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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Thommi |
| Aufgabe | Beh: [mm] 2^n \ge [/mm] n+1
IV: n=1: [mm] 2^{1}\ge1+1 [/mm] => [mm] 2\ge2 [/mm]
IS: ? |
Hi,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich soll obige Behauptung für alle natürlichen Zahlen beweisen. Aber wie mach ich das jetzt über eine Potenz?
mfg
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Hallo Thommi,
> Beh: [mm]2\red{^n}\ge n+1[/mm]
> IV: n=1: [mm]2^{1}\ge1+1[/mm] => [mm]2\ge2[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> IS: ?
> Hi,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich soll obige Behauptung für alle natürlichen Zahlen
> beweisen. Aber wie mach ich das jetzt über eine Potenz?
>
> mfg
Mache einen ganz "normalen " Induktionsschritt [mm] $n\to [/mm] n+1$
Induktionsvoraussetzung Gelte [mm] $2^n\ge [/mm] n+1$ für ein [mm] $n\in\IN$
[/mm]
Im eigentlichen Induktionsbeweis musst du dann zeigen, dass unter dieser Induktionsvoraussetzung gefälligst auch [mm] $2^{n+1}\ge [/mm] (n+1)+1 \ (=n+2)$ ist
Nimm dir dazu das [mm] $2^{n+1}$ [/mm] her und forme es so um, dass du die Induktionsvoraussetzung benutzen kannst:
[mm] $2^{n+1}=2\cdot{}\red{2^n}\ge 2\cdot{}\red{(n+1)}=...$
[/mm]
Für den [mm] \red{roten} [/mm] Teil habe ich die Ind.vor. benutzt
Das bastel noch etwas weiter, bis da [mm] $...\ge [/mm] n+2$ steht
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 So 25.11.2007 | | Autor: | Thommi |
Ah, danke damit bin ich schon weitergekommen, aber jetzt hab ich:
[mm] n\to [/mm] n+1:
[mm] 2^{n+1}\ge [/mm] n+1+1
[mm] 2\* 2^{n} \ge [/mm] n+2
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:39 So 25.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thommi!
Du gehts überhaupt nicht aufSchachuzipus' Antwort ein. Nach dessen Tipp musst Du doch nur noch zeigen, dass gilt : $2*(n+1) \ = \ 2n+2 \ = \ n+n+2 \ [mm] \ge [/mm] \ n+2$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Thommi |
Habe ich versucht, aber ich dachte ich käme nur net weiter, vielleicht habe ich es auch falsch verstanden, also das $ [mm] 2^{n+1}\ge [/mm] (n+1)+1 \ (=n+2) $ bewiesen werden muss ist mir völlig klar. Auch die Umformung $ [mm] 2^{n+1}=2*2^{n}$, [/mm] aber wie kommt man jetzt auf das $ 2*(n+1) $ ? Denn $ n+2 $ ist das ja wohl nicht.
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thommy!
Um von [mm] $\blue{2}*\red{2^n}$ [/mm] auf [mm] $\ge [/mm] \ [mm] \blue{2}*(\red{n+1})$ [/mm] zu kommen, setzt Du die Induktionsvoraussetzung [mm] $2^n [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ n+1$ ein.
Gruß
Loddar
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