{n}[/mm]
Bestimme daher die Stammfunktion [mm]e^{x}*x^{n}[/mm] mit Hilfe der partiellen Integration,
Dies führt dann auf eine Rekursionsformel.
> Würde mich über eure Hilfe sehr freuen!!!
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 So 20.04.2008 | | Autor: | Denise86 |
Danke sehr für deine Hilfe, MathePower, mit Hilfe der partiellen Integration kam ich auf die Rekursion [mm] y_{0}. [/mm] Aber den Induktionsschluss für [mm] y_{n+1} [/mm] geht irgendwie nicht auf: Ich habe die Folge [mm] y_{n+1} [/mm] folgendermaßen umgeformt: [mm] y_{n+1}=e^{-1}*e^{x}*(x^{n+1}-(n+1)*x^{n}+(n^{2}+n)*x^{n-1})
[/mm]
und bei der Rekursion habe ich folgende Umformung raus:
[mm] y_{n+1}=1-(n+1)*e^{-1}*e^{x}*(x^{n}-n*x^{n-1}+(n^{2}-n)*x^{n-2}).
[/mm]
Aber wenn ich sie weiter umforme bekomme ich nicht dasselbe wie bei der ersten raus.
Irgendwie habe ich das Gefühl, dass das ganze viel einfacher geht :). Könnt ihr mir da weiter helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 So 20.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Vielen Dank!
> Danke sehr für deine Hilfe, MathePower, mit Hilfe der
> partiellen Integration kam ich auf die Rekursion [mm]y_{0}.[/mm]
> Aber den Induktionsschluss für [mm]y_{n+1}[/mm] geht irgendwie nicht
> auf: Ich habe die Folge [mm]y_{n+1}[/mm] folgendermaßen umgeformt:
> [mm]y_{n+1}=e^{-1}*e^{x}*(x^{n+1}-(n+1)*x^{n}+(n^{2}+n)*x^{n-1})[/mm]
> und bei der Rekursion habe ich folgende Umformung raus:
>
> [mm]y_{n+1}=1-(n+1)*e^{-1}*e^{x}*(x^{n}-n*x^{n-1}+(n^{2}-n)*x^{n-2}).[/mm]
> Aber wenn ich sie weiter umforme bekomme ich nicht
> dasselbe wie bei der ersten raus.
> Irgendwie habe ich das Gefühl, dass das ganze viel
> einfacher geht :). Könnt ihr mir da weiter helfen?
>
Hallo,
diese (oder eine ähnliche) Aufgabe hatten wir vor mehr als zwei Jahrzehnten im Studium, und sie hat mich damals so beeindruckt, dass ich mich heute noch an Grundzüge erinnere.
Ich glaube, man musste n-mal partiell integrieren, bis die Potenzen [mm] x^n [/mm] verschwunden waren und man mit der verbleibenden e-Funktion was anfangen (integrieren) konnte.
Dieses Teilergebnis musste dann in n Schnitten in das eigentlich gesuchte Ergebnis überführt werden. Der Clou an der Sache war, dass dabei in jedem Zwischenschritt eine Multiplikation auftrat: erst mit 1, dann mit 2, dann mit 3, ... und am Ende mit n. Winzige Rundungsfehler des Zwischenergebnisses schaukelten sich dabei zu enormen Abweichungen auf. Wundere dich also nicht, wenn etwas scheinbar sinnloses rauskommt.
Viele Grüße
Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 So 20.04.2008 | | Autor: | Denise86 |
Danke sehr für deine Antwort, leider weiß ich nicht wie ich vorgehen soll um die [mm] x^{n} [/mm] zu eliinieren, ich könnte höchstens sie ausklammern, aber wenn ich immer weiter partiell integriere, bekomme ich doch immer wieder das vorherige Ergebniss und [mm] x^{n-...} [/mm] dazu. Helft mir bitte noch ein bisschen weiter, ich bin schon fast am verzweifeln, morgen muss die Aufgabe abgegeben werden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 So 20.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Danke abakus.
> Danke sehr für deine Antwort, leider weiß ich nicht wie
> ich vorgehen soll um die [mm]x^{n}[/mm] zu eliinieren, ich könnte
> höchstens sie ausklammern, aber wenn ich immer weiter
> partiell integriere, bekomme ich doch immer wieder das
> vorherige Ergebniss und [mm]x^{n-...}[/mm] dazu.
Genau. Also verringert sich der Grad der Potenz von n auf (n- ...).
Und wenn du das n mal machst, bist du endlich bei [mm] x^0 [/mm] angelangt, und der zweite Faktor ist die e-Funktion, die du endlich integrieren kannst.
> Helft mir bitte
> noch ein bisschen weiter, ich bin schon fast am
> verzweifeln, morgen muss die Aufgabe abgegeben werden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:01 Mi 23.04.2008 | | Autor: | Denise86 |
Danke sehr für eure Hilfe! Ich konnte mit eurer Hilfe die Aufgabe noch rechtzeitig lösen! Danke!!!
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