Induktion (vollst.) Summe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 Fr 20.10.2006 | | Autor: | Blueevan |
| Aufgabe | Beweise mittels vollständiger Induktion:
[mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] k * [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = n * [mm] 2^{n-1} [/mm] |
Hallo liebe Leute,
Das ist mein erster Post:). Ich komme bei der o.g. Aufgabe im Beweis nicht weiter. Induktionsanfang etc. ist alles klar, beim Beweis hab ich die Annahme jetz irgendwie reingebracht, doch bei
[mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] k * [mm] \vektor{n \\ k-1} [/mm] + n * [mm] 2^{n-1} [/mm] + (n+1)
komme ich nicht richtig weiter.
Vielleicht kann mir irgendjemand helfen? Habe diese Aufgabe leider im Forum nicht gefunden.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank für eure Hilfe...
mfg
Blueevan
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> Beweise mittels vollständiger Induktion:
> [mm]\summe_{k=0}^{n}[/mm] k * [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] = n * [mm]2^{n-1}[/mm]
> Hallo liebe Leute,
>
> Das ist mein erster Post:). Ich komme bei der o.g. Aufgabe
> im Beweis nicht weiter. Induktionsanfang etc. ist alles
> klar, beim Beweis hab ich die Annahme jetz irgendwie
> reingebracht, doch bei
> [mm]\summe_{k=0}^{n}[/mm] k * [mm]\vektor{n \\ k-1}[/mm] + n * [mm]2^{n-1}[/mm] +
> (n+1)
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Bei Deiner Rechnerei, die von Gedanken her richtig zu sein scheint, hast Du eines nicht bedacht:
Du hast den Term [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] k * [mm] \vektor{n \\ k-1}, [/mm] nur - es ist [mm] \vektor{n \\ 0-1}= \vektor{n \\ -1} [/mm] gar nicht definiert...
Deshalb muß man einen Schlenker machen.
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} [/mm] k * [mm] \vektor{n+1 \\ k}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=1}^{n+1} [/mm] k * [mm] \vektor{n+1 \\ k}, [/mm] denn für k=0 ist der erste Summand ja Null, kann man also weglassen
[mm] =\summe_{k=1}^{n+1} [/mm] k * [mm] (\vektor{n \\ k}+(\vektor{n \\ k-1}) [/mm] , mit dem Additionstheorem
= [mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] k * [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] k * [mm] \vektor{n \\ k-1} [/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{n+1} [/mm] k * [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] k * [mm] \vektor{n \\ k-1} [/mm] , in der ersten Summe 0 [mm] \vektor{n \\ 0} [/mm] addiert
[mm] =\summe_{k=0}^{n+1}k [/mm] * [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{n}(k+1) [/mm] * [mm] \vektor{n \\ k}, [/mm]
denn es ist ja [mm] \summe_{i=1}^{n+1}a_i [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n}a_{i+1}
[/mm]
So, nun kannst Du weitermachen, sonst verderbe ich Dir den Spaß!
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:41 Sa 21.10.2006 | | Autor: | Blueevan |
Dank dir! Habe es jetzt selbst geschafft:)
lg
blueevan
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