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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Induktion x<y
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Induktion x<y: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:41 Di 03.11.2009
Autor: IrisL.

Aufgabe
Sei K ein Körper. Beweisen sie für x,y>0

x<y [mm] \Rightarrow \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : [mm] x^{n} [/mm] < [mm] y^{n} [/mm]

durch vollständige Induktion.

Induktionsanfang: Wähle x,y beliebig aber fest.
                              x<y [mm] \Rightarrow x^{1} [/mm] < [mm] y^{1} [/mm] nach Voraussetzung

Induktionsannahme: A(n) [mm] \Rightarrow [/mm] A(n+1)

Induktionsschluss:
[mm] x^{n+1} [/mm] < [mm] y^{n+1} [/mm]
[mm] \Rightarrow x^{n} [/mm] * x < [mm] y^{n} [/mm] * y
[mm] x^{n} [/mm] < [mm] y^{n} [/mm] nach Induktionsanfang
x < y nach Voraussetzung, also ist das Prdoukt auch kleiner


Habe ich hier einen Denkfehler?

Danke und Gruß
Iris

        
Bezug
Induktion x<y: Kritik
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:05 Di 03.11.2009
Autor: statler

Hallo Iris!

> Sei K ein Körper. Beweisen sie für x,y>0

K soll natürlich ein angeordneter Körper sein. Und zu den Anordnungsaxiomen gehört so etwas wie
x > y, a > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] ax > ay
Das brauchst du unten.

> x<y [mm]\Rightarrow \forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] : [mm]x^{n}[/mm] < [mm]y^{n}[/mm]
>  
> durch vollständige Induktion.
>  Induktionsanfang: Wähle x,y beliebig aber fest.

In Mathe-Sprech heißt das: Seien x und y [mm] \in [/mm] K. Solange ich dann innerhalb dieser Aufgabe die gleichen Buchstaben verwende, sind es auch die gleichen Elemente (also in dem Sinne fest).

> x<y [mm]\Rightarrow x^{1}[/mm] < [mm]y^{1}[/mm] nach Voraussetzung

Klar!

> Induktionsannahme: A(n) [mm]\Rightarrow[/mm] A(n+1)

Das ist schon der Induktionsschluß! Die Annahme ist: Sei A(n) wahr.

> Induktionsschluss:
> [mm]x^{n+1}[/mm] < [mm]y^{n+1}[/mm]

Das ist jetzt die Aussage A(n+1), deren Wahrheit du zeigen willst.

>  [mm]\Rightarrow x^{n}[/mm] * x < [mm]y^{n}[/mm] * y

Du bist jetzt in der falschen Richtung unterwegs. Es geht vom Wahren zum Zu-beweisenden. Ich schlage vor, daß du das zu Trainingszwecken noch einmal selbst versuchst und dich mit deiner Lösung hier meldest.

Gruß aus HH-Harburg
Dieter

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