Induktionsbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Do 17.04.2008 | | Autor: | Lufos |
| Aufgabe | Die Folge [mm] (a_n)\in\IN [/mm] wird rekursiv definiert durch [mm] a_0=a [/mm] und [mm] a_n_+_1=r\times a_n+s [/mm] für [mm] n\ge0 [/mm] mit gegebenen Werten [mm] r,s\in\IR, r\not=1. [/mm] Man beweise folgende explizite Bildungsvorschrift für diese Folge mit vollständiger Induktion:
[mm] a_n=(a-\bruch{s}{1-r})\times r^{n} [/mm] + [mm] \bruch{s}{1-r}
[/mm]
Anwendung: Ein Darlehen von 100.000 wird mit 5 Prozent am Ende des Jahres verzinst und jährlich am Ende des Jahres mit 10.000 getilgt. Nach wie vielen Jahren ist das Darlehen getilgt? (Hinweis: a=100.000, r=1,05, s=-10.000) |
Diese Frage habe ich in keinem anderem Forum gestellt.
Hallo!
Zum ersten Teil: Beim Induktionsanfang habe ich Probleme, wenn ich n=1 setze--> [mm] a_1=(a-\bruch{s}{1-r})\times r^{1}+\bruch{s}{1-r}. [/mm] Das Ergebnis kann nicht 1 werden, da die Summe zwischen r und dem Bruch sich nicht auflösen kann. Beim Beweis selbst weiß ich nicht, was ich wo einsetzen muss. Eigentlich beweist man doch das [mm] a_n_+_1 [/mm] wahr ist. Hier muss man aber den Vorgänger beweisen...
Setze ich die Werte der Anwendung in die obere Formel ein, z.B. bei n=1 kommt auch kein wahre Gleichung heraus, sondern [mm] a_1=95.000...Hilfe!
[/mm]
zur Anwendung: die Gleichung sieht mit den eingesetzten Größen ja so aus: [mm] a_n=(-100.000)\times 1,05^{n}+(200.000). [/mm] stelle ich die Formel nach n um, sieht sie bei mir so aus: [mm] n=\bruch{ln200.000}{ln105.000}. [/mm] das problem ist nur, dass bei dieser Gleichung kein ordentliches Ergebnis rauskommt...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 Do 17.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Lufos!
Für den Induktionsbeginn würde ich hier $n \ = \ \red{0}$ einsetzen.
Im Beweis / Induktionsschritt musst Du zeigen, dass gilt:
$$a_{n+1} \ = \ \left(a-\bruch{s}{1-r}\right)*r^{n+1}+\bruch{s}{1-r}$$
Beginne dafür mit der rekursiven Darstellung und setze die expliziete Form für $a_n$ ein:
$$a_{n+1} \ = \ r*\red{a_n}+s \ = \ r*\left[\red{\left(a-\bruch{s}{1-r}\right)*r^{n}+\bruch{s}{1-r}}}\right]+s$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Do 17.04.2008 | | Autor: | Lufos |
Ist der Ansatz der Anwendungsaufgabe richtig oder bin ich da auf dem falschen Pfad? also: [mm] n=\bruch{ln200.000}{ln105.000}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:38 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lufos!
Du hast die Gleichung [mm] $\red{0} [/mm] \ = \ [mm] -100000*1.05^{n}+200000$ [/mm] falsch umgestellt.
Das muss am Ende $n \ = \ [mm] \bruch{\ln 2}{\ln 1.05}$ [/mm] lauten.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 Do 17.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Die Folge [mm](a_n)\in\IN[/mm] wird rekursiv definiert durch [mm]a_0=a[/mm]
> und [mm]a_n_+_1=r\times a_n+s[/mm] für [mm]n\ge0[/mm] mit gegebenen Werten
> [mm]r,s\in\IR, r\not=1.[/mm] Man beweise folgende explizite
> Bildungsvorschrift für diese Folge mit vollständiger
> Induktion:
> [mm]a_n=(a-\bruch{s}{1-r})\times r^{n}[/mm] + [mm]\bruch{s}{1-r}[/mm]
>
> Anwendung: Ein Darlehen von 100.000€ wird mit 5 Prozent am
> Ende des Jahres verzinst und jährlich am Ende des Jahres
> mit 10.000€ getilgt. Nach wie vielen Jahren ist das
> Darlehen getilgt? (Hinweis: a=100.000, r=1,05, s=-10.000)
> Diese Frage habe ich in keinem anderem Forum gestellt.
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> Hallo!
> Zum ersten Teil: Beim Induktionsanfang habe ich Probleme,
> wenn ich n=1 setze--> [mm]a_1=(a-\bruch{s}{1-r})\times r^{1}+\bruch{s}{1-r}.[/mm]
> Das Ergebnis kann nicht 1 werden, da die Summe zwischen r
> und dem Bruch sich nicht auflösen kann.
Wieso das? Für n=1 muss ra+s rauskommen, und das tut es:
[mm](a-\bruch{s}{1-r})\times r^{1}+\bruch{s}{1-r}=ar-\bruch{rs}{1-r}+\bruch{s}{1-r}=ar-s(\bruch{r}{1-r}-\bruch{1}{1-r})=ar-s(\bruch{r-1}{1-r})=ar-s*(-1)=ar+s[/mm]
Gruß
Abakus
> Beim Beweis selbst
> weiß ich nicht, was ich wo einsetzen muss. Eigentlich
> beweist man doch das [mm]a_n_+_1[/mm] wahr ist. Hier muss man aber
> den Vorgänger beweisen...
> Setze ich die Werte der Anwendung in die obere Formel ein,
> z.B. bei n=1 kommt auch kein wahre Gleichung heraus,
> sondern [mm]a_1=95.000...Hilfe![/mm]
>
> zur Anwendung: die Gleichung sieht mit den eingesetzten
> Größen ja so aus: [mm]a_n=(-100.000)\times 1,05^{n}+(200.000).[/mm]
> stelle ich die Formel nach n um, sieht sie bei mir so aus:
> [mm]n=ln200.000\bruch{ln105.000}.[/mm] das problem ist nur, dass bei
> dieser Gleichung kein ordentliches Ergebnis rauskommt...
>
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