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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 Mo 15.01.2007 | | Autor: | IrisL. |
| Aufgabe | Bestimmen Sie für n [mm] \in \IR [/mm] die determinante der Matrix
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 & ....... & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & ... & 0 \\ .. & .. & .. & ....... & .. \\ 0 & ....... & 0 & 1 & 2 } \in M_{n} (\IR) [/mm] |
Huhu!
Also die Determinante lässt sich berechnen als det (A)= n
Das will ich über einen Induktionsbeweis zeigen.
IA: n= 4 det(A)=4
IS: Die Matrix mit (n+1) wird nach der ersten Spalte entwickelt. Dann erhalte ich zuerst [mm] det(A_{n+1})=2*n*(-1)^{1+1}+ [/mm] ???
Hier muß ich zeigen, daß die Matrix, die entsteht, wenn man die erste Spalte und die zweite Zeile wegstreicht genau die Determinante (n-1) hat.
Entweder bin ich jetzt zu blind oder ... ;) Auf jeden Fall klappt es jedesmal, wenn ich es durchrechne, aber allgemein fällt mir nichts ein.
Gruß
Iris
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo IrisL.!
> Bestimmen Sie für n [mm]\in \IR[/mm] die determinante der Matrix
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 & ....... & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & ... & 0 \\ .. & .. & .. & ....... & .. \\ 0 & ....... & 0 & 1 & 2 } \in M_{n} (\IR)[/mm]
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> Huhu!
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> Also die Determinante lässt sich berechnen als det (A)= n
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> Das will ich über einen Induktionsbeweis zeigen.
> IA: n= 4 det(A)=4
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> IS: Die Matrix mit (n+1) wird nach der ersten Spalte
> entwickelt. Dann erhalte ich zuerst
> [mm]det(A_{n+1})=2*n*(-1)^{1+1}+[/mm] ???
> Hier muß ich zeigen, daß die Matrix, die entsteht, wenn
> man die erste Spalte und die zweite Zeile wegstreicht genau
> die Determinante (n-1) hat.
> Entweder bin ich jetzt zu blind oder ... ;) Auf jeden Fall
> klappt es jedesmal, wenn ich es durchrechne, aber allgemein
> fällt mir nichts ein.
Ich glaube, deine Aussage ist falsch. Für n=4 erhalte ich z. B. det A=5 - das kannst du auch ![[]](/images/popup.gif) hier nachrechnen lassen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 Mo 15.01.2007 | | Autor: | unknown |
Hallo,
wie schon geschrieben wurde, stimmt [mm] $\det (A_n) [/mm] = n$ nicht. Wahrscheinlich meinst Du [mm] $\det (A_n) [/mm] = n+1$. Dann klappt es jedenfalls für $n = 4$. Warum fängst Du die Induktion überhaupt erst bei $n = 4$ an? Wieso nicht für $n = 1$?
Zum Induktionsschritt. Das Vorgehen ist doch schon ganz gut. Also, wenn Du von [mm] $A_{n+1}$ [/mm] die erste Zeile und Spalte streichst, kommst Du auf [mm] $A_n$, [/mm] wie Du schon gesehen hast. Streichst Du die erste Spalte und zweite Zeile, kommst Du doch auf eine Matrix, die sich wunderbar nach der ersten Zeile entwickeln läßt. Genauer bleibt ja
[mm] \begin{pmatrix} 1 & \begin{matrix} 0 & \cdots & 0 \end{matrix} \\
\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix} & A_{n-1} \end{pmatrix} [/mm]
stehen, wenn ich mich nicht versehen habe. Was ist denn da die Determinate?
Hoffe, das hilft.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:10 Di 16.01.2007 | | Autor: | IrisL. |
Huhu!
Stimmt, ich habe auch det(A)=n+1 berechnet.
Danke für den Hinweis. Ich denke, so krieg ich es hin.
Gruß
Iris
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